吉林松原市普通高中高三数学教学质量监测-理-新人教A版.doc

吉林松原市普通高中
2012—2013学年度高三教学质量监测
数学（理）试题

注意：
1．本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
2．请考生按照考试题目的要求，把答案写到答题纸上，在试卷上作答无效，交卷时只交答题纸。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行的”
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知集合等于
A．{0} B．{0，1} C．{-1，1} D．{-1，0，1}
3．命题“存在”的否定是
A．不存在 B．存在
C．对任意的 D．对任意的
4．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有
A． B． C． D．
5．函数处的切线的斜率为
A． B． C． D．1
6．函数的一个递减区间为
A． B． C． D．

7．在等差数列的前5项和S5=
A．7 B．15 C．20 D．25
8．已知圆的圆心到直线的值为
A．—2或2 B． C．0或2 D．—2或0
9．随机变量X的概率分布规律为的值为
A． B． C． D．
10．如图所示，用4种不同颜色对图中的5个区域涂色（4种颜色全部使用），
要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂
色种数为
A．72种 B．96种
C．108种 D．120种
11．已知二次曲线时，该曲线的离心率e的取值范围是
A． B． C． D．
12．已知定义在R上的函数，若存在的取值集合是
A．{-5，-1} B．{-3，0} C．{-4，0} D．{-5，0}

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸相应的位置上）
13．计算= （其中i是虚数单位）
14．展开式中常数项为
15．设=

16．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m3。

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）已知等比数列
（1）
（2）若的通项公式。

18．（本题满分10分）一个袋中装有四个形状大小完相同的球，球的编号分别为1，2，3，4。
（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求的概率。

19．（本题满分12分）已知向量
（1）求函数的解析式及最小正周期；
（2）在锐角三角形ABC中，若且AB=2，AC=3，求BC的长。

20．（本题满分12分）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=AB，D是AC的中点。
（1）求证：B1C//平面A1BD；
（2）求证：平面A1BD⊥平面ACC1A1；
（3）求二面角A—A1B—D的余弦值。

21．（本题满分12分）已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过两点。
（1）求椭圆E的方程；
（2）若椭圆E的左、右焦点分别是F、H，过点H的直线l：与椭圆E交于M、N两点，则△FMN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由。

22．（本题满分14分）设函数其中m为常数。
（1）当在定义域上的单调性；
（2）若函数有极值点，求实数m的取值范围及的极值点。
（3）当

参考答案

二、填空题
13. 14. 15. 16.
4.解：平均数
中位数，众数.∴，故选.
9.解：，故，
即.∴.

12.解：由得的图象关于直线对称，当时，是增函数，
(第16题图)
，因此，在区间上使的，相应的整数；由对称性，在上使的，相应的整数.
∴的取值集合是.
15.解：，，
∴.
16.解：该几何体是一个圆锥加一个长方体，
.
三、解答题
17.（10分）已知等比数列中，，公比．
(1)为的前项和，证明：；
(2)若，求数列的通项公式.
解：(1)∵,∴,∴.……………5分

18.(10分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为.
(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为，求的概率.
解：(1)从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个
从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3两个
因此，所求事件的概率是. ……………………………………………5分
(2)先从袋中取出一个球，记下编号为，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为，其
一切可能结果有：，,,,,,,,
,,,,,,,,共个.
满足条件的事件为,,，共个.
所以，所求的概率为. ……………………………………………10分
19.(12分)已知向量，，且满足.
(1)求函数的解析式及最小正周期；
(2)在锐角三角形中，若，且，，求的长.
解：(1),由得
∴， ………………………5分
最小正周期是. ……………………………………………6分

20.(12分)如图，在正三棱柱中，，是的中点.
(第20题图)
(1)求证：∥平面；
(2)求证：平面⊥平面；
(3)求二面角的余弦值.
解：(1)证明：连交于点，连.
则是的中点，
∵是的中点，∴
∵平面，平面，∴∥平面.…………………4分
(3)法一：设,∵,∴,且，
作，连
∵平面⊥平面，∴平面，∴
∴就是二面角的平面角，
在中，，
在中，
，即二面角的余弦值是.…………………12分
解法二：如图，建立空间直角坐标系.
则，，，
∴，，，
设平面的法向量是，则
由，取
设平面的法向量是，则
由，取
记二面角的大小是，则，
即二面角的余弦值是.…………………………12分
21.(12分)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，且经过、两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的左、右焦点分别是、，过点的直线：与椭圆交于、两点，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个在最大值及直线的方程；若不存在，请说明理由.
(2)设、，不妨设，
如图，设的内切圆的半径为，则

当最大时，也最大，的内切圆的面积也最大，
又，
∴………………………………8分
由得，
则恒成立，，
∴，
∴………………………………………………………………10分
设，则，且，∴，
设，则，∵，∴，
∴函数在上是单调减函数，∴，即的最大值是
∴，，即的最大值是，
∴的内切圆的面积的最大值是，
此时，，直线的方程是.………………………………12分

22.(12分)设函数，其中为常数.
(1)当时，判断函数在定义域上的单调性；
(2)若函数有极值点，求实数的取值范围及的极值点；
(3)当时，证明不等式.
(2)由(1)知，当时，函数在上是单调增函数，没有极值点.
当时，，函数在上是单调增函数，没有极值点.
当时，令得，，……………6分
①当时，，则，
列表:

↘
极小值
↗
由此看出，当时，有唯一极小值点.………………………8分
②当时，，

列表：

↗
极大值
↘
极小值
↗
由此看出，当时，有极小值点和极大值点.
综上，当时，有唯一极小值点，
当时，有极小值点和极大值点.…………10分
(3)由(2)知，时，函数，
此时，函数有唯一极小值点，
当时，，在上是减函数，
∵时，，
∴，即
∴时，.
令函数，则

注：以上参考答案及评分标准仅供阅卷老师参考，如有其他解答方法可酌情给分.

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用心 爱心 专心