概率论试卷I评分标准.doc

标准答案及评分标准
课程名称
概率论基础试卷(A)
考试时间
120分钟
教研室
应用数学教研室
适用专业班级
2012应数、统计
命题负责人
王拉省
教研室主任
李克华
一、填空题（每空2分，共10分）请把答案写在下面对应的位置。
1、,,,则 .
解：由，，又因为

2、袋中有5个白球和3个黑球，从中任取2个球，则取得的两球恰有一黑球的概率为
3、已知随机事件和满足，，则 .
解：，所以故
4、设随机变量和满足，，，则 .
解：
5、设服从正态分布，则
6、已知且 则_20.
解：，所以_20.
7、设则其特征函数为.
8、设二维随机变量（X,Y）的概率密度,
则=.
9、设，且，则= ，=.
解

10、设随机变量X的概率密度为
且，则
解： ①

②
解(1) (2)联立方程有：
二、选择题：（每题2分，共20分），请把答案写在下面表格中对应的位置。
1. (B)
2. 由公式，的密度为
3. （D） 4. （B） 5. （B）
6.（D）由已知服从二项分布，则
又由方差的性质知，
7.（B） 服从 ，
于是
8． (A)
9. （C）由正态分布密度的定义，有
由 所以，相互独立。
10. (A) 由由切比雪夫不等式对任意的有

所以，
三、基本计算题（本大题8分）试卷中有一道选择题，共有4个答案可供选择，其中只有一个答案是正确的，任一考生如果会解这道题，则一定能选出正确答案，如果不会解这道题，也可能选中正确答案，其概率是，设考生会解这道题的概率是，求：
（1）考生选出正确答案的概率；
（2）考生在选出正确答案的前提下，确实会解这道题的概率.
解：设表示选中正确答案，表示会解这道题，--------------------------------------2分
（1）；--------3分
（2）。--------------------------------3分
四、计算题（本题10分）设二维随机变量的概率密度为
,求常数及边缘概率密度.并讨论随机变量的相互独立性。
解：由归一性知：-----------------------2分

-------------------------------------------------------------------------------------2分
----2分
------2分
显然 ，故X与Y不相互独立。----------------------------2分
五、（本题共2小题，每小题6分，共计12分）
1. 设的密度函数为，
① 求的数学期望和方差;
② 求与的协方差和相关系数，并讨论与是否相关？
解：① -------------------------------------------------------2分
-----------------2分
②
所以与|X|不相关. -----------------------------------------------------------------------3分
2．设随机变量服从参数为的泊松分布，试求其数学期望及方差
解：由于服从参数为的泊松分布其分布概率为，所以的数学期望为：
.------------------------------2分

,-----------------------------------------------------------3分
故方差为---------------------------------------------2分
六、证明题（本题10分）设 是一列两两不相关的随机变量序列，每一个Xi都有有限的方差, 且方差有公共的上界，即, 其中则对于任意e＞0，有
．
证明: 由契贝晓夫不等式，对任意的有
---- --------------- -----------------4分
--- -------- ----------------- ----4分
所以对任意的
----------------------2分
七、（本题6分）为连续型随机变量，概率密度满足：当时，，证明：

证明：
------------2分
首先证明对于任意常数有：

所以，取--------------------------------------------1分
-----------------------------1分
-------------2分
5