立体几何与空间向量.doc

《立体几何与空间向量》学案
【学习目标】
1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘．
2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算．
3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；会用向量工具求空间的角和距离
【问题导学】
阅读教材，完成下列问题：
空间向量
定义、加法、减法、数乘运算
数量积
坐标表示：夹角和距离公式
求距离
求空间角
证明平行与垂直
1. 建构知识网络

2．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；
(1) 向量：具有 和 的量．(2) 向量相等：方向 且长度 ．
(3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．
(5) 数乘向量法则： ．
3．线性运算律
(1) 加法交换律：a＋b＝ ．(2) 加法结合律：(a＋b)＋c＝ ．
(3) 数乘分配律：(a＋b)＝ ．
4．共线向量
(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ．
(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，a∥b等价于存在实数，使 ．
(3) 直线的向量参数方程：设直线l过定点A且平行于非零向量a，则对于空间中任意一点O，点P在l上等价于存在，使 ．
5．共面向量
(1) 共面向量：平行于 的向量．
(2) 共面向量定理：两个向量a、b不共线，则向量P与向量a、b共面的充要条件是存在实数对()，使P ．
共面向量定理的推论： ．
6．空间向量基本定理
(1) 空间向量的基底： 的三个向量．
(2) 空间向量基本定理：如果a，b，c三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p，存在一个唯一的有序实数组，使 ．
空间向量基本定理的推论：设O，A，B，C是不共面的的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组，使 ．
7．空间向量的数量积
(1) 空间向量的夹角： ．(2) 空间向量的长度或模： ．
(3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a、b，则a·b＝ ．
空间向量的数量积的常用结论：
(1) cos〈a、b〉＝ ； (2) ïaï2＝ ；
(3) ab ．(4) 空间向量的数量积的运算律：
(5) 交换律a·b＝ ； (6) 分配律a·(b＋c)＝ ．
8. 设a＝，b＝
(1) a±b＝ (2) a＝ ．
(3) a·b＝ ．(4) a∥b ；ab ．
(5) 设
则＝ ， ．AB的中点M的坐标为 ．
9.求角：
（1）直线和直线所成的角：求二直线上的向量的夹角或补角；
（2）直线和平面所成的角：
①找出射影，求线线角；
②求出平面的法向量，直线的方向向量，设线面角为θ,则.
（3）二面角：
①求平面角，或求分别在两个面内与棱垂直的两个向量的夹角（或补角）；
②求两个法向量的夹角（或补角）.
10.求距离
_
a
_
n
N
M
H
θ

（1）点M到面的距离
（如图）就是斜线段MN在法向量方向上的正投影.
由
得距离公式：
（2）线面距离、面面距离都是求一点到平面的距离；
（3）异面直线的距离：求出与二直线都垂直的法向量和连接两异面直线上两点的向量，再代上面距离公式.
【问题探究】
例1.如图已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.

例2如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.
（1）证明：D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为.

例3.如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .
（Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .

【课堂训练】
1.如图在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且∠DAB=60，,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点.
(1) 证明：AD 平面DEF;
(2) 求二面角P-AD-B的余弦值.

2.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，.
（I）求证：平面PAB⊥平面PAD；
（II）设AB=AP.
（i）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长；
（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由。

（第三题） （第二题）
3.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=P D．
（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；
（II）求二面角Q—BP—C的余弦值．

4.如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形，．
（Ⅰ）证明：;
（Ⅱ）求与平面所成角的大小．

5.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.
（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;
（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．
【自主小结】