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线性代数总复习

第一章 行列式
一、概念
1、n级排列：由自然数1、2、3、4、…、n组成的一个有序数组称为一个n级排列，简称为排列.
2、逆序：对n级排列,若,则称与构成一个逆序，记为。
3、逆序数: 一个排列中逆序的个数称为这个排列的逆序数。
4、奇排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列
偶排列：逆序数为偶数的排列称为偶排列
5、对换：在一个级排列中，若仅将其中两个数对调,其余不动，可得一个新的排列,对排列所施行的这样一次对调称为一个对换。记为：
6、n阶行列式：
7、余子式和代数余子式：
对阶行列式，元素的余子式：
。
元素的代数余子式：.

二、性质
1、级排列的总数为个
2、一次对换改变排列的奇偶性。
3、在所有的级排列中,奇排列与偶排列的个数相等，各为个.
4、阶行列式的展开项中的一般项也可写为：

5、阶行列式的展开式又可表示为:

6、上三角、下三角行列式的值为对角元积：
7、行列式与其转置相等。
8、行列式的性质
(1)、互换行列式的某两行（列），行列式的值变号。
(2)、若行列式中有两行（列）完全相同，则行列式值为零。
(3)、行列式中某一行（列）的公因子可提到行列式符号的前面。
(4)、若行列式的某一行（列）中所有元素全为零，则此行列式的值为零。
(5)、若行列式的某两行（列）的对应元素成比例，此行列式的值为零。
(6)、
(7)、把行列式的某一行（列）所有元素乘以k加 到另一行（列）对应元素上，行列式的值不变。
9、对n阶行列式，可以按行(列)展开为：

10、Cramer法则: 对元线性方程组，若系数行列式，则该方程组有唯一解，且解为：

11、对元齐次线性方程组,
(1) 一定有解。
(2) 当时，仅有零解。
(3) 有非零解的充要条件是:。

三、计算 (参考作业)
1、求逆序数
2、计算行列式(2阶、3阶、高阶)
3、求解代数余子式
4、行列式按行(列)展开
5、利用行列式求解线性方程组的解。

第二章 矩 阵
一、概念
1、矩阵：由m×n个数，排成的一个m行n列的数表：

称为一个行列矩阵，简记为矩阵
2、矩阵的迹：任意n阶方阵A的对角元的和，记为：
3、几种特殊的矩阵：对角矩阵、数量矩阵、(上、下)三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵。
4、分块矩阵：在矩阵A的行和列之间加进一些虚线，把A分成几个小矩阵，每个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的矩阵A称为分块矩阵。
5、逆矩阵：对于阶方阵，若存在矩阵,使得，则称 为可逆矩阵，简称可逆。并称与互为逆矩阵。
6、伴随矩阵：对阶方阵，有伴随矩阵，其中 是A的行列式中元素的代数余子式。
7、矩阵的最简形：。
8、三种初等变换：
(1) 互换矩阵的某两行（列）:

(2) 用非0数乘以矩阵的某一行（列）:

(3) 用非0数乘以矩阵的某一行（列）再加到另一行（列）:

二、性质
1、矩阵的加（减）法

2、矩阵的数乘(注意与行列式数乘的不同)

3、两矩阵的乘积，
(1) 矩阵乘法不满足交换率,即一般AB≠BA
(2) 矩阵乘法不满足消去率,即由AB=AC,A≠0,不能得出B=C
(3) 在矩阵乘法中，由AB=0不能推出A=0或B=0。
4、方阵的幂：设A为n阶方阵，k为正整数，
(1) 只有当为阶方阵时，才有方幂的概念.
(2) (什么时候成立？)
(3) 一般来说：
(什么时候成立？)
5、矩阵的转置，转置操作的一些性质：
6、方阵的行列式
(1) 当是同阶方阵时,。
(2) 若为实数，则对于阶方阵，。
(3) 为阶方阵，则。
7、对角矩阵的性质：
(1)、同阶对角矩阵的和、差、积仍为对角矩阵。
(2)、对角矩阵的转置仍为对角矩阵且与原矩阵相同
8、三角矩阵的性质：
(1) 同阶上（下）三角矩阵的和、差、积仍为上（下）三角矩阵。
(2) 上(下)三角矩阵的转置为下(上)三角矩阵
9、对称矩阵与反对称矩阵的性质：
(1) 同阶对称矩阵（反对称矩阵）的和、差仍为对称矩阵(反对称矩阵).
(2) 阶方阵为对称矩阵的充要条件是
(3) 阶方阵为反对称矩阵的充要条件是
(4) 两个对称(反对称)矩阵乘积不一定是对称(反对称)矩阵。
10、分块矩阵的性质。
(1)、两同阶矩阵相加，要求的两个矩阵采用相同的分块方法。
(2)、两矩阵相乘，要求的列的分法与的行的分法相同.
(3)、分块矩阵的转置
，则
(4)、对于分块矩阵，则
11、若可逆，则：

12、若可逆，则：
13、n阶方阵A与其伴随矩阵满足：
若A可逆。则：
14、n阶方阵A可逆的充要条件是。
15、若为同阶方阵，且，则均可逆，且
16、初等矩阵都是可逆矩阵，且它们的逆仍为初等矩阵。

17、对矩阵施行一次初等行变换相当于在的左边乘以相应的 初等矩阵; 施行一次初等列变换相当于在的右边乘以相应的初等矩阵。
18、任意一个矩阵，总可以经过有限次初等变换，化为最简形。
推论(1): n阶方阵A可逆的充要条件是A的最简形为单位阵E.
19、阶方阵可逆的充要条件是能表示成一系列初等矩阵的乘积。即

推论(2)：若阶方阵可逆，则可以经过一系列初等行变换将化为单位矩阵E.

三、计算 (参考作业)
1、求解伴随矩阵
2、利用矩阵的性质，证明矩阵关系。
3、可对易矩阵的二项式展开。
4、求解逆矩阵
(1) 采用伴随矩阵方法
(2) 构造分块矩阵，并利用初等变换
5、利用初等变换求解线性方程组的解。

第三章 向 量
一、概念
1、向量：由n个实数组成的有序数组或，称为n维向量，其中ai 称为该向量的第i个分量。
2、向量的运算
加减：
数乘：
3、向量间的线性关系
(1)、线性方程组的向量表达式：

(2)、向量可由向量组线性表示，则存在一组数，使得，或者说向量方程组有解。
(3)、零向量是任意向量组的线性组合.
(4)、向量组中的任意一个向量都可以由这个向量组线性表示。
4、线性相关：对于向量组，作向量方程，若存在一组不全为零的数，使得方程组成立，则称向量组线性相关。若只存在，使得方程组成立则称向量组线性无关。
5、极大无关组：若是向量组的一个极大线性无关组，则：
(1)是的部分组；
(2)线性无关；
(3)线性无关；
(4)任意r+1个向量构成的部分组线性相关。
6、向量组的线性表示：设有两个向量组和，若向量组A中的每一个向量都可以由向量组B线性表示,则称向量组(A)可由向量组(B)线性表示。线性表示具有传递性。
7、等价：若向量组和向量组可以互相线性表示，则称两向量组等价。记为：≌。等价具有传递性，即若≌,≌，则≌
8、向量组的秩：一个向量组的极大无关组所含向量的个数，称为向量组的秩。
9、矩阵的秩：矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩，列向量组的秩称为A的列秩，矩阵的行秩和列秩统称为矩阵的秩。
10、矩阵的子式：在矩阵中，任取k行、k列，位于这些行和列交叉点处的个元素按原顺序所构成的k阶行列式 称为矩阵A的一个k 阶子式。
11、基础解系：齐次线性方程组的解向量组的极大无关组

二、性质
1、向量组和它的极大无关组等价。
推论：同一向量组的任意两个极大无关组等价。
2、若向量组可由向量组线性表示，且，则向量组线性相关。
推论1：若向量组可由向量组，且向量组线性无关，则：m≤s.
推论2：两个等价的线性无关的向量组 所含向量个数相同。
推论3：任意n+1个（或更多）n维向量构成的向量组线性相关
推论4：向量组的任意两个极大无关组所含向量个数相同。
3、等价向量组有相同的秩。
4、线性无关的向量组的极大无关组为该向量组本身。
5、向量组线性无关的充要条件是：
6、若向量组可由向量组线性表示，则：

7、初等变换不改变矩阵的秩。
8、设A是m×n矩阵，则A的秩等于r的充要条件是：矩阵A中至少有一个r阶子式不为零，且所有的r+1阶子式都为零。
9、线性方程组有解的充要条件是。无解的充要条件是：。若方程组有解，当时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解。
推论1：齐次线性方程组AX=O有非零解的充要条件是；
推论2：齐次线性方程组AX=O，若，则齐次线性方程 组仅有零解。
10、若齐次线性方程组AX=O的系数矩阵的秩，则该方程组存在基础解系，且每个基础解系由n-r个解向量构成。

三、计算
1、证明向量组的相关性。
2、求齐次线性方程组AX=O的基础解系。
3、求解非齐次线性方程组AX=B的通解。

第四章 向量空间、特征值与特征向量

一、概念
1、向量空间：所有分量为实数的n维向量构成的集合

2、基与坐标：
基：在向量空间中，n个线性无关的向量称为的一组。
坐标：设是的一组基，则中的任一向量a 都可唯一表示为：，称系数为向量a在基下的坐标，记作。
3、过渡矩阵：设向量组与为的两组基，则向量可由线性表示，令：，，则：
则称矩阵为由基转变为基的过渡矩阵。
4、向量的内积：对向量，内积定义为：

5、向量的长度：对于任意向量，向量长度定义为：
6、单位向量：向量的长度为1的向量称为单位向量
4、向量正交：如果任意两向量与满足，则称向量与正交。
5、正交向量组：两两正交的非零向量组。
6、正交基：若是的正交向量组，则就是的正交基。
7、标准正交基：若是的正交向量组，且为单位向量，则就是的标准正交基。
8、正交矩阵：如果阶方阵A满足，则称A为正交矩阵。
9、特征值与特征向量：对于方阵，若存在实数和维非0向量使得，则称为的特征值，则称为的特征向量，称为的本征方程。
10、特征多项式：。
11、特征方程：
12、代数重数和几何重数：设为阶方阵，其特征值，某一特征值的重根数就称为代数重数，而的特征向量子空间的维数称为几何重数。

二、性质
1、过渡矩阵可逆。
2、设与为的两组基，由到过度矩阵为，对于向量，在基和基下的坐标分别为和，则：
或
1、设是一组正交向量组，则线性无关
2、n阶方阵A为正交矩阵，则：
3、 如果n阶方阵A满足, 则A为正交阵
4、若A为正交矩阵，则。
5、若A是正交阵，则及均为正交阵
6、若A、B是n阶正交阵，则AB 为正交阵。
7、 n阶方阵A是正交矩阵的充要条件是A的n个列(行)向量构成的一组标准正交基
8、n阶方阵A的不同特征值对应的特征向量线性无关。
9、设λ是A的特征值，α是A的属于λ的特征向量，则
（1） 是 的特征值（为任意常数）
（2） 是的特征值(为正整数)
（3）当可逆时，，则是的特征值
10、设是的个特征值，则
（1）
（2）

三、计算 (参考作业)
1、判断是否为的一组基。
2、求向量a在任意基下的坐标。
3、求空间中基到基的过渡矩阵。
4、已知向量在基下的坐标为，求在另一基下的坐标为。
5、把非零向量单位化。
6、利用施密特（Schmidt）正交化法交任意一组基转变为一组标准正交基。
7、求的特征值
8、求的属于特征值的特征向量。

第五章 二次型
一、概念
1、二次型的定义，二次型矩阵的定义
2、非退化线性替换：对于n元变量和，做替换，若，则称与之间为非退化替换。
3、矩阵的合同：设，若存在可逆矩阵，使得，则称A与B合同。
合同的性质：反身性，对称性、传递性、同秩性。
4、标准型：只有平方项的n元二次型称为标准型，其二次型矩阵为对角阵。
5、规范型：任意n元二次型都可以经过非退化替换表示为

这种特殊的标准型称为规范型，且表示唯一。这里称为正惯性指数，称为负惯性指数。
6. 合同变换：合同变换是指下列三种变换，
(1) 互换矩阵的i,j两行，再互换矩阵的i,j两列；
(2) 以数 k(k¹0)乘矩阵的第 i 行，再以数 k 乘矩阵的第 i 列；
(3) 将矩阵的第i行的k倍加到第j行，再将第i列 的k倍加到。

7、正定二次型：，其二次型矩阵称为正定矩阵；
负定二次型：，其二次型矩阵称为负定矩阵；
半正定二次型：，其二次型矩阵称为半正定矩阵；
半负定二次型：，其二次型矩阵称为半负定矩阵；
不定二次型：，其二次型矩阵称为不定矩阵；
二、性质
1、二次型矩阵为对称矩阵。
2、n元二次型经过非退化替换后依然为n元二次型，且变换后的二次型矩阵与原二次型矩阵合同。
3、数域P上任一n元二次型都可经过非退化线性替换变成标准型。
4、非退化线性替换不改变二次型的正定性。
5、正定二次型矩阵的性质：
(1) ;
(2) A与正对角阵合同，即，若，则：

(3) A的对角元都大于0，即：；
(4) A的行列式大于0，即：；

三、计算
1、用线性表示的方法表示二次型。
2、用配方法和合同变换法将二次型标准化。
3、判定二次型的正定型。