七年级数学二元一次方程(组)及其解法华东师大版知识精讲[1].doc

初一数学二元一次方程(组)及其解法华东师大版
【本讲教育信息】
一、本周主要内容
二元一次方程(组)及其解法

二、知识要点
1.知识点概要
⑴了解二元一次方程,二元一次方程组的概念,会把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式;
⑵了解二元一次方程, 二元一次方程组的解的含义,会检验一对数是不是它们的解;
⑶能灵活运用代入法,加减法解二元一次方程组.
2.重点难点
⑴重点:二元一次方程组的两种解法.
⑵难点: 二元一次方程组的解的含义,灵活运用代入法,加减法解二元一次方程组.

三、考点分析
1.二元一次方程
⑴二元一次方程的概念:含有两个未知数的方程叫做二元方程,如果二元方程中含有未知数的项的次数都是一次的,那么这个方程就叫做二元一次方程.
说明:①二元一次方程中的每一项都应是整式;②二元一次方程中的“一次”是指含未知数的项的次数,而不是未知数的次数,如xy中未知数x、y都是一次的,但xy这一项是二次的.
⑵二元一次方程的解:使二元一次方程左、右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元一次方程的一个解.
说明:①一般情况下,一个二元一次方程有无数多个解,但如果对其未知数的取值附加某些限制条件,那么也可能只有有限个解;②二元一次方程的每一个解,都是一对数值.
2.二元一次方程组
⑴二元一次方程组的概念:如果两个二元一次方程所含未知数相同,那么把这两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.
说明:①二元一次方程组要求方程组里各个方程一共含有两个未知数,不能多于两个,也不一定要求每个方程都含有两个未知数,比如,就不是二元一次方程组,因为两个方程共含有三个未知数.又如,与都是二元一次方程组;②二元一次方程组中的每个方程都是一次方程.比如,就不是二元一次方程组.
⑵二元一次方程组的解:使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解.
说明:①方程组的解必须满足方程组里的各个方程,而方程组中某一个方程的一个解不一定是方程组的解;②在同一方程组中,各个相同未知数应取相同的值.
3.用“代入法”解二元一次方程组
⑴用“代入法”解二元一次方程组的基本思路:通过等量代换,用“代入”的方法消去方程组中的一个未知数,使二元一次方程组转化为一个一元一次方程,求得这个未知数的值后,再求出被消去的未知数的值.
⑵用“代入法”解二元一次方程组的一般步骤（假定方程组中的未知数是x、y）:
①把一个方程里的一个未知数（例如y）,用含有另一个未知数（例如x）的代数式表示出来,如y＝ax＋b;
②将y＝ax＋b代入另一个方程,消去y,得一个关于x的一元一次方程;
③解这个一元一次方程,得x的值;
④把x的值代入y＝ax＋b,求出y的值;
⑤把两个未知数的值写在一起,就得原方程组的解,用的形式表示.
4.用“加减法”解二元一次方程组
⑴用“加减法”解二元一次方程组的基本思路:把方程组中的一个方程或两个方程的两边分别乘以一个适当的数,使其中某一个未知数的系数的绝对值相等,然后通过把方程两边分别相加或相减,消去这个未知数,使解二元一次方程组转化为解一元一次方程.
⑵用“加减法”解二元一次方程组的一般步骤（假定方程组中的未知数是x、y）:
①方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数,就用适当的数去乘方程的两边,使某一个未知数的系数相等或互为相反数;
②把两个方程的两边分别相减或相加,消去一个未知数,得到一个一元一次方程;
③解这个一元一次方程,求得未知数的值;
④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中,求出另一个未知数的值;
⑤把所求得的两个未知数的值写在一起,就得原方程组的解,用的形式表示.
四、典例精析
例1.下列方程是不是二元一次方程?
⑴－＝;⑵x＋＝1;⑶x（1－x）＝x2－（2x2－）;⑷3x－2＝－2y－3.
分析:判断一个方程是否是二元一次方程,首先要理解二元一次方程的意义“含有两个未知数,并且含未知数的项的次数是1的整式方程,叫做二元一次方程”.可先从形式上看,分母含有未知数的方程一定不是二元一次方程,含有未知数乘积项的方程一定不是二元一次方程.判断二元一次方程,有时需对方程进行移项,合并同类项等变形.任何二元一次方程经过变形,化简变成ax＋by＝c（其中a,b,c为常数,且a≠0,b≠0）的形式.
解:⑴、⑵、⑷不是二元一次方程,⑶是二元一次方程.

例2.下列方程组是不是二元一次方程组:

分析:要看所给的几个方程组是否为二元一次方程组,只要看是否符合二元一次方程组的意义“几个由一次方程组成,含有且只含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组”.根据这个意义可知,看一个方程组是否为二元一次方程组,可从构成方程组的几个方程的次数、未知数个数来考查.
解:方程组⑴、⑵是二元一次方程组,方程组⑶、⑷、⑸不是二元一次方程组.

例3.已知方程3x2a－1－4y3b＋5＝65是二元一次方程,求a,b的值.
分析:二元一次方程必须满足下列三个条件:①含有两个未知数;②所含未知数的次数是1;③是整式方程.
解:根据题意,可列出方程2a－1＝1和3b＋5＝1.
解这两个方程,得a＝1,b＝－.

例4.已知二元一次方程组

判断下面哪一对数值是这个方程组的解:

⑵⑶略（判断一对数是不是方程组的解,则只需看它是不是方程组中每个方程的解;如果是,这对数是方程组的解;否则这对数不是方程组的解）

解这个方程,得k＝1.
所以,k的值为1.
说明:理解二元一次方程解的概念是解本题的关键,本题只要把解代入方程中,即可得到一个关于k的方程,求解这个方程,即可得到k的值。

例6.求二元一次方程3x＋y＝8的正整数解.
分析:要求二元一次方程组3x＋y＝8的正整数解,首先将方程变形,用x的代数式表示y,再取x的正整数值,代入求出对应的正整数y,得到符合题意的全部解.
解:将原方程变形为y＝8－3x.
当x＝1时,y＝8－3×1＝5;当x＝2时,y＝8－3×2＝2;
当x取比2大的整数时,y为负数,即x取比2大的整数时,相应的y的值都不是正整数.

例7.解下列方程组:

解:⑴由①,得.③
把③代入②,得.
整理,得,,把代入③,得
,,.
所以,原方程组的解为.
⑵化简原方程组,得,
把①代入②,得,,;
把代入①,得,.
所以,原方程组的解为.
⑶由①-②,得, ③
把③代入②,得,,,
把代入③,得,.
所以,原方程组的解为.
⑷原方程组就是
①×4－②,得3y＝－9,y＝－3.把y＝－3代入①,得3x＋2×（－3）＝－3,3x＝3,x＝1.

由①＋②得3a＝6,即a＝2.
把a＝2代入②得2－b＝7,即b＝－5.
所以,a、b值分别为2和－5.

例8.甲、乙两同学解方程组,甲得正确解答为.乙只因抄错c的值,解得,求的值.
解析:由题意知,是的解,所以,又由是原方程组的解,得,那么可得,由此可求得=.

所以,a＝3,b＝2.

五、本讲数学思想方法的学习
1.二元一次方程及二元一次方程组的有关概念的学习要能与一元一次方程的有关概念联系起来,通过比较的方法来学习.
2.二元一次方程组的解法很多,但它的基本思想是通过把二元化为一元（消元）,把未知转化为已知的化归思想.体会消元的思想,把复杂问题转化为简单问题来处理.

【模拟试题】（答题时间：90分钟）
一、填空题
　1．下列各式：2x+4，y=－x，·x－=0，，5x－2xy=1，x2－2y=7，（2x－y）=（x+2y），其中是二元一次方程的是________．
　2．方程y+3x=4，用含x的代数式表示y的形式是________，用含y的代数式表示x的形式是________．
　3．在方程：3x－5y=15中，当x=0时，y=________，当y=－时，x=________．
　4．若x，y都是正整数，则方程x+y=3有________组解，分别是________．
　5．已知|a－1|+（a+b－3）2=0，那么a=________，b=________．
　6．方程组的解中x和y的值相等，则k=________．
　7．若y－2x=3则9+2x－y=________．
　8．已知x=2，y=－1满足方程ky－7（3x－5）=1，则k=________．
　9．若x2m－1+5yn=7是二元一次方程，则m=________;n=________．
　*10．m________时，方程的解中x，y的值都为正．
二、选择题
　11．下列方程中，二元一次方程组有（　）
　　①②③④x－y+2=2x－y=0
　　A．1个 B．2个
　　C．3个 D．4个
　12．已知a2m+2nb5与a4b3m－n是同类项，则m+n的值是（　）
　　A．1 B．2
　　C．3 D．4
　13．下列四对数中，是方程组的解是（　）
　　A． B．
　　C． D．
　14．设甲数为a，乙数为b，甲数的比乙数的3倍少1，列方程是（　）
　　A．2a－b=1 B．a－3b=1
　　C．3b=a+1 D．3b+1=a
　15．若x=2是方程3x－3y=m和5x－y=n的公共解，则m－3n等于（　）
　　A．－30 B．－24
　　C．－12 D．－36
　*16．下列判断正确的是
　　A．方程（x－2）（y+3）=0的解是
　　B．方程2x－4y=8的解必是方程组的解
　　C．t可以取任意数都是2y－x=10的解
　　D．二元一次方程组一定只有一组解
　17．解方程组第一步消元你认为下面方法最简单的一种是
　　A．①×35－②×5 B．①×6+②×2
　　C．由①得y=代入② D．①×3+②
　18．下列解题过程错在第________步
　　解方程组
　　解：①+②得12y=－36（Ⅰ）
　　∴y=－3（Ⅱ）
　　把y=－3代入②得:15+6x=－17（Ⅲ）
　　∴x=－（Ⅳ）
　　∴
　　A．Ⅰ B．Ⅱ
　　C．Ⅲ D．Ⅳ
　*19．已知方程组，则2a+b的值为
　　A．6 B．－6
　　C．18 D．9
　*20．将三元一次方程组，经过步骤①－③和③×4+②消去未知数z后，得到的二元一次方程组是
　　A． B．
　　C． D．

三、解答题
　21．解方程组
⑴
⑵解方程组
22．若方程组的解是，求代数式的值.
*23．关于x，y的方程组甲同学把①式看错解得，乙同学把②式看错解得，求a、b的值．
　24．已知是关于x，y的二元一次方程组的解．
　　求4a+b2+（－a）2008．

【试题答案】
一、1．y=－x，，（2x－y）=（x+2y）　
2．y=4－3x　x=　
3．－3　3　
4．2　x=1 y=2或x=2　y=1　
5．1　2　6．2　7．6　8．－8　9．1　1　10．＜2

二、11．D　12．B　13．D　14．C　15．B　16．C　17．D　18．C　19．C　20．A

三、21．⑴⑵
22．答案：1
23．甲的解满足②，乙的解满足①，得到方程组
　　解得a=1，b=1
　　24．把代入方程组
　　解得a=1，b=5，所求结果为30．