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三次函数的三大性质初探

随着导数内容进入新教材，函数的研究范围也随之扩大，用导数的方法研究三次函数的性质，不仅方便实用，而且三次函数的性质变得十分明朗，本文给出三次函数的三大主要性质.
1 单调性
三次函数,
(1) 若，则在上为增函数；
(2) 若，则在和上为增函数，在上为减函数，其中.
证明 , △=，
(1) 当 即时，在 R上恒成立， 即在为增函数.
(2) 当 即时，解方程，得

或 在和上为增函数.
在上为减函数.
由上易知以下结论: 三次函数,
(1) 若，则在R上无极值；
(2) 若，则在R上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值.
2 根的性质
三次函数
(1) 若，则恰有一个实根；
(2) 若,且，则恰有一个实根；
(3) 若,且，则有两个不相等的实根；
(4) 若,且，则有三个不相等的实根.
证明 (1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与X轴只相交一次，即在R上为单调函数或两极值同号，所以或，且.
(3)有两个相异实根的充要条件是曲线与X轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且.
(4)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与X轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且. 由上易得以下结论：
三次函数在上恒正的充要条件是(m≥x2),或且(m<x2) .
3 对称性
三次函数的图象关于点对称，并且在处取得最小值，其图象关于直线对称.
证1
易知是奇函数，图象关于原点对称，则关于点对称.
， 当时，取得最小值，显然图象关于对称.
证2 设的图象关于点对称，任取 图象上点，则A关于的对称点也在图象上,

由上又可得以下结论：
是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线对称.
证明 的图象关于对称，则

图象关于直线对称.
若图象关于直线对称，则图象关于点对称.
证明 图象关于直线对称，则，

，
， 图象关于点对称.
掌握上面的研究方法和三次函数的三大性质，对于解决有关三次函数的问题是十分有益的.
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