函数的图象和性质.doc

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函数及其表示
1．函数y＝的定义域为________________．
解析　由题意得
因此－4≤x≤1且x≠0.
答案　[－4,0)∪(0,1]
2．已知函数f(x)＝若f(a)＝，则a＝________.
解析　当a>0时，log2a＝，∴a＝，
当a≤0时，2a＝＝2－1，∴a＝－1.∴a＝－1或.
答案　－1或

3． (1)已知f(x)的定义域是[0,4]，求
①f(x2)的定义域；
②f(x＋1)＋f(x－1)的定义域．
(2)已知f(x2)的定义域为[0,4]，求f(x)的定义域．
解　(1)∵f(x)的定义域为[0,4]，
①f(x2)以x2为自变量，∴0≤x2≤4，∴－2≤x≤2，
故f(x2)的定义域为[－2,2]．
②f(x＋1)＋f(x－1)以x＋1，x－1为自变量，于是有∴1≤x≤3.
故f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[1,3]．
(2)∵f(x2)的定义域为[0,4]，∴0≤x≤4，
∴0≤x2≤16，故f(x)的定义域为[0,16]．
4．已知f(x)＝x2－2x＋1，g(x)是一次函数，且f[g(x)]＝4x2，求g(x)
的解析式．
解　设g(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f[g(x)]＝(ax＋b)2－2(ax＋b)＋1
＝a2x2＋(2ab－2a)x＋b2－2b＋1＝4x2.
∴解得a＝±2，b＝1.
∴g(x)＝2x＋1或g(x)＝－2x＋1.
5．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元
时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解　(1)当每辆车的月租金为3 600元时，
未租出的车辆数为＝12，
所以这时租出了88辆车．
(2)设每辆车的月租金定为x元，
则租赁公司的月收益为
f(x)＝(x－150)－×50，
整理得f(x)＝－＋162x－21 000
＝－(x－4 050)2＋307 050.
∴当x＝4 050时，f(x)最大，
最大值为f(4 050)＝307 050.
答　(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出88辆车；
(2)当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307 050元．

函数的单调性及最大（小）值
1．函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是________．
解析　函数f(x)的定义域是(－1,4)，
令u(x)＝－x2＋3x＋4
＝－2＋的减区间为，
∵e>1，∴函数f(x)的单调减区间为.
答案　[，4)
2．已知f(x)是R上的减函数，则满足f()>f(1)的x的取值范围为
__________________．
解析　由题意f()>f(1)，<1，即<0，
∴x>1或x<0.
答案　(－∞，0)∪(1，＋∞)
3．若f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则f(a2－a＋1)与f()的大小关系是
________________．
解析　∵a2－a＋1＝(a－)2＋≥，
f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(a2－a＋1)≤f()．
答案　f(a2－a＋1)≤f()
4．若f(x)＝－x2＋2ax在区间[1,2]上是减函数，则a的取值范围是____________________．
解析　由f(x)＝－x2＋2ax得对称轴为x＝a，在[1,2]上是减函数，所以a≤1，

5．关于下列命题：
①若函数y＝2x的定义域是{x|x≤0}，则它的值域是{y|y≤1}；
②若函数y＝的定义域是{x|x>2}，则它的值域是{y|y≤}；
③若函数y＝x2的值域是{y|0≤y≤4}，则它的定义域一定是{x|－2≤x≤2}；
④若函数y＝log2x的值域是{y|y≤3}，则它的定义域是{x|0<x≤8}．其中不正确的命题的序号是________．(注：把你认为不正确的命题的序号都填上)
解析　①中，x≤0，y＝2x∈(0,1]；②中，x>2，y＝∈(0，)；③中，y＝x2的值域是{y|0≤y≤4}，
但它的定义域不一定是{x|－2≤x≤2}；④中，y＝log2x≤3，∴0<x≤8，故①②③错，④正确．
答案　①②③
6．已知y＝f(x)是定义在(－2,2)上的增函数，若f(m－1)<f(1－2m)，则m的取值范围是______________．
解析　依题意，原不等式等价于
⇒⇒－<m<.
答案　
7．若函数f(x)＝(m－1)x2＋mx＋3 (x∈R)是偶函数，则f(x)的单调减区间是____________________．
解析　∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
∴(m－1)x2－mx＋3
＝(m－1)x2＋mx＋3，∴m＝0.
这时f(x)＝－x2＋3，
∴单调减区间为[0，＋∞).
答案　[0，＋∞)

8．已知f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，
f(3)＝1，试解不等式f(x)＋f(x－8)≤2.
解　根据题意，由f(3)＝1，
得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2.
又f(x)＋f(x－8)＝f[x(x－8)]，
故f[x(x－8)]≤f(9)．
∵f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，
∴解得8＜x≤9.
∴原不等式的解集为{x|8<x≤9}．
9．已知f(x)＝ (x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
(1)证明　任设x1<x2<－2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，
∴f(x1)－f(x2)<0即f(x1)<f(x2)，
∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)解　任设1<x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝－
＝.
∵a>0，x2－x1>0，
∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.
综上所述，0<a≤1.

函数的奇偶性
1．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，
且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 008)＋f(2 009)的值为____．
解析　f(－2 008)＋f(2 009)＝f(2 008)＋f(2 009)
＝f(0)＋f(1)＝log21＋log2(1＋1)＝1.
答案　1
2． f(x)、g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)＝3f(x)＋5g(x)＋2，若F(a)＝b，则F(－a)＝____________.
解析　令G(x)＝F(x)－2＝3f(x)＋5g(x)，
故G(x)是奇函数，
又
解得F(－a)＝－b＋4.
答案　－b＋4
3．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是
______(填序号)．
①y＝f(|x|); ②y＝f(－x)；
③y＝x·f(x)；④y＝f(x)＋x.
解析　∵f(x)的定义域为R，∴f(|－x|)＝f(|x|)，
∴y＝f(|x|)是偶函数；
令F(x)＝f(－x)，
则F(－x)＝f(x)＝－f(－x)＝－F(x)，
∴F(x)是奇函数，∴②是奇函数；
令M(x)＝x·f(x)，
则M(－x)＝－x·f(－x)＝x·f(x)＝M(x)，
∴M(x)是偶函数；
令N(x)＝f(x)＋x，
则N(－x)＝f(－x)－x＝－f(x)－x
＝－[f(x)＋x]＝－N(x)，
∴N(x)是奇函数，故②、④是奇函数．
答案　②④
4．若f(x)＝＋a是奇函数，则a＝________________.
解析　∵f(－x)＝－f(x)，即＋a＝－－a，
∴＝，
∴(a－1)2x－a＝－a·2x＋(a－1)，
∴∴a＝.
答案　
8．已知f(x)是实数集R上的函数，且对任意x∈R，f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)恒成立．
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)已知f(3)＝2，求f(2 004)．
(1)证明　∵f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)
∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，
则f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f(x＋1)－f(x)
＝f(x)－f(x－1)－f(x)＝－f(x－1)．
∴f(x＋3)＝f[(x＋1)＋2]＝－f[(x＋1)－1]
＝－f(x)．
∴f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－f(x＋3)＝f(x)．
∴f(x)是周期函数且6是它的一个周期．
(2)解　f(2 004)＝f(334×6)＝f(0)＝－f(3)＝－2.
9．已知函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，a∈R.
(1)试判断f(x)的奇偶性；
(2)若－≤a≤，求f(x)的最小值．
解　(1)当a＝0时，函数f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝f(x)，
此时，f(x)为偶函数．
当a≠0时，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1，
f(a)≠f(－a)，f(a)≠－f(－a)，此时，f(x)为非奇非偶函数．
(2)当x≤a时，f(x)＝x2－x＋a＋1＝2＋a＋，
∵a≤，故函数f(x)在(－∞，a]上单调递减，
从而函数f(x)在(－∞，a]上的最小值为f(a)＝a2＋1.
当x≥a时，函数f(x)＝x2＋x－a＋1＝2－a＋，
∵a≥－，故函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增，从而函数f(x)在[a，＋∞)上的最小值为f(a)
＝a2＋1.
综上得，当－≤a≤时，函数f(x)的最小值为a2＋1.

指数与指数函数
1．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的
大小关系为________．
解析　∵0<a＝<1，
∴函数f(x)＝ax在R上是减函数．
又∵f(m)>f(n)，
∴m<n.
答案　m<n
2．函数y＝2－|x|的单调增区间是______________．
解析　画出函数y＝2－|x|＝的图象，如图．

答案　(-∞，0]

3．设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则g(2)＝________.
解析　∵f(－2)＝2－2＝＝－f(2)
∴f(2)＝－，
又∵f(2)＝g(2)，
∴g(2)＝－.
答案　－
4．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是______________．
解析　f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，即故0<a≤1.
答案　(0,1]
5．函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值是
_______．
解析　当a>1时，y＝ax在[1,2]上单调递增，
故a2－a＝，得a＝；
当0<a<1时，y＝ax在[1,2]上单调递减，
故a－a2＝，得a＝.故a＝或a＝.
答案　或
6．设f(x)＝ax＋b同时满足条件f(0)＝2和对任意x∈R都有f(x＋1)＝2f(x)－1成立．
(1)求f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)的定义域为[－2,2]，且在定义域内g(x)＝f(x)，且函数h(x)的图象与g(x)的图
象关于直线y＝x对称，求h(x)；
(3)求函数y＝g(x)＋h(x)的值域．
解　(1)由f(0)＝2，得b＝1，
由f(x＋1)＝2f(x)－1，得ax(a－2)＝0，
由ax>0得a＝2，
所以f(x)＝2x＋1.
(2)由题意知，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)＝2x＋1.
设点P(x，y)是函数h(x)的图象上任意一点，它关于直线y＝x对称的点为P′(y，x)，依题意点P′(y，x)应该在函数g(x)的图象上，即x＝2y＋1，所以y＝log2(x－1)，即h(x)＝log2(x －1)．
(3)由已知得y＝log2(x－1)＋2x＋1，且两个函数的公共定义域是[，2]，所以函数y＝g(x)
＋h(x)＝log2(x－1)＋2x＋1(x∈[，2])．
由于函数g(x)＝2x＋1与h(x)＝log2(x－1)在区间[，2]上均为增函数，
因此当x＝时，y＝2－1，
当x＝2时，y＝5，所以函数y＝g(x)＋h(x)(x∈[，2])的值域为[2－1,5]．

对数与对数函数
1．函数y＝lg x＋lg(x－1)的定义域为A，y＝lg(x2－x)的定义域为B，则
A、B的关系是______________．
解析　由已知得，∴A＝{x|x>1}，由x2－x>0
得x>1或x<0，∴B＝{x|x>1或x<0}，∴AB.
答案　AB

2．函数y＝log(x2－3x＋2)的递增区间是__________．
解析　由x2－3x＋2>0得x<1或x>2，
当x∈(－∞，1)时，f(x)＝x2－3x＋2单调递减，
而0<<1，由复合函数单调性可知y＝log(x2－3x＋2)在(－∞，1)上是单调递增的，在(2，
＋∞)上是单调递减的．
答案　
3．方程log3(x2－10)＝1＋log3x的解是________．
解析　log3(x2－10)＝log33x.
∴x2－10＝3x.∴x2－3x－10＝0.
∴x＝－2或x＝5.
检验知x＝5适合．
答案　5
4.已知函数f(x)＝log(x2－ax－a)在区间(－∞，－)上为增
函数，求a的取值范围．
解　令g(x)＝x2－ax－a.
∵f(x)＝logg(x)在(－∞，－)上为增函数，
∴g(x)应在(－∞，－)上为减函数且g(x)>0
在(－∞，－)上恒成立．
因此，
即.
解得－1≤a<，
故实数a的取值范围是－1≤a<.
5．已知函数y＝loga2(x2－2ax－3)在(－∞，－2)上是增函数，求a的取值范围．
解　因为μ(x)＝x2－2ax－3在(－∞，a]上是减函数，
在[a，＋∞)上是增函数，
要使y＝loga2(x2－2ax－3)在(－∞，－2)上是增函数，
首先必有0＜a2＜1，
即0＜a＜1或－1＜a＜0，且有
得a≥－.综上，
得－≤a＜0或0＜a＜1.
6．已知函数f(x)＝loga (a>0，且a≠1，b>0)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)讨论f(x)的单调性．
解　(1)由>0⇒(x＋b)(x－b)>0.
解得f(x)的定义域为(－∞，－b)∪(b，＋∞)．
(2)∵f(－x)＝loga
＝loga＝loga－1＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)令u(x)＝，则u(x)＝1＋.
它在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是减函数．
∴当0<a<1时，f(x)分别在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是增函数；
当a>1时，f(x)分别在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是减函数．

幂函数
1．已知函数f(x)＝xα的图象经过点(4,2)，则log2f(2)＝________.
解析　由已知得2＝4α，∴α＝，
∴f(x)＝x，
∴log2f(2)＝log22＝.
答案　
2．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a、b、c按从小到大的顺序排列为________________．
解析　由指数函数y＝0.8x知，
∵0.7<0.9，∴0.80.9<0.80.7<1，
即b<a，又c＝1.20.8>1，∴b<a<c.
答案　b<a<c
3．幂函数y＝(m2－m－1)·x－5m－3，当x∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m
的值为________．
解析　由题意知∴m＝2.
答案　2
4．已知幂函数f(x)的图象经过点(，)，则f(x)=_______________．
解析　依题意，设f(x)＝xα，则有()α＝，即()α＝()，所以α＝，于是f(x)＝x.
二、解答题
10.已知幂函数y＝x－p2＋p＋(p∈Z)在(0，＋∞)上单调递增，
且在定义域内图象关于y轴对称，求p的值．
解　由题意知：－p2＋p＋＝－(p－1)2＋2.
因为p∈Z，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且在定义域上为偶函数，所以p＝1.
12．已知函数f(x)＝，
(1)画出f(x)的草图；
(2)由图象指出f(x)的单调区间；
(3)设a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＞c，证明：f(a)＋f(b)＞f(c)．
(1)解　由得

∴f(x)的图象可由的图象向左平移1个
单位，再向上平移1个单位得到如图．
(2)解　由图象知(－∞，－1)，(－1，＋∞)
均为f(x)的单调增区间．
(3)证明　∵f(x)在(－1，＋∞)为增函数，
＞＞0，＞＞0，a＋b＞c＞0，
∴f(a)＋f(b)＝＋＞＞＝f(c)，
∴f(a)＋f(b)＞f(c)．