初等数论 教学大纲.doc文档.doc

附录1：教学大纲的格式
为便于各院系编辑印制课程教学大纲，建议理论课程、实验课程、专业实习课程分别采用以下格式：
1、理论课程教学大纲建议格式：（小括号内为说明文字）：
初等数论
Elementary Number Theory

【课程编号】（必备项 必备项：即该项内容必须填写。
）
【课程类别】专业主干课
【学分数】2
【适用专业】数学与应用数学
【学时数】36
【编写日期】2006.9
一、教学目标让学生了解经常出现在生活中的自然数和整数的一些性质，了解初等数论与算数的关系，同时，让学生知道，数论在我国的古代就已有极其光辉的成就，如勾股数、孙子定理等，通过较为系统的学习，对这门学科的基本数学思想和方法有一个初步的了解，认识到研究整数的性质和方程的整数解是很有意义的事情。
二、教学内容和学时分配
第一章 整数的可除性 （6学时）
1. 整除的概念 带余数除法
2. 最大公因数与辗转相除法
3. 整除的进一步性质及最小公倍数
4. 质数 算数基本定理
5. 函数[x],{x}及其在数论中的一个应用
第二章 不定方程 （4学时）
1. 二元一次不定方程
2. 多元一次不定方程
3. 勾股数
4. 费马问题的介绍
第三章 同余 （6学时）
1. 同余的概念及其基本性质
2. 剩余类及完全剩余系
3. 简化剩余系与欧拉函数
4. 欧拉定理 费马定理及其对循环小数的应用
5. 公开密钥—RSA体制
6. 三角和的概念
第四章 同余式 （6学时）
1. 基本概念及一次同余式
2. 孙子定理
3. 高次同余式的解数及解法
4. 质数模的同余式
第五章 二次同余式与平方剩余 （8学时）
1. 一般二次同余式
2. 单质数的平方剩余与平方非剩余
3. 勒让德符号
4. 前节定理的证明
5. 雅可比符号
6. 和数模的情形
7. 把单质数表成二数平方和
8. 把正整数表成平方和
第六章 原根与指标 （6学时）
1. 指数及其基本性质
2. 原根存在的条件
3. 指标及n次剩余
4. 模2a及合数模的指标组
5. 特征函数
（一）总论让学生了解经常出现在生活中的自然数和整数的一些性质，了解初等数论与算数的关系，同时，让学生知道，数论在我国的古代就已有极其光辉的成就，如勾股数、孙子定理等，通过较为系统的学习，对这门学科的基本数学思想和方法有一个初步的了解，认识到研究整数的性质和方程的整数解是很有意义的事情。
学时（课堂讲授学时+课程实验学时）36
主要内容：整数的可除性、不定方程 、同余、同余式、二次同余式与平方剩余、原根与指标
教学要求：有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解和理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。
重点、难点（可选项 可选项：即该项内容可根据具体情况确定是否填写。
）
其它教学环节（如实验、习题课、讨论课、其它实践活动）：
（二）第一章整数的可除性 学时（课堂讲授学时+课程实验学时）6
主要内容：
1.整除的概念 带余数除法
2.最大公因数与辗转相除法
3.整除的进一步性质及最小公倍数
4.质数 算数基本定理
5.函数[x],{x}及其在数论中的一个应用

教学要求：1、理解整数整除、公因子、公倍数的概念及相关性质，理解剩余定理，熟练掌握用剩余定理求最大公因子、最小公倍数的方法。
　　2、理解素数与合数的概念、素数的性质，理解整数的素数分解定理，会用筛法求素数。
　　3、了解函数[x]与{x}的概念、性质，n!的素数分解、组合数为整数的性质。
　　4、了解抽屉原理的简单与一般形式、会用抽屉原理构造一些具有特殊性质整数。
重点、难点：（可选项）整除的概念 带余数除法、最大公因数与辗转相除法、整除的进一步性质及最小公倍数、质数 算数基本定理 、函数[x],{x}及其在数论中的一个应用
其它教学环节：（如实验、习题课、讨论课、其它实践活动）：1学时习题课
（三）第二章 不定方程 学时（课堂讲授学时+课程实验学时）4
主要内容：
1.二元一次不定方程
2.多元一次不定方程
3.勾股数
4.费马问题的介绍
教学要求：1、了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整数解的条件，熟练掌握利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的方法。
2、知道多元一次不定方程有解的条件，会求解简单的多元一次不定方程。
重点难点：二元一次不定方程、多元一次不定方程、勾股数、费马问题的介绍
其他教学环节：0.5学时习题课
（四）第三章 同余 学时 6
主要内容：
1.同余的概念及其基本性质
2.剩余类及完全剩余系
3.简化剩余系与欧拉函数
4.欧拉定理 费马定理及其对循环小数的应用
5.公开密钥—RSA体制
6.三角和的概念

教学要求：　1、理解整数同余的概念及同余的基本性质，熟练掌握整数具有素因子的条件，会利用同余简单验证整数乘积运算的结果。
　　2、理解剩余系、完全剩余系的概念，熟练掌握判断剩余系的方法，理解欧拉函数的定义及性质。
　　3、了解欧拉定理、Fermat小定理，掌握循环小数的判定方法。
重点难点：同余的概念及其基本性质、剩余类及完全剩余系、简化剩余系与欧拉函数、欧拉定理 费马定理及其对循环小数的应用、三角和的概念
其他教学环节：0.5学时习题课
（五）第四章 同余式 学时：6
主要内容：
1.基本概念及一次同余式
2.孙子定理
3.高次同余式的解数及解法
4.质数模的同余式
教学要求：1、理解同余式的定义，掌握一次同余式有解的条件，熟练掌握求解一次同余式。
　　2、理解中国剩余定理，掌握中国剩余定理的简单应用，掌握求解简单同余式方程组的方法。
　　3、了解高次同余式解的个数的判断方法，知道解高次同余式的方法，了解模整数同余式与模素数同余式的关系，掌握求简单的（3、4次）同余式解的方法。
　　4、了解素数模同余式的次数化简、Wilson定理，了解同余式的次数与解的个数的关系，知道n次同余式有n个解的条件。
重点难点：一次同余式、孙子定理、高次同余式、质数模的同余式
其他教学环节：0.5学时习题课
（六）第五章 二次同余式与平方剩余 学时 8
主要内容：
1.一般二次同余式
2.单质数的平方剩余与平方非剩余
3.勒让德符号
4.前节定理的证明
5.雅可比符号
6.和数模的情形
7.把单质数表成二数平方和
8.把正整数表成平方和
教学要求：　1、理解二次同余式的一般形式、模整数同余与模素数幂同余的关系、平方剩余与平方非剩余的概念。
　　2、理解单素数的平方剩余与平方非剩余的欧拉判定法，了解单素数的平方剩余与平方非剩余的个数。
　　3、了解Legendre符号的定义、性质及Jacobi符号的定义、性质，熟练掌握利用Legendre和Jacobi符号判断同余式的解的存在性。
　　4、掌握非素数模的二次同余式有解的条件及解的个数的有关结论。
重点难点：二次同余式、单质数的平方剩余与平方非剩余、勒让德符号、雅可比符号、和数模的情形、把单质数表成二数平方和、把正整数表成平方和
其他教学环节：1学时习题课
（七）第六章 原根与指标 学时 6
主要内容：
1.指数及其基本性质
2.原根存在的条件
3.指标及n次剩余
4.模 及合数模的指标组
5.特征函数
教学要求：1、 了解原根的定义、阶数的定义及其基本性质。
　　2、 会讨论原根存在的条件，掌握求原根的简单方法。
　　3、会利用原根得到整数简化剩余系的方法。
　　4、了解指标的定义、性质，掌握指标的应用（讨论同余式有解的条件及解的个数）。
重点难点：指数及其基本性质、原根存在的条件、指标及n次剩余、模 及合数模的指标组、特征函数
其他教学环节：0.5学时习题课

三、教材与学习资源（必备项）
1.闵嗣鹤，严氏健.初等数论（第三版）.北京：高等教育出版社，2003
2.陈景润.初等数论。北京：科学出版社，1991
3.潘承洞，潘承彪.简明数论.北京：高等教育出版社
四、先修课要求（必备项）及教学策略与方法建议（可选项）
本课程要求的背景知识为：数学分析，高等代数
五、考核方式（必备项）
闭卷考试成绩为主，学生习题讨论、文献报告为辅。