万有引力 1.doc

万有引力 1.开普勒第三定律：T2/R3＝K(＝4π2/GM)｛R:轨道半径，T:周期，K:常量(与行星质量无关，取决于中心天体的质量)｝ 2.万有引力定律：F＝Gm1m2/r2 （G＝6.67×10-11N•m2/kg2，方向在它们的连线上） 3.天体上的重力和重力加速度：GMm/R2＝mg；g＝GM/R2 ｛R:天体半径(m)，M：天体质量（kg）｝ 4.卫星绕行速度、角速度、周期：V＝(GM/r)1/2；ω＝(GM/r3)1/2；T＝2π(r3/GM)1/2｛M：中心天体质量｝ 5.第一(二、三)宇宙速度V1＝(g地r地)1/2＝(GM/r地)1/2＝7.9km/s；V2＝11.2km/s；V3＝16.7km/s 6.地球同步卫星GMm/(r地+h)2＝m4π2(r地+h)/T2｛h≈36000km，h:距地球表面的高度，r地:地球的半径｝ 注: (1)天体运动所需的向心力由万有引力提供,F向＝F万； (2)应用万有引力定律可估算天体的质量密度等； (3)地球同步卫星只能运行于赤道上空，运行周期和地球自转周期相同； (4)卫星轨道半径变小时,势能变小、动能变大、速度变大、周期变小（一同三反）； (5)地球卫星的最大环绕速度和最小发射速度均为7.9km/s。

在天体运动中,将两颗彼此相距较近的行星称为双星.他们在万有引力作用下间距保持不变,并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动,如果双星间距为l,质量分别为m1和m2,求双星的轨道半径;双星的运行角速度

w 角速度 两个相等
万有引力提供向心力
G*m1*m2/L方=m1w方r1
G*m1*m2/L方=m2w方r2
连立 r1+r2=L

带回原式得r1 r2
得出后用
G*m1*m2/L方=m1w方r1
G*m1*m2/L方=m2w方r2

把角速度表示出来,再列式,可解
提问者评价
谢谢

一、根据万有引力定律分析天体、卫星的运动
天体、卫星的运动近似看成匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，即，根据实际情况选择不同的关系式；同时利用星球表面物体所受万有引力近似等于物体重力的规律公式，，进行求解问题。
当卫星由于某种原因速度突变时（开启或关闭发动机或空气阻力作用），万有引力就不再提供向心力，卫星将变轨运行，可结合开普勒定律进行解题。
当v增大时，卫星做离心运动，脱离原轨道，轨道半径增大，进入新轨道后，由知其运行速度减小，但重力势能、机械能均增加。当v减小时，卫星做向心运动，脱离原轨道，轨道半径变小，进入新轨道后，由知其运行速度增大，但重力势能、机械能均减小。
　　（一）定轨运行特征量计算问题
1．（2010·全国2，21）已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍，若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为
A．6小时 B．12小时
C．24小时 D．36小时
解析：对地球同步卫星有＝m()2×7R地，对某行星的同步卫星有＝m()2×R行，两式相比得T1∶T2＝＝2∶1，那么行星的同步卫星周期为12小时，即该行星的自转周期约为12小时，B项对，故答案：B
点评：本题考查同步卫星的相关知识，对考生的运算能力要求较高．
2．（2010·四川，17）a是地球赤道上一幢建筑，b是在赤道平面内做匀速圆周运动、距地面9.6×106 m的卫星，c是地球同步卫星，某一时刻b、c刚好位于a的正上方(如图甲所示)，经48 h，a、b、c的大致位置是图乙中的(取地球半径R＝6.4×106 m，地球表面重力加速度g＝10 m/s2，π＝)

解析：对b有G＝m()2(R＋h)，而G＝mg，所以b的运动周期Tb＝2π ，即Tb＝2.0×104 s＝ h．故b经48 h转过的圈数为n＝＝8.64圈。而c的周期与地球的自转周期相同，即a与c都转过2圈，回到原处，所以答案应为B.
点评：本题考查万有引力与人造地球卫星，意在考查考生对同步卫星运动特点的理解，并能正确利用卫星做圆周运动所需的向心力即卫星所受的万有引力解答卫星运动问题．
3．（2010·北京，16）一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上。已知引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为
A．() B．()
C．() D．()
解析：赤道表面的物体对天体表面的压力为零，说明天体对物体的万有引力恰好等于物体随天体转动所需要的向心力，有G＝mR和ρ＝得：T＝，选项D正确。
点评：本题意在考查考生运用万有引力定律和牛顿第二定律解决天体运动问题的能力．计算天体圆周运动时的周期，为密度计算的逆过程。
4．（2010·上海，24）如图，三个质点a、b、c质量分别为、、。在C的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之比,则它们的周期之比=______；从图示位置开始，在b运动一周的过程中，a、b、c共线了____次。

解析：根据，得,所以，在b运动一周的过程中，a运动8周，所以a、b、c共线了8次。
5．（2010·上海，15）月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为，设月球表面的重力加速度大小为，在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度大小为，则
A． B． C． D．
解析：根据月球绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球引力提供，选B。难度：中等。
点评：以上两题均考查万有引力定律和圆周运动，但后者在两者结合上很巧妙，是个很好的题目。
6．（2010·新课标，20）太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道。下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图象。图中坐标系的横轴是lg(T/T0)，纵轴是lg(R/R0)；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径．下列4幅图中正确的是

解析：根据开普勒周期定律：周期平方与轨道半径三次方正比可知,两式相除后取对数，得：，整理得：，选项B正确。
点评：本题考查天体运动的周期与轨道半径的关系。可根据万有引力提供向心力公式：，进行求解，所以此题为万有引力定律和开普勒定律的双向考查。
7．（2010·浙江，20）宇宙飞船以周期为T绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示.已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为T0，太阳光可看做平行光．宇航员在A点测出地球的张角为α，

A．飞船绕地球运动的线速度为
B．一天内飞船经历“日全食”的次数为T/T0
C．飞船每次“日全食”过程的时间为
D．飞船周期为T=
解析：飞船绕地球运动的轨道半径r＝，飞船绕地球运动的线速度v＝＝，A选项正确。因为一天的时间为T0，飞船每绕地球转动一次将看到一次“日全食”，所以一天内飞船经历“日全食”的次数为T0/T，B选项错误。只要没有太阳光照到飞船上，飞船上将处于“日全食”的过程中，这个过程所对应的圆心角等于α，飞船每次经历“日全食”的时间为T，故C选项错误。飞船的周期T＝＝，D选项正确．所以答案：AD
点评：本题考查万有引力定律、圆周运动、光学和日食模型的综合应用，有一定的新意，是道很好的题目。
启示：从以上试题主要考查牛顿第二定律和万有引力定律的综合应用，分析天体等定轨运行时，圆周运动的周期问题。结合2011年考试大纲，在今年的备考中，仍应多加注意定轨运行的特征量计算问题。
　　（二）变轨运行特征量变化分析问题
8．（2010·江苏，6）2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有

A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度
B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能
C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度
解析：航天飞机在轨道Ⅱ上从远地点A向近地点B运动的过程中万有引力做正功，所以A点的速度小于B点的速度，选项A正确；航天飞机在A点减速后才能做向心运动，从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，所以轨道Ⅱ上经过A点的动能小于在轨道Ⅰ上经过A点的动能，选项B正确；根据开普勒第三定律＝k，因为轨道Ⅱ的长半轴小于轨道Ⅰ的半径，所以航天飞机在轨道Ⅱ的运动周期小于在轨道Ⅰ的运动周期，选项C正确；根据牛顿第二定律F＝ma，因航天飞机在轨道Ⅱ和轨道Ⅰ上A点的万有引力相等，所以在轨道Ⅱ上经过A点的加速度等于在轨道Ⅰ上经过A点的加速度，选项D错误．故答案：ABC
点评：本题考查万有引力和开普勒定律的综合应用，意在考查考生分析航天飞机变轨过程中的相关问题的能力。难度：中等。
【真题扩展】
航天飞机在A点从圆形轨道I变到II，航天飞机应向前喷气还是向后喷气？
答案：应向前喷气使航天飞机减速。
9．（2010·天津卷，6）探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比
A．轨道半径变小 B．向心加速度变小
C．线速度变小 D．角速度变小
解析：由于，所以，T变小，r变小，A正确。又，，r变小，an增大，B错误。由，，r变小，v增大，C错误。由，，r变小，ω增大，D错误，故答案为A。
10．（2010·海南，10）火星直径约为地球的一半，质量约为地球的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的1.5倍。根据以上数据，以下说法正确的是
A．火星表面重力加速度的数值比地球表面小
B．火星公转的周期比地球的长
C．火星公转的线速度比地球的大
D．火星公转的向心加速度比地球的大
解析：由得，计算得火星表面的重力加速度约为地球表面的2/5，A正确；由得，公转轨道半径大的周期长，B对；周期长的线速度小，(或由判断轨道半径大的线速度小)，C错；公转向心加速度，D错。故答案选：AB
点评：以上两题均考查万有引力定律和圆周运动的结合，分析圆周运动特征量随半径的变化规律，难度：中等。
11．（2010·山东，18）1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元．“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M和远地点N的高度分别为439 km和2384 km，则

A．卫星在M点的势能大于N点的势能
B．卫星在M点的角速度大于N点的角速度
C．卫星在M点的加速度大于N点的加速度
D．卫星在N点的速度大于7.9 km/s
解析：东方红卫星在轨道运行过程中，机械能保持不变．由于M点离地面高度小于N点，所以卫星在M点的势能小于在N点的势能，选项A错误；卫星在M点的速度大于在N点的速度，由角速度公式ω＝v/R可知卫星在M点的角速度大于在N点的角速度，选项B正确；由于M点离地面高度小于N点，所以卫星在M点所受万有引力大于在N点所受的万有引力，由牛顿第二定律可知，卫星在M点的加速度大于在N点的加速度，选项C正确；7.9 km/s是卫星围绕地球表面做匀速圆周运动的最大环绕速度，所以卫星在N点的速度一定小于7.9 km/s，选项D错误．故答案：BC
点评：本题通过卫星椭圆轨道运动特点（可认为是卫星变轨的一个中间过程），考查航天运动、机械能守恒定律、圆周运动、牛顿第二定律、万有引力定律等知识点，意在考查考生理解和综合运用知识的能力．难度：中等。
二、天体质量和密度计算问题
1．利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。
　　由，得天体质量，天体密度。
2．通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T，轨道半径r。
（1）由万有引力等于向心力，即，得出中心天体质量；
（2）已知天体的半径R，则天体的密度；
（3）若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估测出中心天体的密度。
12．（2010·安徽，17）为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”。假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2。火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，引力常量为G。仅利用以上数据，可以计算出
A．火星的密度和火星表面的重力加速度
B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力
C．火星的半径和“萤火一号”的质量
D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力
解析：由于万有引力提供探测器做圆周运动的向心力，则有
；，可求得火星的质量和火星的半径，根据密度公式得：。在火星表面的物体有，可得火星表面的重力加速度，故选项A正确。
点评：本题主要考查天体运动知识，意在考查考生对天体运动中的一些基本公式的理解和应用，如求解天体质量、密度等。
13．（2010·福建卷，14）火星探测项目是我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目．假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行的周期为T1，神舟飞船在地球表面附近的圆形轨道运行周期为T2，火星质量与地球质量之比为p，火星半径与地球半径之比为q，则T1与T2之比为(　　)
A．　　　 B． C． D．
解析：本题意在考查学生应用万有引力定律分析实际问题的能力．火星探测器绕火星做圆周运动过程中，火星对探测器的万有引力提供向心力，即：＝mR1()2?T1＝，同理可知飞船绕地球的周期T2＝，所以＝＝，D项正确．
点评：本题关注我国航天事业的发展，意在考查学生应用万有引力定律分析实际问题的能力，为天体质量和密度的逆向计算。
启示：本类型要求考生熟练掌握万有引力定律在处理有关第一宇宙速度、天体质量和密度、周期与距离以及同步卫星的方法，特别要关注今年度航天事件。
三、双星运动问题
双星运动问题是指两天体仅在彼此的引力作用下做圆周运动，两天体做圆周运动的向心力由万有引力提供，两天体运动的向心力、角速度和周期相等，质量与半径呈反比。
14．（2010·全国1，25）如右图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。

（1）求两星球做圆周运动的周期。
（2）在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）
审题引导
两星球在运动时时靠彼此间的万有引力提供向心力。两星球运动时的周期、角速度相等。
解析：(1)设两个星球A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，相互作用的引力大小为F，运行周期为T.根据万有引力定律有：F＝G ①，由匀速圆周运动的规律得：F＝m()2r ②F＝M()2R ③由题意有：L＝R＋r ④联立①②③④式得T＝2π ⑤。
（2）在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O不在地心，月球做圆周运动的周期可由⑤式得出：T1＝2π ⑥，式中，M′和m′分别是地球与月球的质量，L′是地心与月心之间的距离。若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则：G＝m′()2L′⑦，式中，T2为月球绕地心运动的周期。由⑦式得T2＝2π ⑧。由⑥⑧式得：()2＝1＋，代入题给数据得：()2＝1.012
【真题扩展】
第1问中，两星球做圆周运动的半径是分别多少?
解析：由，所以，又因为r+R=L解得：,
15．（2010·重庆，16）月球与地球质量之比约为1∶80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动，据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为
A．1∶6 400 B．1∶80
C．80∶1 D．6 400∶1
解析：月球和地球绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力相等。且月球和地球和O始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期。因此有，所以，线速度和质量成反比，正确答案C。
点评：以上两题均以双星为模型，意考查万有引力定律与圆周运动的综合应用。