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《圆的面积》重难点分析
一、重点分析：
《圆的面积》是人教版教材六年级上册第四单元的教学内容，属于空间与图形领域。圆形是学生在学习中所接触到的第一个曲边图形，图形“由直到曲”的背后隐匿着丰富的内容和深刻的数学思想，蕴含着巨大教育价值。
在小学阶段，平面图形面积的教学是从长方形、正方形开始的。通过在长方形、正方形里摆单位面积的小正方形，引导学生观察发现长方形、正方形的面积正好是所摆单位面积的小正方形每行个数乘以行数，即长方形的长乘宽来推导出长方形、正方形的面积计算公式。这是所有平面图形面积计算的基础。在此基础上，又通过把平行四边形剪拼成长方形，把两个完全一样的三角形、梯形拼成一个大的平行四边形进一步推导出平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式。在这一过程中，学生不但学会了面积计算的方法。同时，也在学生的头脑中建立了有关平面图形面积计算的思维体系。
其具体过程如图所示：
长方形面积
正方形面积
平行四边形面积
三角形面积
梯形面积
组合图形面积
圆的面积
几何学
小学
初中
四年级
五年级
六年级
直边图形
曲边图形

重难点：体会极限思想，掌握圆面积计算公式的推导过程。

《圆的面积》在课程体系中的作用非常突出，具体说有如下三点：
1.《圆的面积》是知识体系的转折点
圆的教学是在学生学习了一些直边图形的周长和面积的基础上进行的，是“由直到曲”的起点；圆的面积是六年级第二学期学习圆柱、圆锥的基础，也是初中学习平面几何的基础。因此，圆在空间与图形领域的学习中是一个转折点起着承上启下的作用。圆的面积是在圆的认识、圆周长基础上进行的是形成“由直到曲”认识链条中的重要一环。此外，圆的面积也为统计与概率领域中扇形统计图的学习提供了必要的支持。
2.《圆的面积》是数学思想的渗透点
在《圆面积》的学习中蕴含着丰富的数学思想方法，如转化的方法，极限思想，对应思想……而对于学生来说其中最为陌生的就是极限思想，这是学生第一次的真切感悟和经历，是从有限到无限，初步渗透极限思想的关键点。
3.《圆的面积》是培养学习方法的促进点
在《圆面积》的学习过程中需要学生运用转化的方法，将未知图形转化为已知图形，这是以前学习方法的一个巩固和延续。但以前的转化都是将“直到直”，而当下要实现“曲到直”，学生不免会产生一种顾虑——还能转化吗？转化的学习方法是普适的吗？当问题解决后学生会对“转化”这一学习方法产生新的认识。
综上，《圆的面积》无论在知识上、数学思想上还是学习方法上对于学生都是非常关键的，蕴含着丰富育人价值。

二、难点分析：
圆的面积的教学同样要以平面图形面积教学为基础，但却是最难的。因为以前所学到的平面图形都是平面上的直线图形，而圆是平面上的曲线图形。圆能不能转化为已学图形呢？如果能，怎样转化呢？这些都是困扰学生的难点问题。这些难点又是如何形成的呢？我想主要有如下几个方面：
（一）由知识点本身决定的
圆是小学阶段学生接触到的第一个曲边图形，其独有的“曲线”特征对于学生的已有知识经验和活动经验都是一种全新的挑战。我们首先对比一下各版本涉及这部分知识点的教材：
人教版教材

苏教版教材

浙江版教材

北师大版

以上版本教材包括课改前的教材都采用了将圆形通过沿直径平均分成若干份，通过拼摆转化成近似长方形的方法推导面积计算公式。然而，对于能否转化成标准的直边图形学生非常难理解，这需要学生用直观的“有限等分”去想象和理解抽象的“无限等分”，其中的思维跨度是人类历经千年才自然实现的，这与现代学生在短时间内就需要理解和掌握形成了鲜明的对比，其中的困难也就不言而喻了。课改后某些版本的教材，如苏教版教材和浙江版教材又增加了如下的教学内容。这正是教材编者充分的考虑到了学生理解上的困难，是教育结果由“结果向过程”转变的体现。

（二）学生自身认知水平决定的
美国数学家G·波利亚说过：“看似结论是可行的，这似乎是事实，但是人们怎么会发现这些事实呢？而我自己如何才能想到或发现它们呢？”。现实中小学生的抽象概括能力较弱，他们对抽象概念的理解总是借助于对直观事物的了解。因而学生对于抽象的无限分割是很难理解的，而理解的过程又恰恰是本内容学习的关键点。具体从如下几个方面分析：
1. 基于以往经验的分析
在以往的教学实践中，学生总是不敢将圆剪开，也就不可能想到将圆转化成长方形进而推导面积计算公式的方法。而当教师给出分割图后，大部分学生认为不能转化。因为圆的便是弯曲的；少数学生认为能够转化，但不知道从哪里入手才能把圆拼成学过的图形。这样看来学生自主探究圆的面积公式是有难度的。应用原来推导面积计算公式的方法和思维是确定的，但如何在操作中把圆的曲边变成直边是学生最大的思维障碍也是教学中公认的难点。
2. 基于对学生调研的分析
课前，对教学班级进行了前测，题目如下：

具体测试数据如下：
计算公式和推导过程都不知道的
7
14.3%
只知道圆面积公式
40
81.6%
知道公式及公式推导过程
2
4.1%
推导过程是通过看书或课外学习知道的
2
100%
通过前测可以看到，多数学生知道圆面积公式，但只有很少的学生知道公式推导过程，而其过程的掌握也只是看书得来的，而不是自己想到的，与我以往教学实践是相吻合的。
综上所述，《圆的面积》在学生几何知识的构建体系中是非常重要且特殊的一环。由于圆与以前学习的直线图形性质有很大不同，对“曲线图形”转化为直线图形学生是第一次接触，对学生已有知识和经验都是一种挑战，因此，“化圆为方”的转化方法和极限思想的感受是本节课的难点。

教师简介：

王彦伟，北京市东城区教师研修中心小学数学教研员，本科学历，中学高级，北京市数学特级教师。北京市“中小学名师发展工程”首批培养对象，吴正宪小学数学教师工作站首批进站成员。曾获得北京市人民政府颁发的第三届北京市基础教育教学成果一等奖、第四届北京市基础教育教学成果二等奖。曾荣获北京市优秀教师，北京市课改先进个人，东城区优秀青年知识分子，东城区优秀青年人才等荣誉称号。参与人教版教材教师指导用书的编写及北京版小学数学教材1-4册教材编写。曾在教育部主办的“全国教学经验交流与研讨会”上做展示课《可能性的大小》；曾获得北京市教学大赛一等奖，北京市教学设计评比一等奖；论撰写的多篇论文在全国、北京市获奖，并在省级以上刊物发表，指导多名教师获全国、市级赛课一等奖。

吴建成老师，本科学历，中学高级，北京市骨干教师。现任职北京市东城区府学胡同小学数学教学主任，连续十几年被聘为东城区兼职教研员。曾获得东城区“东兴杯”教学大赛中获决赛一等奖，全国论文评比一等奖，全国教学案例评比一等奖，全国微课一等奖，北京市录像课一等奖，东城区教育成果一等奖，北京市教育成果二等奖，东城区育人奖，东城区教育新秀，东城区优秀教师，北京市基本功比赛高段二等奖等近三十余项奖项。撰写的40余篇论文先后获得多个全国和市、区级奖项，先后承担市、区级研究课30余节次，工作业绩突出。