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椭圆偏振法测量薄膜厚度及折射率

实验目的：
1、利用椭偏仪测量硅衬底薄膜的折射率和厚度；提高物理推理与判别处理能力。
2、用自动椭偏仪再测量进行对比；分析不同实验仪器两种方式的测量。提高误差分析与分配能力。

教学安排
手动测量记录P、A 2学时
自动测量并计算n、d 1学时
对比研究 1学时

原理综述：

椭圆偏振法简称椭偏法，是一种先进的测量薄膜纳米级厚度的方法，椭偏法的基本原理由于数学处理上的困难，直到上世纪40年代计算机出现以后才发展起来，椭偏法的测量经过几十年来的不断改进，已从手动进入到全自动、变入射角、变波长和实时监测，极大地促进了纳米技术的发展，椭偏法的测量精度很高（比一般的干涉法高一至二个数量级），测量灵敏度也很高（可探测生长中的薄膜小于0.1nm的厚度变化）。利用椭偏法可以测量薄膜的厚度和折射率，也可以测定材料的吸收系数或金属的复折射率等光学参数。因此，椭偏法在半导体材料、光学、化学、生物学和医学等领域有着广泛的应用。
通过实验，读者应了解椭偏法的基本原理，学会用椭偏法测量纳米级薄膜的厚度和折射率，以及金属的复折射率。

一、 实验原理
椭偏法测量的基本思路是，起偏器产生的线偏振光经取向一定的1/4波片后成为特殊的椭圆偏振光，把它投射到待测样品表面时，只要起偏器取适当的透光方向，被待测样品表面反射出来的将是线偏振光。根据偏振光在反射前后的偏振状态变化（包括振幅和相位的变化），便可以确定样品表面的许多光学特性。

设待测样品是均匀涂镀在衬底上的透明同性膜层。如图3.5.1所示，n1，n2和n3分别为环境介质、薄膜和衬底的折射率，d是薄膜的厚度，入射光束在膜层上的入射角为φ1，在薄膜及衬底中的折射角分别为φ2和φ3。按照折射定律有
(3.5.1)

光的电矢量分解为两个分量，即在入射面内的P分量及垂直于入射面的S分量。根据折射定律及菲涅尔反射公式，可求得P分量和S分量在第一界面上的复振幅反射率分别为

而在第二个界面处则有

从图3.5.1可以看出，入射光在两个界面上会有很多次的反射和折射，总反射光束将是许多反射光束干涉的结果，利用多光束干涉的理论，得p分量和s分量的总反射系数

其中

是相邻反射光束之间的相位差，而λ为光在真空中的波长。
光束在反射前后的偏振状态的变化可以用总反射系数比（Rp/Rs）来表征。在椭偏法中，用椭偏参量ψ和Δ来描述反射系数比，其定义为

分析上述格式可知，在 λ，φ1，n1，n3确定的条件下，ψ和Δ只是薄膜厚度d和折射率n2的函数，只要测量出ψ和Δ，原则上应能解出d和n2。然而，从上述格式却无法解析出d=（ψ，Δ）和n2=（ψ，Δ）的具体形式。因此，只能先按以上各式用电子计算机算出在λ，φ1，n1和n3一定的条件下（ψ，Δ）~（d，n）的关系图表，待测出某一薄膜的ψ和Δ后再从图表上查出相应的d和n（即n2）的值。
测量样品的ψ和Δ的方法主要有光度法和消光法。下面介绍用椭偏消光法确定ψ和Δ的基本原理。
设入射光束和反射光束电矢量的p分量和s分量分别为 Eip，Eis，Erp，Ers，则有

于是

为了使ψ和Δ成为比较容易测量的物理量，应该设法满足下面的两个条件：
（1） 使入射光束满足

（2） 使发射光束成为线偏振光，也就是令反射光两分量的位相差为0或π。
满足上述两个条件时，有

其中βip，βis，βrp，βrs分别是入射光束和反射光束的p分量和s分量的位相。

图3.5.2是本实验装置的示意图，在图中的坐标系中，x轴和x’面内且分别与入射光束或反射光速的传播方向垂直，而y和y’垂直于入射面。起偏器和检偏器的透光轴t和t’ 与x轴或x’角分别为P和A。

下面将会看到，只需让1/4波片的快轴f与x轴的夹角π/4（即45°），便可以在1/4波片后面得到所需的满足条件| Eip | = | Eis | 的特殊椭圆偏振入射光束。
图3.5.3中的Eip代表由方位角为P的起偏器出射的线偏振光。当它投射到快轴与x轴夹角为π/4的1/4波片时，将在波片的快轴f和慢轴s上分解为

通过1/4波片后，Ef将比Es超前π/2，于是在1/4波片之后应有

把这两个分量分别在x轴及y轴上投影并再合成为Ex和Ey，便得到

可见，Ex和Ey也就是即将投射到待测样品表面的入射光束的p分量和s分量，即

显然，入射光束已经成为满足条件| Eip | = | Eis |的特殊圆偏振光，其两分量的位相差为

由图3.5.4可以看出，当检偏器的透光轴t’与合成的反射线偏振光束的电矢量Eip垂直时，即反射光在检偏器后消光时，应该有

这样，由式（3.5.5）可得

可以约定，A在坐标系（x’，y’）中只在第一及第四象限内取值。下面分别讨论（βrp-βrs）为0或π时的情形。
（1）（βrp-βrs）=π. 此时P记为P1，合成的反射线偏振光的Er在第二及第四象限里，于是A在第一象限并记为A1。由式（3.5.7）可得到

（2）（βrp-βrs）=0. 此时的P记为P2，合成的放射线偏振光Er在第一及第三象限里，于是A在第四象限并记为A2，由式（3.5.7）可得到

从式（3.5.8）和式（3.5.9）可得到（P1,A1）和（P2,A2）的关系为

因此，在图（3.5.2）的装置中只要使1/4波片的快轴f于x轴的夹角为π/4，然后测出检偏器后消光时的起、检偏器方位角（P1,A1）或（P2,A2），便可按式（3.5.8）或式（3.5.9）求出（ψ，Δ），从而完成总反射系数比的测量。再借助已计算好的（ψ，Δ）~（d，n）的关系图表，即可查出待测薄膜的厚度d和折射率n2。
附带指出，当n1和n2均为实数时，

也是一个实数。d0称为一个厚度周期，因为从式（3.5.2）可见，薄膜的厚度d每增加一个d0，相应的位相差2δ也就改变2π，这将使厚度相差d0的整数倍的薄膜具有相同的（ψ，Δ）值，而（ψ，Δ）~（d，n）关系图表给出的d都是以第一周期内的数值为准的，因此应根据其它方法来确定待测薄膜厚度究竟处在哪个周期怀中。不过，一般须用椭偏法测量的薄膜，其厚度多在第一周期内，即在0~d0之间。能够测量微小的厚度（纳米量级），正是椭偏法的优点。
用椭偏法也可以测量金属的复折射率。金属复射率n2可分解为实部和虚部，即

据理论推导（参见附录），上式中的系数N，K与椭偏角ψ，Δ有如下的近似关系：

可见，测量出与待测金属样品总反射系数比对应的椭偏参量ψ和Δ，便可以求出其复折射率n2的近似值。

附录：
测厚仪基本原理
一束光从空气垂直入射到薄膜表面，由菲涅耳反射定律，其振幅反射系数为

其中，为复折射率，为消光系数
振幅透射系数为

透射光在薄膜/基底界面再次发生反射，其振幅反射率为

反射光在两界面间多次发生反射。则第一次的反射光和多次反射的透射光在空气中发生多光束干涉，其干涉的总振幅相对于入射光的反射比为

其中，则光强反射比

1 对于air/film/substrate/air系来说，如果其中substrate为吸收材料，且足够厚，而没有反射光从基底/空气界面反射回来，则反射率

2 对于air/film/substrate/air系来说，如果其中substrate为无吸收材料，则基底/空气界面有光反射上来，设空气折射率为1，则
（1）透射率曲线
T = transmittance =
其中

， ，
其中为薄膜物理厚度，是薄膜折射率，是薄膜消光系数，是基底折射率
（2）反射率曲线
R=reflectance=
其中

和上面相同

3 对于多层膜系
界面矩阵为

膜层矩阵为

多层膜系的矩阵为

则
，

…………………………………………………………………………………………
，
反射相位变化

，，，
…………………………………………………………………………………………
二 优化拟合方法
最优化方法的基本原理是，根据反射光干涉的基本理论，在一定范围内改变反射曲线的参量（，，，），使理论曲线和实验得到的曲线方差最小，即

由于变量数太多，为了确定解和加快收敛速度，要对这些参量加入一些限制或对参量进行转换再加入限制，比如建立折射率和消光系数的色散模型（即折射率和消光系数随波长改变而改变的规律）。
mean squared error (MSE)，Levenberg-Marquardt algorithms
the mean squared error (MSE) to quantify the difference between experimental and calculated model data: a smaller MSE implies a better fit. Levenberg-Marquardt algorithms are commonly used to quickly minimize the MSE value.

常用的方法及模型有：
（1）Cauchy方程
折射率和消光系数可以展开为波长的无穷级数。如果取

即为Caucy方程，其中，，，，，是6个拟合参量，也可取前2项等。适用于各种透明材料（btw:如果作无穷级数展开，也包含一次项，三次项等，理论上可适用于任何材料）。
（2）Sellmeier关系
适用于透明和红外半导体材料。

其中是拟合参量。
（3）Lorentzj经典振荡模型

其中是振荡的中心波长，A是振荡强度，g是阻尼因子。第一个方程右边的式子代表无限能量（零波长）的介电常数，多数情况下用来代替会更加符合实际情况。该色散关系主要应用于吸收带附近的折射率色散。
（4）Forouhi-Bloomer色散关系
该色散模型主要用于模拟半导体和电介质的复折射率，复折射率中的折射率和消光系数的关系如下:

其中

上述方程中，只有，，，，是独立的拟合参量。
（5）Drude模型
该模型主要针对金属薄膜。电介质材料主要由自由载流子决定，设为等离子体频率，为电子散射频率，则

通常，上面色散方程的参量至少需要三次方的拟合才能确定。
（6）Chambouleyron逐点无约束最优化方法。
此方法使用一些物理约束，如在吸收带附近，有
（a）,
（b）和是递减函数
（c）是凸起的，即
（d）在波长区间中存在一个，有，在和在。
可转化为
，，，
；；；。
多功能自动椭偏测厚仪，它的基本结构如图3.5.5所示。光源采用635.0nm的单模半导体激光器，探测器是集成光电二极管，入射角在30°~90°内连续可调，适用于不同衬底材料表面的薄膜样品，整个过程可以由计算机自动完成，也可部分由手工操作。

三、 实验内容

1、测厚仪的调节。按一起说明书调节好起偏器、检偏器和1/4波片的位置，确定入射角，如70°，放上样品，打开仪器主机电源和计算机电源，使仪器处于待测状态。
2、测量硅（Si）衬底表面的SiO2薄膜厚度和折射率n2.其中硅的复折射率取3.85-0.02i，空气折射率取n1=1.
3、测量氧化锆（ZrO2）衬底表面上生长超导薄膜厚度d和折射率n2.其中ZrO2的折射率取2.1.
4、测量金属铝或硅的复折射率n2.
5、进一步实验。改变入射角，使其等于60°和50°.分别测量同一块薄膜样品（如SiO2）的厚度和折射率，并分析结果的相对误差和产生误差的原因。
*6、实验设计训练。若样品的薄膜厚度大于一个膜厚周期d0，怎样测定其真实厚度？试设计一个实验确定未知样品薄膜的膜厚周期和周期数。

四、 思考与讨论

1、椭偏测厚仪设计的基本思想是什么？各主要光学部的作用是什么？
2、试列举椭偏法测量中可能的误差来源，并分析它们对测量结果的影响。
3、非接触式测量，用光纤探头来接收反射光，不会破坏和污染薄膜？
4、测量速度快，测量时间为秒的量级？
5、可用来测薄膜厚度，也可用来测量薄膜的折射率n和消光吸收k？
6、可测单层薄膜，还可测多层膜系？
7、可广泛应用于各种介质，半导体，液晶等透明半透明薄膜材料？
8、软件的材料库中整合了大量材料的折射率和消光系数，可供用户参考？
9、内嵌微型光纤光谱仪，结构紧凑, 光纤光谱仪也可单独使用？
10、可猜测薄膜厚度以节省测量时间？
11、可从大量的材料库中选择薄膜和基底的材料？
12、可选择光谱范围？

仪器平台

实验报告
内容
评分办法及要求
分数
预习报告（20）
一、要求有完整的实验名称和实验目的：
1）椭圆偏振法测量薄膜的厚度及折射率实验总体概述。（1）
2）明确椭圆偏振法测量薄膜的厚度及折射率实验设计思想。（3）
3）了解椭圆偏振法测量薄膜的厚度及折射率实验仪器组件，明确测量过程与分析要素。（3）
4）了解椭圆偏振法测量薄膜的厚度及折射率实验的发展历史与作用，明确椭圆偏振法测量薄膜的厚度及折射率的广泛应用。（3）
10

二、要求用自己的语言准确、简单地概述实验原理和实验步骤，自己制作完成相应数据记录表格、分析步骤及注重内容与措施等。
10
实验过程处理（40）
一、了解椭圆偏振法测量薄膜的厚度及折射率实验仪结构及原理并进行正确操作和观察
1）按照椭圆偏振法测量薄膜的厚度及折射率仪操作要求制订测量计划，正确开启电源，调整仪器，观察椭圆偏振光在薄膜反射后的消光过程。（5）
2）操作并观察P、A（5）
3）把握消光点。（5）
4）记录P、A并选择正确的计算公式（5）
20
二、正确使用椭圆偏振法测量薄膜的厚度及折射率实验仪器，使测量更加具有科学性和准确性：
1）熟练掌握计算和查表（10）
2）用自动椭偏仪再进行测量，并与手动测量结果进行比对。（10）
20
完成实验报告（40）
1）格式（安排合理、书写工整、书面整洁）。（5）
2）有真实实验过程的记录，特别是调整组件的记录。（5）
3）在测量数据的基础上，计算并查表得出薄膜的厚度与折射率。（5）
4）进一步比对自动椭偏仪测量的结果。（5）
5）深入仪器分析，有参数要求。（5）
6）实验总结与误差分析。（5）
7）思考题及心得（5）
8）参考书目（5）
40

参考文献:

1. <运动引起骨骼肌疲劳的微观机理的椭圆偏振法研究>,《华东师范大学学报(自然科学版)》1997年03期,陈家森;孙树峰等.
2. <椭圆偏振法研究双相不锈钢的钝化膜>,中国腐蚀与防护学报, 1986年 04期  周庆初; 徐乃欣; 石声泰.
3. <用椭圆偏振法检测真空镀膜机的返油量>,真空科学与技术,1986年01期, 浙江大学光仪系.
4. <原位椭圆偏振光谱法研究多孔阳极氧化铝膜生长过程>,第十四次全国电化学会议论文, 2007,四川省电子协会.
补充内容1：

众所周知, 光是电磁波,光的性质除了用波长、频率和传播方向描述外,还需用振幅、位相和偏振方向来描述。
普通光源发出的光是非偏振光，它是由许多没有固定位相关系的偏振光组成的，它的电矢量方向均匀地分布在垂直于光传播方向的平面上。
偏振光分为线偏振光、圆偏振光和椭圆偏振光，其中线偏振光的电矢量的方向限定在一定方向上振动，椭圆偏振光电矢量端点的轨迹在垂直于光传播方向平面上的投影为一椭圆, 这些光均可用分解在两个互相垂直的方向上的分量来表示（这两个分量一个是振动平面平行于入射面的分量P或称P波,另一个是振动面垂直于入射面的分量S或称S波）, 如此分解, 那么光在不同介质的分界面上所发生的现象,便可借助于两个特定的线偏振光（ P波和S波）来进行分析，参看图3-6-1, 从图中, 我们还看出, 当光线由进入时，光入射到界面
以后, 将分成两束,一束反射,一束透射。r和t分别表示反射系数和透射系数，用分别表示入射光、反射光和透射光的振幅,依反射系数和透射系数的定义则有：
, (1)
将（1）式分解到P与S两分量上，则反射系数和透射系数有如下表示形式。即菲涅尔公式（参见田国光《光学》§12-3：）

（2）
s
s
p
p
p
n1
n2

图3-6-1 光在两种介质面上的反射和折射

当光线由进入时，入射角为，则折射角为，利用折射定律，此时的反射系数与透射系数分别用和表示，则：
（3）

（2）式与（3）式相比：
(4)
现在我们来分析光从空气（折射率为）入射到单层膜系（由折射率为的衬底和折射率为、厚度为的薄膜构成的系统）的情况，见图3-6-2。

图2光波在单层介膜中传播
由图3-6-2不难看出，反射光是由（1）、（2）、（3）、……（条光构成的，并且在它们之间有一定的位相差。入射光的振幅为，设它为1，则（1）光的振幅为，（2）光的振幅为，（3）光的振幅为，……余此类推。
条光的振幅为，每相邻两条光之间的位相差是：
（5）
由图3-6-2, 为总的反射光的振幅，它应是（1）、（2）、（3）……条光叠加的结果，即：
……=
应用前述

总的反射系数为R，根据反射系数的定义：

（6）
由此看来，光在单层膜上的总反射系数可视为光在一等效界面上的反射系数，如果把它沿P和S分量分解（6）式便可写成

(7)
.
本实验是通过反射系数比(G)来测出反射前后光的偏振状态的变化，这里
G = , （8）
与是复数，所以可用它的模数和一个相因子表示出来，即
（9）
（9）式与（7）式相比较，代入（8）式，参照（6）式整理后得出：
（10）
1.6
360

280

图3-6-3 关系曲线

1.45
2.0
200
120
40
0
10
30
50
70
90

由（10）式不难看出，反射系数比中的参量有关。

如果、、和都是已知的，此时给一个值便对应一组确定的、、和的值，当确定后，便可得到一组相应的和的值，可分别作出―曲线—曲线，并从而得到一条—曲线。

因此，若以为纵坐标，以为横坐标作图，连续改变，便可描绘出一条曲线，并每当确定一个值时，再连续改变后，便又可得到一条相应的—关系曲线。
如图3-6-3为，（硅衬底），，时的—与参量的关系曲线。
因此，如果通过实验测出和之后，利用图3-6-3便可查出，再由测出的在—曲线上查出的值，将代入（5）式，便可求出薄膜的厚度。

对反射系数比中用来描述光的偏振状态变化的参量和的物理意义可作如下分析：根据（8）式，
tg
引入反射系数的定义，则：

令

（11）

通过（11）式可以看出：
的物理意义是P波和S波的位相差经系统反射后的变化，而是P波与S波的相对振幅的比。
通过上述分析，得知薄膜的折射率及厚度的测量，是通过反射系数比中的参量和的测量来实现的。(11)式中如果使分母，即入射光的P波与S波的振幅相等，于是。如果使反射光为线偏振光。A是线偏振光的偏振方位角，则，所以，又当反射光为线偏振光时，只能取0或的数值。则或。从而使、的计算得以简化。
补充内容2：
先用椭偏仪来测量和，其光路图如图3-6-4所示，由氦氖激光器发出的单一波长(632.8nm)的光，它不是线偏振光，经起偏器之后，变成为线偏振光，再经其快轴与S方向成角方位放置的1/4波片后又变成椭圆偏振光，并且此椭圆光的P波与S波的振幅是相等的，而且是处处相等的（后面将作定量的计算）。只要适当的选取入射到样品上的入射光的椭圆度，将能使反射光变为线偏振光。为达到此目的，可转动起偏器改变入射光的线偏振方位角。再转动检偏器，如果出现了消光状态，说明从样品上反射的光为线偏振光。这时的检偏角所转过的角度恰好就是反射线偏振光的线偏振方位角A，从而实现了上述和或的简化。
下面我们定量的分析光经1/4波片（1/4波片的快轴与S轴的夹角称为+）后，它的振幅与位相差（）的情况，见图3-6-5。

3-6-4 椭偏仪的光路图
是经过起偏器后的线偏振光的电矢量。它与X轴（S）的夹角称为起偏角以P表示，经1/4波片后将沿快、慢轴分解而成椭圆偏振光，并且比在位相上超前，和可做如下表示

把、再沿P和S分解为和，那么

将、代入上式，则：
（12）
由（12）式不难看出，、这两个分量的振幅确实相等，而且。

图3-6-5 等幅椭圆偏振光的获得
下面再来分析当反射消光时，的取值与检偏角的关系，并进一步确定和。JT75-1型椭偏仪规定，检偏轴与反射光的P波方向重合时，检偏角，并且将面对光线沿顺时针方向转过的角度规定为正值，反之为负值，其转角范围最大为，而起偏角P的规定是，起偏轴与S轴重合时为，面对光线沿顺时针方向转角，转角范围为，有以下两种情况：

图3-6-6 反射线偏方位角与检偏角的关系
（1）当时，反射偏振光在Ⅰ、Ⅲ象限内振动，它与S轴的夹角叫反射线偏振光的线偏振方位角，如果上述角度是A，那么检偏角必然在角度是+A时消失，见图3-6-6，此时A和P规定为（，），则根据（11）式和相关的讨论

(2)当时，反射线偏光一定在Ⅱ、Ⅳ象限内振动，因而反射消光时检偏角必定是负值，令它为、相应的起偏角为，则：

以上结论可综合成下面的反射消光判据表。
反射消光判据表（当快轴与S夹角时）
（，）组

（，）组

此表中()与()之间有如下转换关系，即与的绝对值应相等，而和间相差。
综上所述，只要测得反射消光时的（），和（）便可依据反射消光判据表算出和，从而完成f 和的测量。用的关系曲线定出和，再由（5）计算出，这就完成了薄膜折射率与厚度的测量。