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二次函数与几何综合--面积问题
Ø 知识点睛
1.“函数与几何综合”问题的处理原则：_________________，__________________．
2.研究背景图形：
①研究函数表达式．二次函数关注____________，一次函数关注__________．
② ___________________________．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边长和角度信息．
3．二次函数之面积问题的常见模型
①割补求面积——铅垂法： ②转化法——借助平行线转化：

若S△ABP=S△ABQ， 若S△ABP=S△ABQ，
当P，Q在AB同侧时， 当P，Q在AB异侧时，
PQ∥AB． AB平分PQ．
Ø 例题示范
例1：如图，抛物线y=ax2+2ax-3a与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OA=OC，连接AC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点P是直线AC下方抛物线上一动点，求△ACP面积的最大值．
（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
第一问：研究背景图形
【思路分析】
读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a，可以求解A(-3，0)，B(1，0)，对称轴为直线x=-1；结合题中给出的OA=OC，可得C(0，-3)，代入表达式，即可求得抛物线解析式．
再结合所求线段长来观察几何图形，发现△AOC为等腰直角三角形．
解得，，
∴．

【过程示范】
解：（1）由

可知，，
∵，
∴，
将代入，
第二问：铅垂法求面积
【思路分析】
（1）整合信息，分析特征：
由所求的目标入手分析，目标为S△ACP的最大值，分析A，C为定点，P为动点且P在直线AC下方的抛物线上运动，即-3<xP<0；
（2）设计方案：
注意到三条线段都是斜放置的线段，需要借助横平竖直的线段来表达，所以考虑利用铅垂法来表达S△ACP．
【过程示范】
如图，过点P作PQ∥y轴，交AC于点Q，易得
设点P的横坐标为t，则，
∵PQ∥y轴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴抛物线开口向下，且对称轴为直线，
∴当时，最大，为．
第三问：平行四边形的存在性
【思路分析】
分析不变特征：
以A，B，E，F为顶点的四边形中，A，B为定点，E，F为动点，定点A，B连接成为定线段AB．分析形成因素：
要使这个四边形为平行四边形．首先考虑AB在平行四边形中的作用，四个顶点用逗号隔开，位置不确定，则AB既可以作边，也可以作对角线．
画图求解：
先根据平行四边形的判定来确定EF和AB之间应满足的条件，再通过平移和旋转来尝试画图，确定图形后设计方案求解．
①AB作为边时，依据平行四边形的判定，需满足EF∥AB且EF=AB，要找EF，可借助平移．点E在对称轴上，沿直线容易平移，故将线段AB拿出来沿对称轴上下方向平移，确保点E在对称轴上，来找抛物线上的点F．注意：在对称轴的左、右两侧分别平移．找出点之后，设出对称轴上E点坐标，利用平行且相等表达抛物线上F点坐标，代入抛物线解析式求解．
②AB作为对角线时，依据平行四边形的判定，需满足AB，EF互相平分，先找到定线段AB的中点，在旋转过程中找到EF恰好被AB中点平分的位置，因为E和AB中点都在抛物线对称轴上，说明EF所在直线即为抛物线对称轴，则与抛物线的交点（抛物线顶点）即为F点坐标．
结果验证：
画图或推理，根据运动范围考虑是否找全各种情形．
【过程示范】
（3）①当AB为边时，AB∥EF且AB=EF，
如图所示，设E点坐标为(-1，m)，
当四边形是□ABFE时，由，可知，F1(3，m)，
代入抛物线解析式，可得，m=12，
∴F1(3，12)；
当四边形是□ABEF时，
由，可知，F2(-5，m)，代入抛物线解析式，
可得，m=12，
∴F2(-5，12)．
②当AB为对角线时，AB与EF互相平分，
AB的中点D(-1，0)，设E(-1，m)，则F(-1，-m)，代入抛物线解析式，可得，m=4，
∴F3(-1，-4)．综上：F1(3，12)，F2(-5，12)，F3(-1，-4)．
精讲精练
1.如图，抛物线经过A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．（1）求抛物线的解析式．
（2）点M是直线BC上方抛物线上的点（不与B，C重合），过点M作MN∥y轴交线段BC于点N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长．
（3）在（2）的条件下，连接MB，MC，是否存在点M，使四边形OBMC的面积最大？若存在，求出点M的坐标及四边形OBMC的最大面积；若不存在，请说明理由．

2.如图，在平面直角坐标系中，点A，B在x轴上，点C，D在y轴上且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线经过A，B，C三点，直线AD与抛物线交于另一点E．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若M是直线AD上方抛物线上的一个动点，求△AME面积的最大值．
（3）在直线AD下方的抛物线上，是否存在点G，使得？如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
（4）已知点Q在x轴上，点P在抛物线上，且以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．

3.如图，已知抛物线y=ax2-2ax-b（a>0）与x轴交于A，B两点，点A在点B的右侧，且点B的坐标为(-1，0)，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．连接AC，CD，∠ACD=90°．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M在抛物线上，且以点M，A，C以及另一点N为顶点的平行四边形ACNM的面积为12，设M的横坐标为m，求m的值．
（3）已知点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标．

4.如图，抛物线（）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为点D，在抛物线上是否存在异于点B的一点Q，使△CDQ的面积与△CDB的面积相等？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
（3）已知点F是抛物线上的动点，点E是直线y=-x上的动点，且以O，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求点E的横坐标．