第1章_直角三角形的边角关系1.doc

教师
陈赣祥
科目
数学
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九年级
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类别
基础

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直角三角形的边角关系
第1节 从梯子的倾斜程度谈起
本节内容：
正切的定义 坡度的定义及表示（难点） 正弦、余弦的定义 三角函数的定义（重点）

1、正切的定义
在确定，那么A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tanA。
即tanA=

■例1
已知在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AD=8，BD=4，求tanA的值。

2、坡度的定义及表示（难点
我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比）。坡度常用字母i表示。
斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：
注意：
（1）坡度一般写成1：m的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）；
（2）若坡角为a，坡度为，坡度越大，则a角越大，坡面越陡。
■例2
拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC为6m，坝高为3.2m，为了提高拦水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i=1：2变成i’=1：2.5（有关数据在图上已标明）。求加高后的坝底HD的宽为多少？

3、正弦、余弦的定义
在Rt中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA。
即sinA=
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA。
即cosA=

■例3
在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求sinA、sinB、cosA、cosB的值。通过计算你有什么发现？请加以证明。

4、三角函数的定义（重点）
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数。
直角三角形中，除直角外，共5个元素，3条边和2个角，它们之间存在如下关系：
（1）三边之间关系：；
（2）锐角之间关系：∠A+∠B=90°；
（3）边角之间关系：sinA=，cosA=，tanA=。（其中∠A的对边为a，∠B的对边为b，∠C的对边为c）
除指教外只要知道其中2个元素（至少有1个是边），就可以利用以上关系求另外3个元素。

■例4
方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm，CD=6cm斜立在墙上，其中BE=6cm，DE=2cm，你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。

本节作业：
1、∠C=90°，点D在BC上，BD=6，AD=BC，cos∠ADC=，求CD的长。

2、P是a的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），求sina、tana的值。

3、在△ABC中，D是AB的中点，DC⊥AC，且tan∠BCD=，求tanA的值。

4、在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，周长为30，求△ABC的面积。

5、（2008·浙江中考）在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是多少？

第2节 30°，45°，60°角的三角函数值
本节内容：
30°，45°，60°角的三角函数值（重点）

1、30°，45°，60°角的三角函数值（重点）
根据正弦、余弦和正切的定义，可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。

■例1
求下列各式的值。
（1）；
（2）。

本节作业：
1、 求下列各式的值。
（1）；
（2）。

2、 已知a为锐角，且tana=5，求的值。

3、 △ABC表示光华中学的一块三角形空地，为美化校园环境，准备在空地内种植草皮，已知某种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少花费多少元？

4、（2008·成都中考）2的值等于________。

5、（2008·义乌中考）计算。

第3节 三角函数的有关计算
本节内容：
利用计算器求任意锐角的三角函数值（重点） 锐角三角函数计算的实际应用（难点）
1、利用计算器求任意锐角的三角函数值（重点）
计算三角函数的具体步骤大体分两种情形：
（1）先按三角函数键，再按数字键；
（2）或先按数字键，再按三角函数键。

利用计算器还可以求角度的大小。
■例1
利用计算器求下列锐角的三角函数值。
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
2、锐角三角函数计算的实际应用（难点）
仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。
俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角成为俯角。

■例2
小刚面对黑板坐在椅子上。若把黑板看做矩形，其上的一个字看作点E，过点E的该矩形的高为BC，把小刚眼睛看做点A。现测得BC=1.41米，视线AC恰与水平线平行,视线AB与AC的夹角为25°,视线AE与AC的夹角为20°，求AC与AE的长（精确到0.1米）。

典型例题：
例1用计算器求下列三角函数值。（精确到0.001）
（1）
（2）
（3）

例2已知下列锐角的三角函数值，利用计算器求锐角。（精确到1’）
（1）
（2）
（3）

例3某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图。BC//AD，斜坡AB长22m，坡角∠BAD=68°，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡。
（1） 求改造前坡顶与地面的距离BE的长；（精确到0.1m）
（2） 为确保安全，学校计划改造时，保持坡脚A不动，坡顶B沿BC前进到F点处，问BF至少是多少？（精确到0.1m）
（参考数据：
）

例4如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，请你参考图中数据，计算车位所占街道的宽度EF。（参考数据：结果精确到0.1m）

例5要求的值，可构造如图所示直角三角形,作Rt△ABC,使∠C=90°,两直角边AC=BC=，则∠ABC=45°,所以。你能否在此基础上，求出的值？

例6（2009·娄底中考）在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂直挂了一长为30米的宣传条幅AE，张明同学站在离办公楼的地面C处测得条幅顶端A的仰角为50°，测得条幅底端E的仰角为30°。问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）

例7某轮船自西向东航行，在A处测得某岛C在其北偏东60°方向上，前进8千米到达B，测得该岛在轮船的北偏东30°方向上，问轮船继续前进多少千米与小岛的距离最近？

第4节 船有触礁的危险吗
本节内容：
方向角的定义 解直角三角形（重点） 解直角三角形的实际应用（难点）
1、方向角的定义
方向角：方向角是以观察点为中心（方向角的顶点），以正北或正南为始边，旋转到观察目标所形成的锐角，方向角也称象限角。如图，目标方向线0A、0B、0C的方向角分别为北偏东15°、南偏东20°、北偏西60°。

其中南偏东45°习惯上又叫东南方向，同样北偏西45°又叫西北方向。如OE的方向角为南偏东45°，OG的方向角为南偏西45°，那么，G、E可以说在O的哪个方向呢？由方向角的定义可知，G在O的西南方向，E在O的东南方向。

■例1
某次台风袭击了我国南部海域。如图，台风来临前，我们海上搜救中心A接到一越南籍渔船遇险的报警，于是指令位于A的正南方向180海里的救援队B立即前往施救。已知渔船所处位置C在A的南偏东34°方向，在B的南偏东63°方向，此时离台风来到C处还有12小时，如果救援船每小时行驶20海里，试问能否在台风来到之前赶到C处对其施救？（参考数据：）

2、解直角三角形（重点）
在直角三角形中，由已知一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为。
（1） 三边之间关系：
（2） 锐角之间关系：∠A+∠B=90°
（3） 边角之间关系：
（4） 面积公式：
在直角三角形中，除直角的五个量中，若已知其中的两个量（其中至少有一条边），就可以求出另外三个未知量，有如下四种类型：
Rt△ABC中，∠C=90°
已知
选择的边角关系
斜边和一直角边

由，求∠A；∠B=90°-∠A，
两直角边

由，求∠A；∠B=90°-∠A，
斜边和一锐角

∠B=90°-∠A；；
一直角边和一锐角

∠B=90°-∠A；，
注意：
（1） 在解直角三角形中，正确选择关系式是关键：
①若求边：一般用未知边比已知边，求寻找已知角的某一个三角函数；
②若求角：一般用已知边比已知边，去寻找未知角的某一个三角函数；
③求某些未知量的途径往往不唯一。选择关系式常遵循以下原则：
一是尽量选可以直接应用原始数据的关系式；
二是设法选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免用除法计算。
（2） 对于含有非基本量的直角三角形，比如有些条件中已知两边之和，中线、高线、角平分线长，角之间的关系，锐角三角函数值，周长、面积等等。对于这类问题，我们常用的解题方法是：将非基本量转化为基本量，或由基本量间关系通过列方程（组），然后解方程（组），求出一个或两个基本量，最终达到解直角三角形的目的。
（3） 在非直角三角形的问题中，往往是通过作三角形的高，构成直角三角形来解决，而作高时，常从非特殊角的顶点作高；对于较复杂的图形，往往通过“补形”或“分割”的方法，构造出直角三角形，利用解直角三角形的方法，实现问题的有机转化。
■例2某公园“六一”亲新增设一台滑梯，如图。滑梯高度AC=2m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4m。
（1）求滑梯AB的长；（结果精确到0.1m）
（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？

3、解直角三角形的实际应用（难点）
在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的应用，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决，具体地说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了。
一般有以下几个步骤：
1.审题：认真分析题意，根据题目中的已知条件，画出它的平面图，弄清已知和未知；
2.明确题目中的一些名词、术语的汉语，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角；
3.是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决；
4.确定合适的边角关系，细心推理计算。
■例3
台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数千米范围内形成旋风暴，有极强的破坏力。根据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心的最大风力为12级，每远离台风中心20千米，台风就会弱一级。台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市风力达到或超过4级，则称为受台风影响。
（1） 该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。
（2） 若会受到台风影响，那么台风影响该市的持续时间有多长？

典型例题：
例1在△ABC中，已知AB=1，AC=，∠ABC=45°，求BC的长。

例2如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼。甲船以每小时15千米的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进。甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现鱼具丢在了乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇。
（1） 甲船从C处追赶乙船用了多长时间？
（2） 甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？

例3某年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，一条船在松花江某段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°防西哪个上。前进100m到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上（如图），在以航标C为圆心，120m为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？（）

第5节 测量物体的高度
本节内容：
测量底部可以到达的物体的高度（重点） 测量底部不可以到达的物体的高度（难点）

1、测量底部可以到达的物体的高度（重点）
简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成。如图。

使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：
（1） 把支杆竖直插入地面,使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合,这时
度盘的顶线PQ在水平位置。
（2） 转动转盘,使度盘的直径对准目标M,记下此时铅垂线所指的度数。此度数就是
测点相对于被测点的仰角或俯角。

说明：
（1）所谓“底部可以到达“，就是在地面上可以无真纳干碍地直接测得测点与被测物体的底部
之间的距离。
（2）测量步骤如图（测量物体MN的高度）：
①在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=；
③量出测倾器的高度AC=（即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离）。
（3）物体MN的高度 = 。

■例1
升国旗时，沈杰同学站在离旗杆底部24m处行注目礼，当国旗升到旗杆顶部时，测得该同学视线的仰角为30°，若双眼离地面1.5m，则旗杆有多高？（结果精确到0.1m）

2、测量底部不可以到达的物体的高度（难点）
（1）所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体底部之间的距离。

（2）测量步骤（如图。测量物体MN的高度）：
①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；
②在测点A与物体之间的B处拟制测倾器（A、B与N在一条直线上，且A、B之间的距离可以直接测得），测得此时M的仰角∠MDE=β；
③量出测倾器的高度AC=BD=，以及测点A、B之间的距离AB= 。

（3）物体高度MN=ME+EN=米。

提示：测量底部不可以到达的物体的高度，求解时常要解两个直角三角形。

■ 例2
如图，从山顶A处看到地面C点的俯角为60°，看到地面D点的俯角为45°，测得CD=米，求山高AB。（精确到0.1米，≈1.732）

典型例题：
例1如图，两建筑物的水平距离为36m，从A点测得D点的俯角为36°，测得C点的俯角为45°，求这两座建筑物的高度。（结果精确到0.1m）

例2如图，河边有一条笔直的公路，公路两侧是平坦的草地，在数学活动课上，老师要求测量河对岸一点B到公路的距离，请你设计一个测量方案。

例3如图,某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角∠BPC的度数为30°，窗户的一部分在教室地面所形成的影长PE为3.5m，窗户的高度AF为2.5m，求窗外遮阳篷外端一点D到窗户上缘的距离AD。（结果精确到0.1m）

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