数值分析课后习题.doc

1. 正方形的边长大约是100cm，怎样测量才能使其面积误差不超过1?
解：设正方形的边长为x，则面积为=，：在这里设为边长的近似值为面积的近似值：由题可知：
即： 推出：
5.列满足递推关系=10-1，n=1,2,3. 若=，计算到时误差有多大？这个计算数值稳定吗？
解：已知准确值=，近似值=1.41，设他们的误差为，则有：=。
展开化简代入 = 以此类推所以==

1. 给定的一些列离散的点（1，0），（2，—5），（3，—6），（4，3），试求Lagrange插值多项试。
解：设所求插值多项式为，且已知：
，，，，代入插值基函数公式：可得：= 同理
=，在同理可得：
=化简代入得:
（2）解：设牛顿形式的插值多项式为 ，列差商表：

一阶插商
二阶插商
三阶插商
0
-7

1
-4
3

2
5
9
3

3
26
21
6
1
所以：
4 设为互异节点（j=0,1,2,3．．,n）求证：，=0.1.2….. 其中为次插值基函数。
证明：根据题意：设，所以有 ，结合上式所以有：=，由余项定理可知：
，且由定理二可知，当时所以就有
。在这里令变量，所以命题：，成立。
5设：且求证
证明：由题可知：，，故可构造线性插值多项式即为下式：
记为（1）式，因为
，记为（2）式，其中，记为（3）式，将（1）（3）代入（2）整理：
所以：这里取代入，可推出：在放缩得
6若，有个不同的实零点，，
； 求证：
证明：由题可知; 有个不同的实零点，故还可以表示成根形式的多项式，即：
；由导数的定义可知：因为所以 上式可化简为;代入化简 =,在设：；
由差分性质：上式可化为： ，记为（1）式：现在讨论：当时；，此时：（1）变为=，当，则（1）变为=0，综上所述：
（3）

令，，，准却成立，代入（3）式可得：
解得：，代入原式。整理就得到下面的式子：；在令：，代入上式验证；左=右，继续令，代入上式验证，左右，即所构造的求积公式具有3阶精度。
5.求积公式，已知其余项表达式为。试确定求积公式中的待定参数，''使其代数精度尽量高，并指出求积公式所具有的代数精度及余项表达式。
解：令，，准却成立，代入原式可得：解得：，，。所以原式变为：，当时，代入原式，左='右=。左右。由题意知误差为且，所以求得，即为所求，上式求积公式具有3阶代数精度。
6.若用复化Simpson公式计算，要使误差不超过。问需要计算多少个节点上的函数值。
解：，在这里取复化Simpson公式余项的绝对值，代入已知条件得：进行放缩得到：，解得：
5，对初值问题，证明梯形公式求得的近似值为，并证明当步长时，。
证明：由梯形公式，可知，代入化简
可得：，合并同类项，整理可得：，化简得，由已知，于是上式化为：，即成立。（2）由极限定义：
，
由高数知识上式得：，由，代入所以。
6，对初值问题，如果取，证明欧拉公式求得的近似值为。
证明：由欧拉公式可知：将已知代入可得：
，迭代可得：同理：以此类推就得到：由有即
11，证明初值问题的二步法，是二阶的，并求其局部截断误差。
解：证明：将在处进行三阶泰勒展开即：，同理将， ，也在处进行泰勒展开，由于原式第二项前有，故， 只需展成二阶泰勒公式即可，即：
，
，将以上四式代回原方程整理：，
现将在处进行三阶泰勒展开：，，现在将与进行比较可知：故原式是二阶，局部截断误差为，
12，证明：线性二步法，当时方法是二阶的，当时方法是三阶的。
证明：原式变形为记为（1）
将，，，在处分别展成三阶，二阶，二阶，泰勒公式。即：
，，
，将上面三式代入（1）化简可得：
，记为（2）式，在将。在处展成三阶泰勒公式，记为（3）式。将（2）与（3）对比要想具有三阶精度则：，即，当时，具有二阶精度。

13，求系数a,b,c,d使公式有.
解：将，，，在处分别展成四阶，三阶，三阶，泰勒公式，即：
，
，，将以上几式代入原式，
整理可得：
，对照在处的四阶泰勒展开式各阶系数，即可求出相应的未知数： 解的，，，
4，对于，要使迭代公式局部收敛到，求的取值范围。
解：由，可知：，由收敛定理：，即，解得：。

5，用迭代法求方程的根，求使迭代公式序列具有局部平方收敛。
证明：已知，故可得：，对求导得：
。设是的根，即：所以上式化简为：由题可知原式具有平方收敛，故由：，可求得：，一般化为：
（1），现将（1）代如：可得：
。对求二阶导：将的根代入得：，由于所以，由收敛定理知，原命题成立。

6，给定函数设对一切，都存在，且。证明对的任意常数，迭代法均收敛于方程的根。
证明：由，即：，所以：，又因为：，所以可放缩为：。又因为：，代入上式继续放缩：，两边取负号：
，成立，且
即：，等价于。由收敛定理知方程收敛。
11，应用Newton法于方程，导出求的迭代公式，并由此计算的具有四位有效数字的近似值。
解：设，所以：由Newton迭代公式，即，整理：，为所求的迭代公式。
下面求，由已知可知：此时，代入迭代公式，取初值
进行迭代：，，。

4，设有方程组，试将系数矩阵分解成一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵之积：即，然后用你的分解解此方程组。
解：将写成的形式即：，利用矩阵的乘法得：，，，，，，
所以可写成：，下面解方程组：先解
即：，解得：，再解，即：
，解得

9，设向量，求，，。
解：。，
11，记，其中，证明：。
证明：。两边同时开次方得：，两边同时取极限得：
。由两边夹：

13，设均为非奇异矩阵，表示矩阵的某一种算子范数，证明：（1）；（2）。
证明：(1) ，变形即：。。
（2）。

4，给定方程组，判别用Jacobi和GAUSS-Seidel迭代解此方程组的收敛性。
解：首先应用Jacobi迭代可知：
，令：
；解得：，显然，收敛。
在应用GAUSS-Seidel迭代公式：，由于求比较复杂，故采用直接代入求解。即：
，化简整理得：，令上式等于0，即：，由于：，所以只有：。
由：，，对上式取行列式。
即：，解得：，。所以：，发散。

6，证明矩阵对于是正定的，且此时用Jacobi迭代法解方程组时是收敛的。
证明：要想正定各阶顺序主子式均大于0.。
即：，，。
。解得：。综上所述：
应用Jacobi迭代公式：
令行列式：，解得：，或，
。命题成立。

7，证明矩阵对于是正定的，而Jacobi迭代法只对是收敛的。
证明：要想正定各阶顺序主子式均大于0.。
即：，，
。
解得：。综上所述：。
应用Jacobi迭代公式：
令行列式：解得：，。所以要想收敛必满足：，即：。