二面角真题.doc

二面角（2010-2012真题）
1.（2012年全国高考课标卷）如图，直三棱柱中，是棱的中点，。
（1）证明：；
（2）求二面角的大小。

2.（2012年全国高考全国卷一）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，
是上的一点，。
（1）证明：平面；
（2）设二面角为，求与平面所成角的大小。

3.（2011年全国高考课标卷）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD。
(Ⅰ)证明：PA⊥BD；
(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

4.（2011年全国高考全国卷一）如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形，。
(Ⅰ)证明：平面；
(Ⅱ)求与平面所成角的大小。

5.（2010年全国高考全国卷一）如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC。
（Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小。

6.（2010年全国高考全国卷二）如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，。
（Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小。

二面角（2010-2012真题）参考答案
1.（2012年全国高考课标卷）
【试题解析】（1）证明：在中， 得：，
同理： 得：面。
（2）解：面，
取的中点，过点作于点，连接，
，面面面。
得：点与点重合。
且是二面角的平面角。
设，则，。
既二面角的大小为。
2.（2012年全国高考全国卷一）
【试题解析】设,以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则设。
（Ⅰ）证明：由得， 所以，，，所以，
。所以,，所以平面；
（Ⅱ）解：设平面的法向量为，又，由得，设平面的法向量为，又，由，得，由于二面角为，所以，解得。
所以，平面的法向量为，所以与平面所成角的正弦值为，所以与平面所成角为。
3.（2011年全国高考课标卷）
【试题解析】（Ⅰ）因为, 由余弦定理得 ，从而BD2+AD2= AB2，故BDAD
又PD底面ABCD，可得BDPD，所以BD平面PAD. 故PABD。
（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴 建立空间直角坐标系D-，则
,,,。

设平面PAB的法向量为=（x,y,z），则
即 ，
因此可取=。
设平面PBC的法向量为，则
可取=（0，-1，）， 所以。
故二面角A-PB-C的余弦值为 　。
4.（2011年全国高考全国卷一）
【试题解析(Ⅰ)证明：取中点，连结，则四边形为矩形，。
连结，则，。
又,故,所以为直角。 （3分）
由,,,得平面,所以。
即与两条相交直线、都垂直，
所以平面。 （6分）
另解:由已知易求得,于是，可知。
同理可得,又，所以平面。 （6分）
(Ⅱ)解：由平面知，平面平面。
作,垂足为,则平面ABCD,。
作,垂足为,则。
连结，则，又,
故平面,平面平面 。 （9分）
作,为垂足,则平面。
,即到平面的距离为。
由于,所以平面,到平面的距离也为，
设与平面所成的角为,则,。 （12分）
6.（2010年全国高考全国卷一）
【试题解析】解法一：
（Ⅰ）证明：连结BD，取DC的中点G，连结BG，由此知DG=GC=BG=1,即△DBC为直角三角形，故BC⊥BD。
又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，
所以，BC⊥平面BDS，BC⊥DE。
作BK⊥EC，K为垂足，因平面EDC⊥平面SBC，故BK⊥平面EDC，BK⊥DE。
即DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直。
所以 DE⊥平面SBC，DE⊥EC，DE⊥SB。
SB=，
DE=，
EB=，SE=SB-EB=。
所以SE=2EB。
（Ⅱ）解：由SA=，AB=1，SE=2EB，AB⊥SA，知
AE=，又AD=1，故△ADE为等腰三角形。
取ED中点F，连结AF，则AF⊥DE，AF=。
连结FG，则FG∥EC，FG⊥DE，
所以，∠AFG是二面角A—DE—C的平面角。
连结AG，AG=，FG=，
，
所以，二面角A—DE—C的大小为120°。
（2010年全国高考全国卷二）
【试题解析】解法一：（Ⅰ）证明：连接，记与的交点为F。
因为面为正方形，故，且。
又，所以，又D为的中点，
故，。
作，G为垂足，由知，G为AB中点。
又由底面面，得面.连接DG，则，
故，由三垂线定理，得。
所以DE为异面直线与CD的公垂线。
（Ⅱ）解：因为，故为异面直线与CD的夹角，。
设，则。
作，H为垂足.因为底面面，故面，又作，K为垂足，连接，由三垂线定理，得，因此为二面角的平面角。
，
，
，，

二面角（2012长春市调研题汇编）
1.（2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合暨长春市二模）如图，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，，，。
⑴求证：平面；
⑵求平面与平面所成锐角的正切值。

2.（2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合暨长春市三模）已知四棱柱中，,，，。
⑴求证：；
⑵求二面角的正弦值；
（3）求四面体的体积。

3.（2012年长春市高三毕业班第四次调研测试）如图，棱柱的所有棱长都等于，
，平面平面。
⑴证明：；
⑵求二面角的余弦值；
⑶在直线上是否存在点,使∥平面？若存在，
求出点的位置；若不存在，请说明理由。

4.（2012年东北三省三校：东师附中、哈师附中、辽宁省实验中学2013届高三第一次联合模拟测试一）如图，底面为平行四边形的四棱柱ABCD—A’B’C’D’，DD’⊥底面ABCD，∠DAB=60°，AB=2AD，DD’=3AD，E、F分别是AB、D’E的中点。
（1）求证：DF⊥CE；
（2）求二面角A—EF—C的余弦值。

5.（2012年东北四校：东师附中、吉林省实验中学、哈尔滨三中、辽宁省实验中学联考一）
已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是正三角形，侧面ABB1A1是菱形，且，是A1B1的中点，
（1）求证：平面ABC；
（2）求二面角A1—BB1—C的余弦值。

二面角（2012长春市调研题汇编）参考答案
1.（2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合暨长春市二模）
【试题解析】解：⑴证明：【方法一】.设，取中点，连结，
则∥且＝。
∵，，
∴∥且＝，∴是平行四边形， ∴。
∵平面,平面,
∴平面，即平面。 (6分)
【方法二】.如图建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，
则，而，∴，令，则，，

. ∵， ∴＝0，∴，
而平面，∴平面。 (6分)
⑵设平面与平面所成二面角的平面角为，由条件知是锐角，
由⑴知平面的法向量为。
又平面与轴垂直，
∴平面的法向量可取为，
∴，
∴即为所求。
2.（2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合暨长春市三模）
【试题解析】解：⑴由四边形是正方形，
∴。又平面，，
∴，而，
∴平面，。又，
∴平面，从而。 (4分)
⑵以为坐标原点，，,为坐标轴建立空间直角坐标系，则易得。
设平面的法向量为，则由 ，求得；
设平面的法向量为，则由，求得，
则根据,于是可得。 (9分)
(3) 设所给四棱柱的体积为V,则，又三棱锥的体积等于三棱锥的体积，记为；而三棱锥的体积又等于三棱锥的体积，记为，
则由于， ，
∴所求四面体的体积为。
3.（2012年长春市高三毕业班第四次调研测试）
【试题解析】⑴证明：由条件知四边形是菱形，所以。
而平面平面，平面平面，
所以平面。
又平面，所以. (3分)
⑵解：因为，是菱形，所以。
而，所以是正三角形.
令，连结，则两两互相垂直.
如图所示，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，， 平面的法向量为。
设是平面的法向量，则
。
令，则即。
设二面角的平面角为，
则是锐角，并且
，
因此二面角的余弦值为。 (8分)
⑶解：设这样的点存在，且，而，所以。
又，所以，。
设是平面的法向量，则 。
令，则，即.要使∥平面当且仅当，所以。
这说明题目要求的点存在，实际上，延长到点，使得即得到所求的点。 (12分)
4. （2012年东北三省三校：东师附中、哈师附中、辽宁省实验中学2013届高三第二次联合模拟测试一）【试题解析】（Ⅰ）证明：为等边三角形，设，则
， 即。 (３分)
底面， 平面， 。
。 (６分)
（Ⅱ）解：取中点，则，又,所以△为等边三角形。
则，。
分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设,
则,
。
设平面的法向量为，
则 。
取， 平面的法向量为， （8分）
则
取， （10分）
，
所以二面角的余弦值为。 （12分）
5.（2012年东北四校：东师附中、吉林省实验中学、哈尔滨三中、辽宁省实验中学联考一）
【试题解析】（Ⅰ）∵侧面是菱形且 ∴为正三角形。
又∵点为的中点 ∴ 。
∵∥ ∴。
由已知 ∴平面 。 （4分）
（Ⅱ）（解法一）连接，作于，连接。
由（Ⅰ）知面，∴。
又 ∴面 ∴。
∴为所求二面角的平面角 。 （8分）
设菱形边长为2，则，
在中，由知：。
在中， ， ∴。
即二面角的余弦值为 。 （12分）

解法二：如图建立空间直角坐标系：
设菱形边长为2，
得，，
，。
则，，
，。
设面的法向量，由,得：
，令，得 。 （8分）
设面的法向量， 由，得：
,令，得 。 （10分）
得。
A
D
N
M
E
G
B
又二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为。 （12分）