用对偶单纯形法求解线性规划问题.doc

例4-7 用对偶单纯形法求解线性规划问题.
Min z =5x1+3x
s.t. -2 x1 + 3x≥6
3 x1 - 6 x≥4
Xj≥0（j=1,2）
解： 将问题转化为
Max z = -5 x1 - 3 x
s.t. 2 x1 - 3x+ x3 = -6
-3 x1 + 6 x+ x4≥-4
Xj≥0（j=1,2，3,4）
其中，x3 ，x4 为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表4-17.
表4-17 例4-7单纯形表
Cj
-6
-3
-4
0

CB
XB
b
X1
X2
X3
X4

迭代0次
0
X4
-6
2
[-3]
1
0

0
X5
-4
-3
6
0
1

0
-5
-3
0
0

CB
XB
b
X1
X2
X3
X4

迭代1次
-3
X4
2
-2/3
1
-1/3
0

0
X3
-16
1
0
2
1

6
-7
0
-1
0

在表4-17中,b=-16<0,而y≥0,故该问题无可行解.
注意: 对偶单纯形法仍是求解原问题,它是适用于当原问题无可行基,且所有检验数均为负的情况.
若原问题既无可行基,而检验数中又有小于0的情况.只能用人工变量法求解.
在计算机求解时,只有人工变量法,没有对偶单纯形法.

3.对偶问题的最优解
由对偶理论可知,在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系,可以根据这些关系,从求解原问题的最优单纯形表中,得到对偶问题的最优解.

(1) 设原问题(p)为
Min z=CX
s.t.
则标准型(LP)为
Max z=CX
s.t.
其对偶线性规划（D）为
Max z=bTY
s.t.

用对偶单纯形法求解（LP），得最优基B和最优单纯形表T（B）。对于（LP）来说，当j=n+i时，有Pj=-ei，cj=0

从而，在最优单纯形表T（B）中，对于检验数，有
（σn+1，σn+2…σn+m）=（cn+1，cn+2…，cn+m）-CBB-1（Pn
+1,Pn+2…,Pn+m）=- CBB-1 (-I)
于是，Y*=（σn+1，σn+2…σn+m）T 。可见，在（LP）的最优单纯形表中，剩余变量对应的检验数就是对偶问题的最优解。
同时，在最优单纯形表T（B）中，由于剩余变量对应的系数
所以
B-1 =（-y n+1，-y n+2…-yn+m）

例4-8 求下列线性规划问题的对偶问题的最优解。
Min z =6x1+8x
s.t. x1 + 2x≥20
3 x1 + 2x≥50
Xj≥0（j=1,2）

解： 将问题转化为
Max z =-6x1-8x
s.t. -x1 — 2x + x3=20
-3 x1 - 2x+ x4 =50
Xj≥0（j=1,2，3,4）
用对偶单纯形法求解如表
表4-18 例4-8单纯形表

Cj
-6
-8
0
0

CB
XB
b
X1
X2
X3
X4

迭代0次
-8
X4
5/2
0
1
-3/4
1/4

-6
X5
15
1
0
1/2
-1/2

-110
0
0
3
1

在引入松弛变量化为标准型之后，约束等式两侧同乘-1，能够立即得到检验数全部非正的原规划基本解，可以直接建立初始对偶单纯形表进行求解，非常方便。
对于有些线性规划模型，如果在开始求解时不能很快使所有检验数非正，最好还是采用单纯形法求解。因为，这样可以免去为使检验数全部非正而作的许多工作。从这个意义上看，可以说，对偶单纯形法是单纯形法的一个补充。除此之外，在对线性规划进行灵敏度分析中有时也要用到对偶单纯形方法，可以简化计算。

例4-9：求解线性规划问题：
Min f = 2x1 + 3x2 + 4x3
S.t. x1 + 2x2 + x3 ≥ 3
2x1 - x2 + x3 ≥ 4
x1 , x2 , x3 ≥ 0
标准化：Max z = - 2x1 - 3x2 - 4x3
s.t. -x1-2x2-x3+x4= -3
-2x1+x2-3x3+x5= -4
x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
表格对偶单纯形法
Cj
-6
-8
0
0

CB
XB
b
X1
X2
X3
X4

迭代0次
-8
X4
5/2
0
1
-3/4
1/4

-6
X5
15
1
0
1/2
-1/2

-110
0
0
3
1