均匀带电圆锥面轴线上电势的分布.doc

均匀带电圆锥面轴线上电势的分布
孙扬智
（西南交通大学 机械工程学院茅以升班 学号20091283）
摘要：利用电势的叠加定理来计算均匀带电圆锥面轴线上任意一点的电势，并且运用DTP(Digital Teaching of Physics)软件进行模拟计算。结论表明：圆锥轴线上电势的大小是先增加后逐渐减小到零，并在圆锥内部存在一个电势最高点，利用DTP将底面半径变量设为滑动条P_m,电荷密度变量设为P_n,圆锥高度变量设为X，研究一般情况下均匀带电圆锥面轴线上电势的分布，使物理问题更加清晰明了，易于理解。
关键词：电势，电势叠加定理，圆锥面轴线，DTP。
引言：
在大学物理的学习和教学中，一般仅仅介绍均匀带电圆环轴线上任意点的电势以及均匀带电圆盘轴线上任意点的电势,这些都是属于比较规则的带电体，计算过程简单。即使涉及圆锥面，也只是定态的处理。而本文从电势叠加定理出发，从一般情况入手，即把圆锥底边半径，电荷密度，圆锥高度均设为变量，分别加上滑动条，采用圆环带微元积分法和点电荷直接积分法，利用DTP平台进行处理，计算每一种情况下均匀带电圆锥面轴线上电势的分布。并对结果做了相应的分析与讨论。
1.均匀带电圆锥面轴线上电势的分布
1.1圆环带微元积分法
如图１所示，将圆锥面划分为圆环带微元，
圆环带半径为ｒ，圆环带圆心离原点的距离ｙ，
其轴线上任意一点p距原点的距离为z，
并把圆锥的底面半径设为a，圆锥的高设为b，圆锥面上的均匀电荷密度为，圆锥母线与轴线的夹角为θ，故 。取任意一个小圆环，则其带电量，又由于， 图1 带电圆环带微元积分法示意图
故 。根据均匀带点圆环在轴线上任意一点p的电势公式：

根据电势叠加定理，整个圆锥面在p点激发的电势，即对上式进行积分，则

利用经过积分求出轴线上任意一点p的电势为：

1.2点电荷直接积分法
与上面1.1条件一样，圆锥底面半径为a，圆锥的高为b，锥面均匀电荷密度为，圆锥母线与轴线的的夹角为θ，即
以锥顶点为坐标原点，建立如图二所示
坐标系。
由于电荷均匀分布在圆锥的表面上，
为了方便计算，采用球坐标系进行计算。
根据球坐标系和直角坐标系的对应关系： 图2 均匀带电圆锥面

则圆锥轴线上任意一点p的位矢为

在圆锥表面上任取一面积元，并设元点S的位矢为：

元点和场点之间的矢量为：

由于，则锥面上任意一小面积元dA为：

面积元dA在场点P产生的电势dU为：

将（1）、（2）式代入（3），并两边积分，得到：

上式为一个二重积分，积分后代入角度关系式整理得到圆锥面轴线上任意一点的电势为：

从上式可以看出点电荷直接积分法与圆环带微元积分法计算结果完全相同。
2、利用DTP平台模拟，分析
为了更加清晰地考察圆锥体轴线上的电势分布，本文运用了DTP(Digital Teaching of Physics)平台来处理圆锥体轴线上的电势分布。这里，我们把圆锥面的底面半径设为滑动条P_m，把圆锥面的高设为滑动条X，圆锥面上的均匀电荷密度为P_n，从一般情况入手来讨论圆锥体轴线上的电势分布。
通过程序运行，得到以下图形：

3.结果分析
a.圆锥顶点的电势。将z=0代入（4）式，得到顶点电势为：

b.圆锥底面中心的电势。将z=b代入（4）式，得到圆锥底面中心的电势为

则圆锥底面中心与顶点电势之差为：
。
C.整个轴上的电势先增大后逐渐减小，并且当时，这是符合物理规律的，因为对于电荷分布在有限区域的带电体，一般取无穷远处的电势为零电势。从图中也可以看出在圆锥内部轴线某处，电势将达到最大值。
4.结语
采用点电荷直接积分法与圆环带微元积分法，运用电势叠加定理，并且采用DTP编程软件计算出了一般情况下均匀带电圆锥面轴线上的电势的解析表达式，使用DTP作图看出圆锥轴线上电势的大小是先增大后逐渐减小到零。并在圆锥内部存在一个电势最高的点。结果表明，利用DTP软件处理复杂物理问题时，具有独特的优势，可以真实的进行模拟分析，使问题更加简单易懂。

附DTP程序如下：
POINT3F p,p1,p2,q[201];
m_setpoint(&p,-100,-60,0); m_setpoint(&p1,-100,90,0); m_setpoint(&p2,100,-60,0);
RGB color,color1,color2;
m_setcolor(&color,100,100,255);m_setcolor(&color1,0,0,0);m_setcolor(&color2,255,0,0);
DIRECT direction;
direction.alpha=90;
direction.beta=0;
EnableLight();
BeginDraw(p,direction,90);
DrawCylinder(0,P_m,color,255,X,100,10,GLU_FILL,false);
EndDraw();
PDrawArrow(p, p2, 10,2, color1);
PDrawArrow(p, p1, 10, 2, color1);
for(int i=0;i<200;i=i+1)
{q[i].x=i-100;q[i].z=0;
q[i].y=0.05*P_n*P_m/sqrt(pow(P_m,2)+pow(X,2))*((sqrt(pow(P_m,2)+pow(X,2)+pow(i,2)-2*X*i)+0.5*i*X/sqrt(pow(P_m,2)+pow(X,2))*((log(sqrt(pow(P_m,2)+pow(X,2)+pow(i,2)-2*X*i)+sqrt(pow(P_m,2)+pow(X,2))-i*X/sqrt(pow(P_m,2)+pow(X,2)))/log(2.718)-log(sqrt(pow(P_m,2)+pow(X,2)+pow(i,2)-2*X*i)-sqrt(pow(P_m,2)+pow(X,2))+i*X/sqrt(pow(P_m,2)+pow(X,2)))/log(2.718)))-(i+0.5*i*X/sqrt(pow(P_m,2)+pow(X,2))*(log(i-i*X/sqrt(pow(P_m,2)+pow(X,2)))/log(2.718)-log(i+i*X/sqrt(pow(P_m,2)+pow(X,2)))/log(2.718)))))-60;
CDrawCurve(&q[0],i+1,color2);
}
DisableLight();
word.buffer=(unsigned char *)malloc(totalbyte("电势U",HZ_SIZE_24));
LoadHZCharacter24(S_FONT,&word, "电势U");
DrawHZCharacter(-110,80,0,FCENTER,FBOTTOM,word,color1);
word.buffer=(unsigned char *)malloc(totalbyte("x轴",HZ_SIZE_24));
LoadHZCharacter24(S_FONT,&word, "x轴");
DrawHZCharacter(80,-70,0,FCENTER,FBOTTOM,word,color1);
word.buffer=(unsigned char *)malloc(totalbyte("均匀带电圆锥面轴线上电势的分布",HZ_SIZE_24));
LoadHZCharacter24(S_FONT,&word, "均匀带电圆锥面轴线上电势的分布");
DrawHZCharacter(70,75,0,FCENTER,FBOTTOM,word,color1);

机械工程学院茅以升班
孙扬智
学号：20091283
2010.11.13