大学物理答案-第六章.pdf

6.1 如题 6.1 图所示，用一根金属丝把一均匀圆盘悬挂起来，悬线 OC 通过圆盘质心，圆盘呈水平状态，这个装置称为扭摆，当使圆盘转过一个角度时，金属线受到扭转，从而产生一个扭转的回复力矩。若扭转角度很小，圆盘对 OC 轴的转动惯量为 I，扭转力矩可表示为kM=，求扭摆的振动周期。解：已知kM=，由转动方程&IM=，可得：&IkM=，0=+Ik&，对比（6.2）式可知：Ik=2，所以 KIT22=6.2 一质量为 m 的细杆状一米长的直尺，如果以其一端点为轴悬挂起来，轴处摩擦不计，求其振动周期。解：复摆（物理摆）小角度振动时方程为：&Imghmgh=sin 0=+Imgh&对比（5.2）式，可知 Imgh=2 因为以一端为轴的直尺的转动惯量为231mlI=，2lh=所以 smghIT64.122=6.3 有一立方形的木块浮于静水之中，静止时浸入水中的部分高度为a。若用力稍稍压下，使其浸入水中部分的高度为 b，如题 5.3 图所示，然后松手，任其作自由振动。试证明，如果不计水的粘滞阻力，木块将作简谐振动，并求其振动的周期和振幅。解：设 s 为木块底面积，浮力与重力相等处于平衡状态时有：mggas=所以 asm=当木块偏离平衡位置 x 后，有：baba 题 6.3 图 题 6.1 图 C O mgh mgh题 6.2 图 xmsxagmg&=+)(0=+xmgxs&agmgs=2 gaT22=6.4 一质量为 1.010-3千克的质点，作简谐振动，其振幅为 2.010-4米，质点在离平衡位置最远处的加速度为 8.0103米/秒。（1）试计算质点的振动频率；（2）质点通过平衡位置时的速度；（3）质点位移为 1.210-4米时的速度；（4）写出作用在这质点上的力作为位置的函数和作为时间的函数。解：已知kgm3100.1=，mA4100.2=。令)cos(+=tAx 则)cos(2+=tAx&由已知条件可得 132max100.8=smAx&（1）100.47max2=Ax&Hz3100.12=（2）)sin(+=tAx&过平衡点时，速度为最大值：smAx/3.1=&（3）)(102.1)cos(4mtAx=+=53)cos(=+Axt)(0.1)(cos1()sin(12=+=+=smtAtAx&（4）)(100.442NxxmkxF=)103.6cos(0.8)cos(32+=+=ttAmF 6.5 如题 6.5 图所示，一重力作用下的弹簧振子，振子静止时弹簧伸长 l=10 厘米；将振子向下拉一段距离 d=2.0 厘米，并在位移方向给它一个向下的初始速度 v0=10 厘米/秒，任其运动，不计空气阻力，试求：（1）振动频率；（2）振幅 A；（3）初相位；（4）振动表达式。(g 取 10 米/秒2)解：（1）振动频率 )(6.1212Hzlg=（2）振幅 )(02.0)(2020mvxA=+=（3）初相位 )(46.09.0coscos101radAx=(v00 取正号，v0=y&，所以3=所以=3)(cosvxtAy（3）若波源在 x0点，若与 x 同向，任意 x 的振动要比 x0点落后，x 点 t 时刻的振动是x0点在vxt0时刻的振动。+=+=)()(cos)(cos00 xvvxtAvxxtAy 其中3=6.20 一沿很长弦线行进的横波波函数为)0.4020.0sin(100.62txy+=，式中各量均为国际单位。试求振幅、波长、频率、波速、波的传播方向和弦线上质元的最大横向振动速率。解：因为)0.4020.0sin(100.62txy+=)200(0.4sin100.62xt+=所以mA2100.6=，0.4=，12=smv 22=k，Hz22=，m1=v x 点比原点位相超前x020.0，vv与 x 反向。又)200(0.4cos0.4100.62xt=.y)(10240.4100.6122=smvm 6.21 题 6.21 图中的曲线（a）和（b）分别表示 t=0 和 t=2.0 秒的某一平面间谐波的波形图，试写出此平面简谐波的表达式。解：从曲线（a）可以看出 A=2，=2，用余弦函数表示时0=。所以，kkvvt25.05.02+=+=从曲线（a）到（b）t=2s，41+=kv，=2,1,0k 又 2=v，所以，)41(2+=k 所以，波函数为)41)(41(cos2+=kxtky)41(cos2xtk+=6.22 设在某一时刻，一个向右传播的平面简谐横波的波形曲线如图所示，试分别说明图中A、B、C、D 等各点在该时刻的振动方向，并作出 T/4 前和 T/4 后的波形图。解：6.23 已知一列波速为 v、沿 x 正向传播的波在 t=0 时的波形曲线如图所示，画出图中 A，B，C，D 各点在第一周期内的振动曲线。v v2-212345(a)(b)02-212345(a)(b)0 x(a)(b)yvx(a)(b)yv2-212345(a)(b)02-212345(a)(b)0 x(a)(b)x(a)(b)2-212345(a)(b)02-212345(a)(b)0 x(a)(b)yx(a)(b)y 题 6.21 图 CABDEFGHIxyvCABDEFGHIxyv题 6.22 图 ABDEFGHIxCx xy y前前4T后后4TABDEFGHIxCx xy y前前4T后后4T V0yABCDxV0V0AA/2AV0yABCDxV0V0AA/2A 解：A 点，t=0 时，y=-A，振动表达式)cos(+=tAy B 点，t=0 时，y0=0，并且00v（见图）所以，)2cos(+=tAy 2=C 点，20Ay=，00v，所以3=，所以)3cos(=tAy 6.24 在直径为 14 厘米的直管中传播的平面简谐波，其平均能流密度为 9.010-3瓦/米，频率=300 赫兹，波速 v=300 米/秒，求（1）最大能量密度和平均能量密度；（2）相邻两同相位波面间（即相位差为 2的两波面间）的总能量。解：（1）因为vwI=mww21=)(103300109353=mJvIw)(106235=mJwwm（2）)(106.4)14.0(41300300103725JSvwSwE=6.25 声波是流体或固体中的压缩波，在讨论声波时，讨论声波中的压强（即压力）变化要比讨论声波中质元的位移更方便些，可以证明，当声波的位移波函数为=txAy2cos时，对应于压力变化的波函数为 t0yA点点t0yB点点t0yA点点t0yB点点 yt0C点点t0yD点点yt0C点点t0yD点点 =txptxAvpm 2sin 2sin0，P 是相对于未扰动时的压力 p0的压强变化值，0是介质的体密度。（1）人耳能够忍受的强声波中的最大压强变化 pm约为 28 牛顿/米2（正常的大气压强约为 1.0105牛顿/米2)，若这一强声波的频率为 1000 赫兹，试求这声波所对应的最大位移。（2）在频率为 1000 赫兹的声波中，可以听得出最微弱的声音的压强振幅约为 2.010-5牛顿/米2，试求相应的位移振幅，设0=1.29 千克/米2，v=321 米/秒。解：（1）最大位移：因为Avpm0=，所以)(1004.12A500mxvpvpmm=（2）最小位移：)(1045.72A1200mxvpvpmm=6.26 无线电波以 3.0108米/秒的速度传播，有一无线电波的波源功率为 50 千瓦，假设该波源在各向同性介质中发射球面波，求离波源 200 公里远处无线电波的能量密度。解：vwrPI=24()8233210310200410504=vrpw).(103.3316=mJ 6.27 如图所示，设 B 点发出的平面横波在 B 点的振动表达式为t2cos1023=，沿BP方向传播；C 点发出的平面横波在 C 点的振动表达式为)2cos(1023+=t，沿CP方向传播，两式中各量均为 SI 单位，设BP=0.40 米，CP=0.50 米，波速为 0.2米/秒，求（1）两列波传到 P 处时的相位差；（2）如果这两列波的振动方向相同，求P 点的合成振幅；(3）如果这两列波的振动方向垂直，则合成振动的振幅如何？解：（1）是两同频率的波()()0)5.04.0(2.021212=+=+=rrv（2）如果振动方向也相同，得到两相干波，则)(10410222331mAA=pBCpBCpBC 题 6.27 图 （3）如果振动方向垂直又同相，合成后仍是谐振动，22212AAA+=则)(1022231mAA=6.28 题 6.28 图表示一个声学干涉仪，它是用来演示声波的干涉，S 是电磁铁作用下的振动膜片，D 是声波探测器，例如耳朵或传声器，路程 SBD 的长度可以改变，但路程 SAD却是固定的，干涉仪内充有空气，实验中发现，当 B 在某一位置时声强有最小值（100单位），而从这个位置向后拉 1.65 厘米到第二个位置时声强就渐渐上升到最大值（900单位）。试求（1）由声源发出的声波的频率以及（2）当 B 在上述两个位置时到达探测器的两个波的相对振幅和（3）到达 D 处时二路声波的分振幅之比，声速 340 米/秒。解：解法一：极大为波腹，极小为波节，相邻波腹波节问距：21065.14=x则)(6.60 x10-2m=解法二：D 处干涉极大、极小取决于波程差，相邻极大极小仅差半个波长，故有：21065.122=xx，则)(1060.62mx=6.29 在同一媒质中的两个相干波源位于 AB 两点，其振动方向相同，振幅皆为 5 厘米，频率皆为 100 赫兹，但 A 点为波峰时，B 点为波谷，且在此媒质中波速为 10 米/秒。设AB 相距 20 米，经过 A 点作一条垂线，在此垂线上取一点 P，AP=15 米，（1）试分别写出 P 点处两波在该点的振动表达式；（2）求两波在 P 点的相位差；（3）写出干涉后的振动表达式(波动中振幅不变)。解：（1）)1015(1002cos1052=tyAPt200cos1052=)(cos=vrtAyBP)200cos(1052=t（2）=（或）（3）相消干涉0=A 所以0=y 6.30 在一个两端固定的 3.0 米长的弦上有 3 个波腹的“驻波”，其振幅为 1.0 厘米，弦上波速为 100 米/秒。（1）试计算频率；（2）若视为入、反射波叠加的理想驻波，写出产生此驻波的两个波的表达式。解：（1）因为23x3m=，所以m2=SDSD 题 6.28 图 APBAPB题 6.29 图 o o波节波节波节123波节123xoxo波节波节波节123波节123x x 题 6.30 图 )(502100Hzv=100=（2）若为理想驻波)(100.1221mAA=驻波端点为节点，x=0，表达式为xtAy2sinsin21=设入射波波函数为)2cos(11xtAy=则反射波波函数为)2(2cos12+=xltAy)2322cos(1+=tA)2cos(1xtA+=显然 tAyyysin2sin2121=+=即 )100cos(105.021xty=)100cos(105.022xty+=6.31 如图所示，S 是一个由音频振荡和放大器驱动的小喇叭，音频振荡器的频率可调范围为 10002000 赫兹，D 是一段用金属薄板卷成的圆管，长 45 厘米。（1）如果在所处温度下空气中的声速是340 米/秒，试问当喇叭发出的频率从 1000 改变到 2000 赫兹时，在哪些频率上会发生共鸣？（2）试画出各次共鸣时管的位移波节、波腹图（忽略末端效应）。解：发生共鸣时，)2,1(2=kkl 形成驻波圆管两端（开口）为波腹（1）)(8.3772,2111Hzlvvl=（2）)(5 .755,222Hzlvvl=（3）)(11333/2,23333Hzlvvl=（4）)(15112/,2444Hzlvvl=D(1)(2)(3)(4)sD(1)(2)(3)(4)s 题 6.31 图 （5）)(18895/2,25555Hzlvvl=（6）)(22673/,3666Hzlvvl=(3),(4),(5)频率会发生共鸣。6.32 如题 6.32 图所示是一个测量空气中声速的装置。把频率为 v 的振动着的音叉置于管的开口端，管内装有水，而管中空气柱的长度可以由水面的升降加以改变。当水面由管的顶端渐渐下降距离 a 时，声音的强度达到最大值，此后当水面再下降距离 d，2d，3d时，声音的强度相继再出现最大值。求空气中声速。若用 1080 赫兹音叉时，测得 d=15.3 厘米，求声速值是多少？解：声音的强度出现极大时，表示音叉频率与管内空气柱的固有频率相同而发生共振。因空气柱的下端是空气与水交界，波是被特性阻抗大的介质反射，存在相位突变，在共振发生时必为波节。在上部开口端则是被特性阻抗相对较小的介质反射，必为波腹。所以在第一次出现声强极大时，只能使图中的（1），第二次声强极大时，只能是图中的（2），第三次声强极大时，只能是图中的（3）。有 4=a，43=+ad，452=+ad，或者2=d，又=v，所以dv2=代入实验数据，可得 3301080153.02=v（米/秒）6.33 有一提琴弦长 50 厘米，两端固定，当不按手指演奏时发出的声音是 A 调（440 赫兹)，试问要奏出 C 调（528 赫兹），手指应该按在什么位置？解：提琴弦两端固定，谐振时，两端必为波节 基调2=l，Hz440=)(44021=smlV Hz528=，V不变，)(4167.052824402mvl=6.34 蝙蝠在洞穴中飞来飞去，利用超声脉冲导航非常有效（这种超声脉冲是持续 1 毫秒或不到 1 毫秒的短促发射，并且每秒重复发射几次）。假设蝙蝠所发超声频率为 39103赫兹，在朝着表面平直的墙壁飞扑的期间，它的运动速率为空气声速的 1/40，试问它听到的从墙壁反射回来的脉冲波频率是多少？解：蝙蝠以 v1向墙飞扑，被墙反射回来的声音相当于声源以 v1运动的多普勒效应的声音：111vvvvv=此声音又被以 v1运动的蝙蝠接收，其频率为：)(011.41039404043,11112Hzvvvvvvvvvvv=+=+=+=6.35 简谐振动中相位为、2、3时描述的是同一运动状态吗？为什么？答：，2同相，反相 6.36 对一简谐振动系统，画出其动能和势能关于时间变量的曲线，并分析两者反相的物理意义。6.37 将单摆摆线从铅直方向拉到角的位置撒手任其摆动。这里角是初相位吗？若不是，它对应什么物理量？答：不是，对应振动位置。6.38 若以一装满水的空心球作为单摆的摆钟，并让水从球体缓慢流出，试描述其摆动周期的变化情况。答：用单摆同相公式讨论。6.39 利用受迫振动的稳定解（5.19）式说明为什么恒力不能导致受迫振动。（提示：恒力时频率可视为零）。6.40 在太空中能听到声音吗？为什么？答：不能，无弹性媒质。6.41 在较长时间间隔（tT）内，任意以 t 为变量的正弦（或余弦）型函数的平均值均为零，例如：0sincos=tt，其中是任意常数。试据此推导（5.11）、（5.12）及（5.40）式。答：利用公式22cos1sin2tt=和02cos=t易得。6.42 海啸是一种波长约为几十至几百千米、在海水中传播的波动现象。它在深海区域并不易被觉察，但一旦海啸接近岸边往往会造成巨大的灾害。试从能量角度分析其中的原因。答：（海啸）相对深海区域，海岸附近海啸引起的能量密度较大，振幅较大，所以损害为剧一些。6.43 描述机械波时间周期性的物理量由周期 T、频率和圆频率给出。类似的，我们可以用，1和2描述波的空间周期性，试说明这三个量对应的物理意义。答：波长，同一波线上两个相邻同相振动质元之间的距离；1 同一波线上单位长度穿过的全波的数目；2 同一波线上单位长度上的相位滞后值。6.44 试解释弦乐器的以下现象：（1）较松的弦发出的音调较低，而较紧的弦则音调较高；（2）较细的弦发出的音调较高，而较粗的弦则音调较低（古人称之为“小弦大声，大弦小声”）；（3）正在振动的两端固定的弦，若用手指轻按弦额中点时，音调变高到两倍，若改按弦的三分之一处时，音调增至三倍；（4）用力弹拨琴弦（而非用手指按弦）时，能同时听到若干音调各异的声音。（提示：音调高低与弦振动的频率成正比。此外，在（4）情形中弦以基频振动的同时还若干泛频振动。）答：（弦乐器）音调高低与弦的振动频率成正比。（1）弦的松紧对应弦的张力 T，由驻波一节中的方程Tln2=，可知，较松的弦振动频率较低，因此音调较低；同理，较紧的弦振动频率较高，因此音调较高。（2）弦的粗细对应弦的弦密度，由方程，粗弦的振动频率较低，因此音调较低；同理，细弦的振动频率较高，因此音调较高。（3）由方程，轻按弦中点对应 n2 时的振动频率；同理，轻按弦三分之一处，对应 n3时的振动频率。（4）弹拨琴弦时能出现各种泛频振动，因此出现音调不同的声音。