直线的倾斜角与斜率及直线方程(教师版).doc

高一综合复习知识巩固点十四

第十四讲 直线的倾斜角与斜率及直线方程
一、知识梳理：
1．倾斜角：一条直线L向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为。
2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=tan;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在
过两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式:k=tan（若x1＝x2，则直线p1p2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。

3．直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。
名称
方程
说明
适用条件
斜截式
y=kx+b
k——斜率
b——纵截距
倾斜角为90°的直线不能用此式
点斜式
y-y0=k(x-x0)
(x0，y0)——直线上
已知点，k——斜率
倾斜角为90°的直线不能用此式
两点式
=
(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点
与两坐标轴平行的直线不能用此式
截距式
+=1
a——直线的横截距
b——直线的纵截距
过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式
一般式
Ax+By+C=0
，，分别为斜率、横截距和纵截距

A、B不能同时为零

直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。

4.几种特殊直线的方程:
①过点垂直于x轴的直线方程为x=a;过垂直于y轴的直线方程为y=b
②已知直线的纵截距为,可设其方程为;
③已知直线的横截距为,可设其方程为;
④过原点的直线且斜率是k的直线方程为y=kx
⑤过直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为：
A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0（λ∈R）(除l2外)

二、基础检测：
1.直线xtan+y=0的倾斜角是 ( D )
A.－ B. C. D.
2.直线xcosα＋y＋2＝0的倾斜角范围是 ( B )
A［，）∪（，］ B［0，］∪［，π）
C［0，］ D［，］
3.下列四个命题：①经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0=k（x－x0）表示；②经过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（x2－x1）（x－x1）=（y2－y1）（y－y1）表示；③不经过原点的直线都可以用方程+=1表示；④经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示其中真命题的个数是 ( B )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：对命题①④，方程不能表示倾斜角是90°的直线，对命题③，当直线平行于一条坐标轴时，则直线在该坐标轴上截距不存在，故不能用截距式表示直线，只有②正确。
4.若函数f(x)=log2（x+1）且a＞b＞c＞0，则、、的大小关系是
A、＞＞ B、＞＞
C、＞＞ D、＞＞
【解析】B 把、、分别看作函数f(x)=log2（x+1）图像上的点与原点连线的斜率,对照草图可得答案
5. 已知直线（t为参数），则下列说法错误的是 （　　）
A．直线的倾斜角为 B．直线必经过点
C．直线不经过第二象限 D．当t=1时，直线上对应点到点（1,2）的距离为
【解析】 D. 将直线方程化为，直线的斜率为，直线的倾斜角为，将点代入，满足方程，斜率为正，截距为负，直线不经过第二象限
6. 已知、为轴上不同的两点，点的横坐标为，且，若直线的方程为，则直线的方程为
A. B. C. D.
解析: A. 直线、关于直线对称，P(1,2)
7. 在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．如果是围成的区域（含边界）上的点，则的取值范围是
[解析] ：把看作区域上的点与点（-1，0）连线的斜率,结合图形可得结果为
8.若三点共线，则的值等于______.
9．过点A(2,1),且在x,y轴上截距相等的直线方程是 x+y=3或y=x/2
10.已知点A（-2，3），B（3，2），P（0，-2），过P点的直线与线段AB有公共点，求直线的斜率k的变化范围;
[解析] ,,画出图形，数形结合可得结果
三、典例导悟：
11、求与两坐标轴围成三角形周长为9且斜率为-的直线方程．
解：设直线的斜截式方程为y=-x+b, 令x=0, y=b; 令y=0, x=b,
由|b|+|b|+, 即（1++）|b|=9，得|b|=3，即b=3,
所求直线的方程为y=-x3.
12、已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程
解：∵P（2，3）在已知直线上， ∴ 2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0
∴2（a1－a2）+3（b1－b2）=0，即=－
∴所求直线方程为y－b1=－（x－a1） ∴2x+3y－（2a1+3b1）=0，即2x+3y+1=0
13、 等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x+y–6=0上，顶点A的坐标是(1, –1)，求边AB, AC所在的直线方程.
【解题思路】从确定直线AB, AC 的条件入手，直线AC满足:经过点A且垂直于直线2x+y–6=0, 直线AB满足:经过点A且与直线2x+y–6=0成角，（或|AB|等于点A到直线2x+y–6=0的距离的倍）
解:由条件知直线AC垂直于直线2x+y–6=0，设直线AC的方程为x-2y+c=0,
把A(1, –1)代入得c=-3, 故直线AC的方程为x-2y-3=0,
，设B(x,y),则，
解得或，所以直线AB的方程为或
14、已知直线l:2x-3y+1=0,点A（-1，-2），求：
（1）点A关于直线l的对称点的坐标；（2）直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线方程；（3）直线l关于点A(-1，-2)对称的直线的方程；
【解题思路】：求对称直线的方程，方法1是转化为点对称问题，二是用相关点转移法解决；
[解析]（1）设点A关于l的对称点是，
解得
（2）设点是直线m上任意一点，关于直线的对称点为
解得：
在直线上，
化简得：
（3）设点是直线上任意一点，点关于点A(-1，-2)的对称点为，
则，解得
因点在直线上，，化简得：
15.过点P（2，1）作直线l分别交x,y轴于A,B两点，求
（1）|PA||·|PB|取得最小值时直线l的方程；
（2）|OA||·|OB|取得最小值时直线l的方程；
解：显然直线l的斜率不存在时不符合题意，设直线l的方程为：y-1=k(x-2)(k<0),则点A的坐标是；点B的坐标为（0，1-2k）,所以
=，当且仅当k=-1时取等号，所求直线l的方程为y-1=-(x-2)，即x+y-3=0.
(2)设直线为因为点P∈l，所以，故.当且仅当a=2b,即a=4,b=2时取等号，所求的直线为：x+2y-4=0.
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