三角函数的图像与性质.doc

省栟中高一数学复习讲义 编写：缪鹏
三角函数的图像与性质
【课前预习】
1函数f(x)＝sin2的最小正周期是________．
1. 　解析：对解析式进行降幂扩角，转化为f(x)＝－cos＋，可知其最小正周期为.
2. 将函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)的图象向左平移个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则φ的值是________．
2. 　解析：函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后，得y＝sin，则＋φ＝kπ＋，又0≤φ≤π，故φ＝.
3.已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈，则f(x)的取值范围是________．
3. 　解析：由题意知，ω＝2，因为x∈，所以2x－∈，由三角函数图象知：f(x)的最小值为3sin＝－，最大值为3sin ＝3，所以f(x)的取值范围是.
4.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的图象如图所示，则y的表达式是________．

4. y＝sin＋1　解析：由图知，A＝＝，＝π－，∴T＝π，则ω＝2，k＝1，将点代入解析式可求得φ＝，
∴y＝sin＋1.
【典型例题】
例1求下列函数的值域：
(1)y＝2cos2x＋2cosx；
(2)y＝3cosx－sinx；
(3)y＝sinx＋cosx＋sinxcosx.
(4)y＝.

解析：(1)y＝2cos2x＋2cosx＝22－.于是当且仅当cosx＝1时取得ymax＝4，
当且仅当cosx＝－时取得ymin＝－，故函数值域为.
(2)y＝3cosx－sinx＝2＝2cos.
∵|cos|≤1，∴该函数值域为[－2，2]．
(3)令t＝sinx＋cosx，则sinxcosx＝，且|t|≤.∴y＝(t2－1)＋t＝(t＋1)2－1，
∴当t＝－1时，ymin＝－1，当t＝时，ymax＝＋.∴该函数值域为.
(4)方法一：y＝＝2＋，
由于－1≤sinx≤1，所以－5≤≤－，
∴函数的值域为.
方法二：由y＝，解得sinx＝，∵－1≤sinx≤1，∴－1≤≤1，解得－3≤y≤，
∴函数的值域为.

例2已知函数f(x)＝2sin2－cos2x
(1)求f(x)的最小正周期及对称中心；
(2)若不等式|f(x)－m|＜2在x∈上恒成立，求实数m的取值范围．
(2)∵|f(x)－m|＜2⇔f(x)－2＜m＜f(x)＋2，
x∈，
∴m＞f(x)max－2且m＜f(x)min＋2，
∴1＜m＜4，即m的取值范围是(1,4)．
例3 已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π，x∈R)的最大值是1，其图象经过点M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知α，β∈，且f(α)＝，f(β)＝，求f(α－β)的值．
3. (1)依题意知A＝1，
f＝sin＝，

例4．已知函数（）的最小正周期为．
（1）求函数的单调增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象．若在上至少含有个零点，求的最小值．
【答案】（1） （2）
【解析】
试题分析：
（1）要求单调区间，首先要对进行化简得到最间形式，依次利用正弦二倍角，降幂公式，和辅助角公式就可以得到，进而利用复合函数的单调性内外结合求得函数的单调区间.
（2）利用“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式，令，求出所有的零点，在根据上至少含有个零点，得到b的取值范围，进而得到b的最小值.
试题解析：
（1）由题意得
2分
由周期为，得.得 4分
由正弦函数的单调增区间得，得
所以函数的单调增区间是 6分
（2）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，
得到的图象，所以 8分
令，得：或 10分
所以在每个周期上恰好有两个零点，若在上有个零点，
则不小于第个零点的横坐标即可，即的最小值为 12分
考点：零点 单调性 辅助角公式 正余弦倍角公式
例5．已知向量a＝(Asin ωx，Acos ωx)，b＝(cos θ，sin θ)，f(x)＝a·b＋1，其中A>0，ω>0，θ为锐角．f(x)的图象的两个相邻对称中心的距离为，且当x＝时，f(x)取得最大值3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)将f(x)的图象先向下平移1个单位，再向左平移φ(φ>0)个单位得g(x)的图象，若g(x)为奇函数，求φ的最小值．
【答案】（1）f(x)＝2sin＋1（2）
【解析】(1)f(x)＝a·b＋1＝Asinωx·cos θ＋Acos ωx·sin θ＋1＝Asin(ωx＋θ)＋1，
∵f(x)的图象的两个相邻对称中心的距离为，∴T＝π＝.∴ω＝2.
∵当x＝时，f(x)的最大值为3.∴A＝3－1＝2，且2·＋θ＝2kπ＋(k∈Z)．
∴θ＝2kπ＋.∵θ为锐角，∴θ＝.∴f(x)＝2sin＋1.
(2)由题意可得g(x)的解析式为g(x)＝2sin.
∵g(x)为奇函数，∴2φ＋＝kπ，φ＝－ (k∈Z)．
∵φ>0，∴当k＝1时，φ取最小值
例6.已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于的方程在区间上有两个不同的实数根，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先将函数化简，化简时先用2倍角公式降幂，在将角统一，最后用化一公式化简成的形式。再将代入正弦增区间公式即可。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以在区间上有两个不同的实数根等价于和的图像有两个交点，利用数形结合即可解决此题。
试题解析：（Ⅰ）

由解得

所以的递增区间是：
（Ⅱ）因为，所以
令
“关于的方程在内有两个不同的实数根”等价于“函数，和的图象有两个不同的交点”.
在同一直角坐标系中作出函数，和的图象如下：

由图象可知：要使“函数，和的图象有两个不
同的交点”，必有，即
因此的取值范围是.
考点：三角函数的单调性和图像

【课堂练习】
1.使函数y＝sin ωx(ω＞0)在区间[0,1]上至少出现两次最大值，则ω的最小值为________．
1. 　解析：要使y＝sin ωx(ω＞0)在区间[0,1]上至少出现两次最大值，只需·≤1，所以ω≥π，从而ωmin＝.
2. 关于x的函数f(x)＝cos(x＋a)有以下命题：
①对任意a，f(x)都是非奇非偶函数；
②不存在a，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；
③存在a，使f(x)是偶函数．
其中假命题的序号是________．
2. ①　解析：当a＝0时，f(x)＝cos x是偶函数，故①为假命题．②③正确．
3.为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝cos的图象________．
4.sin 11°，cos 10°，sin 168°的大小关系是________________．
4.解析：∵sin 11°＝cos 79°，sin 168°＝cos 78°，
又∵y＝cos x在[0°，90°]上单调递减，79°>78°>10°，
∴sin 11°<sin 168°<cos 10°.
5若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值为，则ω＝________.
5. 　解析：∵0<ω<1，x∈，
∴ωx∈，
∴f(x)max＝2sin＝，∴sin＝，
∴＝，∴ω＝.