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弹簧类六大问题的求解应用

有关弹簧的题目在高考中几乎年年出现，由于涉及到的弹簧弹力是变力，学生往往对弹力大小和方向的变化过程缺乏清晰的分析，不能建立与之相关的物理模型和进行分门别类，导致解题思路不清、效率低下，错误率较高。下面我们归纳六类问题探求解法。
一、“轻弹簧”类问题
在中学阶段，凡涉及的弹簧都不考虑其质量，称之为"轻弹簧"，是一种常见的理想化物理模型。由于“轻弹簧”质量不计，选取任意小段弹簧分析，其两端所受张力一定平衡，否则，这小段弹簧的加速度会无限大。故：轻质弹簧中各部分间的张力处处相等，均等于弹簧两端的受力。弹簧一端受力为F，另一端受力一定也为F。若是弹簧秤，则弹簧秤示数为F。
例1、如图所示，一个弹簧秤放在光滑的水平面上，外壳质量m不能忽略，弹簧及挂钩质量不计，施加水平方向的力F1、F2，且F1>F2则弹簧秤沿水平方向的加速度为 ，弹簧秤的读数为 .
分析与解 以整个弹簧秤为研究对象：利用牛顿运动定律
∴
仅以轻质弹簧为研究对象：则弹簧两端的受力都是F1，所以弹簧秤的读数为F1
说明 F2作用在弹簧秤外壳上，并没有作用在弹簧左端，弹簧左端的受力是由外壳内侧提供的。
二、弹簧弹力瞬时问题
因弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变。因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小和方向不变，即弹簧的弹力瞬间不突变。
例2、如图所示，木块A与B用一轻弹簧相连，竖直放在木块C上，三者静置于地面，A、B、C的质量之比是1∶2∶3．设所有接触面都光滑，当沿水平方向迅速抽出木块C的瞬时，木块A和B的加速度分别是aA=____ ，aB=____
分析与解 由题意可设A、B、C的质量分别为m、2m、3m
以木块A为研究对象，抽出木块C前，木块A受到重力和弹力一对平衡力，抽出木块C的瞬时，木块A受到重力和弹力的大小和方向均没变，故木块A的瞬时加速度为0
以木块AB为研究对象，由平衡条件可知，木块C对木块B的作用力FcB=3mg
以木块B为研究对象，木块B受到重力、弹力和FcB三力平衡，抽出木块C的瞬时，木块B受到重力和弹力的大小和方向均没变，FcB瞬时变为0，故木块C的瞬时合外力为竖直向下的3mg。瞬时加速度为1.5g
说明 区别不可伸长的轻质绳中张力瞬间可以突变
三、弹簧长度的变化问题
　　设劲度系数为k的弹簧受到压力为－Ｆ1时压缩量为－ｘ1，弹簧受到拉力为Ｆ2时伸长量为ｘ２，此时的“－”号表示压缩的含义。若弹簧受力由压力－Ｆ１变为拉力Ｆ２，弹簧长度将由压缩量－ｘ１变为伸长量为ｘ２，长度增加量为ｘ１＋ｘ２
　　由胡克定律有：　　　　Ｆ２＝ｋｘ２　　　　－Ｆ１＝ｋ（－ｘ１）
　　　∴Ｆ１－（－Ｆ２）＝ｋ［ｘ１－（－ｘ２）］　　即：　　△Ｆ＝ｋ△ｘ
　　说明弹簧受力的变化与弹簧长度的变化也同样遵循胡克定律，此时△ｘ表示的物理含义是弹簧长度的改变量，并不是形变量。
　　例３、如图所示，劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、m2的物块1、2拴接，劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态.现施力将物块1缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面.在此过程中，物块2的重力势能增加了______，物块1的重力势能增加了________.
　　分析与解 由题意可知：弹簧ｋ２长度的增加量就是物块２的高度增加量，弹簧ｋ２长度的增加量与弹簧ｋ１长度的增加量之和就是物块１的高度增加量，
　　由物体的受力平衡可知：弹簧ｋ２的弹力将由原来的压力（ｍ１＋ｍ２）ｇ变为０；弹簧ｋ１的弹力将由原来的压力ｍ１ｇ变为拉力ｍ２ｇ，弹力改变量也为（ｍ１＋ｍ２）ｇ。
　　所以１、２弹簧的伸长量分别为（m1+m2）g和（m1+m2）g
　　　　故物块2的重力势能增加了m2（m1+m2）g2，
　　　　　物块1的重力势能增加了（）m1（m1+m2）g2
四、弹力变化的运动过程分析
弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力，当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应。在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置、现长位置及临界位置，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，弹性势能也是与原长位置对应的形变量相关。以此来分析计算物体运动状态的可能变化
结合弹簧振子的简谐运动，分析涉及到弹簧物体的变加速度运动，往往能达到事半功倍的效果。此时要先确定物体运动的平衡位置，区别物体的原长位置，进一步确定物体运动为简谐运动。结合与平衡位置对应的回复力、加速度、速度的变化规律，则很容易分析物体的运动过程
例4、如图所示，质量为m的物体A用一轻弹簧与下方地面上质量也为m的物体B相连，开始时A和B均处于静止状态，此时弹簧压缩量为x0，一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连接物体A、另一端C握在手中，各段绳均处于刚好伸直状态，A上方的一段绳子沿竖直方向且足够长。现在C端施 水平恒力F而使A从静止开始向上运动。（整个过程弹簧始终处在弹性限度以内）
（1）如果在C端所施恒力大小为3mg，则在B物块刚要离开地面时A的速度为多大？
（2）若将B的质量增加到2m，为了保证运动中B始终不离开地面，则F最大不超过多少？
分析与解 由题意可知：弹簧开始的压缩量，在B物块刚要离开地面时弹簧的伸长量也是
（1）若F=3mg，在弹簧伸长到x0时，B开始离开地面，此时弹簧弹性势能与施力前相等，F所做的功等于A增加的动能及重力势能的和。即
可解得：
（2）所施力为恒力F0时，物体B不离开地面，类比竖直弹簧振子，物体A在竖直方向上除了受变化的弹力外，再受到恒定的重力和拉力。故物体A做简谐运动。
在最低点： F0－mg+kx0=ma1
式中k为弹簧劲度系数，a1为在最低点A的加速度。
在最高点，B恰好不离开地面，此时弹簧被拉伸，伸长量为2x0，则：
K（2x0）+mg－F0=ma2
考虑到： kx0=mg 简谐运动在上、下振幅处 a1=a2
解得：F0=
也可以利用简谐运动的平衡位置求恒定拉力F0。物体A做简谐运动的最低点压缩量为x0，最高点伸长量为2x0，则上下运动中点为平衡位置，即伸长量为所在处。
由： 解得：F0=
说明 区别原长位置与平衡位置。与原长位置对应的形变量与弹力大小、方向、弹性势能相关；与平衡位置对应的位移量与回复大小、方向、速度、加速度相关。
五、与弹簧相关的临界问题
通过弹簧相联系的物体，在运动过程中经常涉及到一些临界极值问题：如物体速度达到最大；弹簧形变量达到最大时两物体速度达到相同；使物体恰好要离开地面；相互接触的物体恰好要脱离等等。此类题的解题关键是利用好临界条件，得到解题有用的物理量和结论
例5、如图所示，A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，已知木块A、B质量分别为0.42 kg和0.40 kg，弹簧的劲度系数k=100 N/m ，若在木块A上作用一个竖直向上的力F，使A由静止开始以0.5 m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动（g=10 m/s2）.
（1）使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力F的最大值；
（2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A、B分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了0.248 J，求这一过程F对木块做的功。
分析与解
此题难点和失分点在于能否通过对此物理过程的分析后，确定两物体分离的临界点，即当弹簧作用下的两物体加速度、速度相同且相互作用的弹力 N =0时 ,恰好分离.
当F=0（即不加竖直向上F力时），设A、B叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x，有
①
对A施加F力，分析A、B受力如右图所示
对A ②
对B ③
可知，当N≠0时，AB有共同加速度a=a′，由②式知欲使A匀加速运动，随N减小F增大.当N=0时，F取得了最大值Fm,
即
又当N=0时，A、B开始分离，由③式知，
此时，弹簧压缩量 ④
AB共同速度 ⑤
由题知，此过程弹性势能减少了WP=EP=0.248 J
设F力功WF，对这一过程应用功能原理
⑥
联立①④⑤⑥，且注意到EP=0.248 J 可知，WF=9.64×10-2 J
六、弹力做功与弹性势能的变化问题
弹簧弹力做功等于弹性势能的减少量。
弹簧的弹力做功是变力做功，求解一般可以用以下四种方法：1、因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算；2、利用F－ｘ图线所包围的面积大小求解；３、用微元法计算每一小段位移做功，再累加求和；４、据动能定理和能量转化和守恒定律求解。
由于弹性势能仅与弹性形变量有关，弹性势能的公式高考中不作定量要求，因此，在求弹力做功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解。特别是涉及到两个物理过程中的弹簧形变量相等时，往往弹性势能的改变可以抵消，或替代求解。
　　例６、如图所示，挡板P固定在足够高的水平桌面上，小物块A和B大小可忽略，它们分别带为+QA和+QB的电荷量，质量分别为ｍＡ和ｍＢ。两物块由绝缘的轻弹簧相连，一个不可伸长的轻绳跨过滑轮，一端与B连接，另一端连接轻质小钩。整个装置处于场强为E、方向水平向左的匀强电场中，A、B开始时静止，已知弹簧的劲度系数为k，不计一切摩擦及A、B间的库仑力，A、B所带电荷量保持不变，B不会碰到滑轮。
（1）若在小钩上挂质量为M的物块C并由静止释放，可使物块A对挡板P的压力恰
为零，但不会离开P，求物块C下降的最大距离ｈ
（2）若C的质量为2M，则当A刚离开挡板P时，B的速度多大？
　　分析与解　　
　　通过物理过程的分析可知：当A刚离开挡板P时，弹力恰好与Ａ所受电场力平衡，弹簧伸长量一定，前后两次改变物块Ｃ质量，在第２问对应的物理过程中，弹簧长度的变化及弹性势能的改变相同，可以替代求解。
设开始时弹簧压缩量为x1
由平衡条件：　　　　可得 　　 ①
　　设当A刚离开档板时弹簧的伸长量为：
由：　　　　　　可得　　②
故C下降的最大距离为：　　　　　③
由①—③式可解得　　　　　④
（2）由能量转化守恒定律可知：C下落h过程中，C重力势能的减少量等于B电势能的增量和弹簧弹性势能的增量以及系统动能的增量之和
当C的质量为M时：　　　　⑤
当C的质量为2M时，设A刚离开挡板时B的速度为V
　　　　　⑥
由④—⑥式可解得A刚离开P时B的速度为：
　　　　　　　　　　　　⑦
　　说明 研究对象的选择、物理过程的分析、临界条件的应用、能量转化守恒的结合往往在一些题目中需要综合使用。
　　另外，有关弹簧的串、并联和弹性势能的公式，高考中不作定量要求，这里不再说明。

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