复合场中带电摆球“势能”最值点的确定及其应用.doc

复合场中带电摆球“势能”最值点的确定
（深圳高级中学　纪星寿）
qE
mg
F
α
中学物理在研究带电粒子在电场中的运动时，一般情况下带电粒子所受的重力远小于它所受的电场力，所以重力往往被忽略不计。但是当带电体所受的重力和电场力相差不大时，就不再能忽略不计，此时带电体处于电场和重力场同时存在的复合场中。这两种不同性质的场对带电体的作用，可以采用迭加原理进行等效处理。中学阶段研究的多数情况电场是水平的，此时重力和电场力的矢量和（以下简称为合场力）F 的大小及其和水平方向间的夹角α分别为

在研究带电摆球在这种复合场中运动时，常需确定出带电摆球具有重力势能与电势能之和（以下简称为合势能）的最高位置和最低位置。下面通过一个具体实例，对此类问题做一个探讨。
E
vA
L
A
o
问题：如图所示，在场强大小为E ，方向水平的匀强电场中，一个质量为m 、带电量为ｑ＝的带电摆球被长度为L 的绝缘细线悬挂在O 点。现给摆球一个初速度v0，使其从A点开始（细线OA水平）在竖直平面内沿圆周运动，并恰好能做完整的圆周运动。求v0的最小值vA，及此初速度下摆球在运动一周的过程中所具有的最大速度。
要解决此类问题,首先要解决摆球能做完整圆周运动的临界条件，即确定摆球能做完整的圆周运动必须能越过什么位置。
θ1
D
O
θ2
EP＝0
C
mg
qE
F
α
分析：摆球沿圆周运动过程中，起初重力做正功W1，电场力做负功W2,而且有W1>W2,摆球的速度v 增大，动能Ek增大，带电摆球合势能减少。到某一位置（设为C 点）时合势能最低。C 点在什么位置呢？
设悬线水平时，摆球所处的位置为重力势能和
电势能的参考点。则摆球具有的合势能EP为
EP＝－mgLsinθ＋qEL(1－cosθ)
＝qEL－L(qEcosθ＋mgsinθ)
＝qEL－Lsin(φ＋θ)
其中：
由此可知
⑴当φ＋θ1＝90°，即θ1＝90°－φ时，sin(φ＋θ)有最大值1，EP有最小值。由能的转化和守恒定律可知，带电摆球位于此位置处时的动能最大（设为C 点）。

而电场力qE和重力mg两力的合力F 和水平方向的夹角α为
　　　　 即 θ1＝α
⑵当φ＋θ2＝270°,即θ2＝270°－φ时，sin(φ＋θ)有最小值－1，EP有最大值。由能的转化和守恒定律可知，带电摆球位于此位置时的动能最小（设为D 点）。
由于θ2－θ1＝180°，所以O 、C 、D 三点共线。该线和水平方向间的夹角大小为　
综合上述讨论可知：当摆球在水平方向的匀强电场E中被绝缘细线拉着在竖直平面内沿圆周运动时，有下列结论
⑴合势能的最高点、最低点、悬点三点共线，该线和水平方向间的夹角大小为　
⑵摆球沿圆轨道运动时，当合场力F 的反向延长线过悬点O 的位置即为合势能的最低点；合场力F 的作用线过悬点O 的位置即为合势能的最高点；
vD
D
T
F
O
θ
⑶当运动的带电摆球经过合势能最低点时，摆球的动能最大；经过合势能最高点时，摆球的动能最小。
由上述分析可知，在合势能的最高点（设为D 点）合场力F 的作用线过悬点。故当带电摆球经过D 点有

E
vE
F
D
O
TE
β
由于带电摆球恰好能通过最高点D的临界条件是T＝0，所以带电摆球经过合势能最高点D应该具有的最小速度为
而在圆轨道上的其它各点（设为E 点），摆球的速度都大于vD。由牛顿第二定律可得
　解得　
由于 vE > vD，Fcosβ < F，所以必有TE > 0。摆球必定可以做完整的圆周运动。
由此可知，要摆球能做完整的圆周运动的条件是：在合势能最高点(动能最低点)处绝缘细线对摆球的拉力 T ≥ 0。
下面我们就利用以上讨论的结果，来解决题给摆球绕悬点O 在竖直平面内做完整的圆周运动的条件。
D
mg
qE
O
L
A
vA
α
图示，设摆球处于C 点时合势能最低，速度vC最大；处于D 点时合势能最高，速度vD最小。则当摆球恰能越过D 点的条件为

vD
D
A
vA
vC
O
C
α
α
解得
由上述讨论可知,C、O、D 三点共线,且和水平方
向间的夹角α为　
由动能定理得

化简可得摆球能做完整的圆周运动时，摆球通过A 点的最小速度vA为

由动能定理得在初速度vA下，摆球在合势能最低点C具有的最大速度vC

化简可得　
综合上述讨论可知，要解决复合场中的带电摆球在绝缘细线的约束下，在竖直平面内做完整的圆周运动所要满足的临界条件等问题，关键是确定带电摆球在复合场中的合势能的最高点。因为只要带电摆球能够通过合势能的最高点，就一定能做完整的圆周运动。而合势能的最高点就是带电摆球所受的合场力的作用线过悬点的位置。
以上讨论的是电场强度方向沿水平方向的情况，至于场强沿其它方向的情况，也可参照上述方法得出类似的结论。
练习1、如图所示,质量为m,带电量为＋q的小球,用长为L的绝缘细线系于O点, 处于匀强电场中,线的拉力F＝mg时刚好水平静止,匀强电场的宽度为2L,问
(1)若将细线剪断,小球离开电场时的速度多大?
(2)要使小球能在竖直平面内作圆周运动,小球的初速度至少多大?
E
m
q
L
O
2L

A
B
B
B’
D
O
E
练习2.如图所示,AB水平,圆轨道半径为R,均光滑,水平向右的匀强电场场强为E, 小滑块质量为m, 带正电,电量为q＝mg/E
⑴若能到达最高点B’至少离B点多远释放滑块?
⑵能达D点(与O等高)至少离B点多远释放。

A
E
r
O
练习3.图示,半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内,环上套有一个质量为M,带正电的珠子, 空间存在有水平向右的匀强电场,珠子所受的电场力为其重力的0.75倍。现将珠子从环上最低点A由静止释放,则珠子所能获得的最大动能Ek为多少?