期末复习---函数的性质.doc

海门市四甲中学 2013 高二第二学期数学（文）期末复习学案 函数
函数的单调性
编制：严黎黎 复核：汤东东 审核: 陆钧 讲义编号： 3
学习目标
1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；
2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性．
一、知识梳理
1．函数单调性的概念
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有 ，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y＝f(x)的 ．如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有 ，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y＝f(x)的 ．
2．单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y＝f(x)在区间I上具有 ，单调增区间和单调减区间统称为 ．
3．函数的最值
一般地，设y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得对任意的x∈A，都有 ，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)；如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)．
思考：若函数f(x)的最小值为a，最大值为b，函数的值域是[a，b]吗？
二、基础训练
1.下列函数中：
①； ②； ③； ④．
其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有______．
2.函数的递增区间是___ ___．
3.函数的递减区间是__________．
4.已知函数在定义域R上是单调减函数，且，则实数a的取值范围__________．
5.已知下列命题：
①定义在上的函数满足，则函数是上的增函数；
②定义在上的函数满足，则函数在上不是减函数；
③定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数；
④定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数．
其中正确命题的序号有___________．
三、典型例题
例1. 求证：（1）函数在区间上是单调递增函数；

（2） 函数在上是单调递减函数；

（3）函数在区间和上都是单调递增函数．

例2.确定函数的单调性．

例3.已知函数．
（1）讨论函数在区间上的单调性，并证明；

（2）求函数在区间上的最大值与最小值；

（3）试求函数的最小值．

例4. 已知函数在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围．

课后作业：
1．已知函数，则该函数在上单调递__ _，（填“增”“减”）值域为_________．
2．已知函数在上是减函数，在上是增函数，则_____.
3. 函数的单调递增区间为_______.
4. 函数的单调递减区间为____________．
5． “a=1”是“函数在区间[1，+∞)上为增函数”的_______条件．
6．在下列四个函数中，①； ②； ③； ④．满足性质：“对于区间上的任意，恒成立”的函数的序号有________．
7．已知是上的减函数，那么的取值范围是________．
8．设函数的定义域为，有下列三个命题：
①若存在常数，使得对任意，有，则是函数的最大值；
②若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值；
③若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值．
这些命题中，真命题的序号有______．
9. 若函数为R上的减函数，且的图象经过点A（0，3）和B（3，－1），则不等式
的解集为_______________.
10、在上是增函数的是
A、；B、；C、；D、
11、若在区间上都是减函数，则a的取值范围是__________
12、函数在区间上是增函数，那么实数a的取值范围是_______
13、函数的定义域为_________
14、已知函数在其定义域上单调递增，求函数的单调递减区间__________。
15、已知函数（a为正常数），且函数与的图像在y轴上的截距相等。（1）求a的值；（2）求函数的单调递增区间。

16. 已知函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围．

17. 设函数f(x)=－ax，其中a>0．证明：当a≥1时，函数f(x)在区间上是单调函数．

18. 已知函数＝＋有如下性质：如果常数＞0，那么该函数在0，上是减函数，在，＋∞上是增函数．
（1）如果函数＝＋（＞0）的值域为6，＋∞，求的值；
（2）求函数＝＋(＞0)在区间上的最小值；
（3）研究函数＝＋（常数＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（4）对函数＝＋和＝＋（常数＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）．
函数；在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数．

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