电路网络的状态方程优秀PPT.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,17,章 网络的状态方程,17.1,概述,17.1.1,网络的状态方程和状态变量,17.1.2,常态网络与非常态网络,17.1.3,状态方程与输出方程,17.2,状态方程的建立,17.3,状态方程的复频域解法,17.3.1,状态方程的复频域解,17.3.2,转移函数矩阵,17.4,状态空间与状态轨迹,1,第,17,章 网络的状态变量分析法,引言,主题：建立联系输出,(,响应,),输入,(,激励,),关系的方程,动态网络的时域分析与复频率分析,电容电压和电感电流在动态网络分析中的特殊地位,状态变量分析法,借助于一组辅助变量,(,状态变量,),，建立联系状态变量,-,输入的方程,(,状态方程,),输入,-,状态变量,-,输出三者关系的方程,(,输出方程,),状态变量；,输出,状态的初步概念,2,特点：,（,1,）,状态方程是一组一阶微分方程，输出方程是,一组代数方程，便于计算机辅助求解；,（,2,）,容易推广到非线性和时变网络。,（,3,）可用于分析系统的稳定性和可控性,17-1,概述,n,阶微分方程,含,n,个方程的一阶,微分方程组,变量代换,d,2,y,dt,2,dy,dt,+,p +qy=f,x,1,=,y,x,2,=,dy,dt,dx,1,dt,=,x,2,dx,2,dt,=,q,x,1,px,2,+,f,d,dt,x,1,x,2,0 1,q,p,x,1,x,2,0,1,f,=,x,1,x,2,+,X=AX+BF,Y=CX+DF,y,=,1 0,x,1,x,2,0,f,x,1,x,2,+,3,X=AX+BF,Y=CX+DF,方程的特点,问题：,1,）,方程中的,x,代表电路中的哪些变量？,2,）,怎样列写这样的一阶微分方程组？,17.1.1,状态与状态变量,状态的一般概念,系统中一组变量的数据,X(t)=,x,1,(t),x,2,(t),x,n,(t),T,4,2,）,t,时刻的这组数据连同,t,时刻的输入,(,有时可能为输入,的某个导数,),能唯一确定系统中任一变量在,t,时刻的值。,电网络中的状态变量：,17.1.2,常态网络与非常态网络,一组,独立的电容电压,u,C,(,或电荷,),和,独立的电感电流,i,L,(,或磁链,),系统中一组变量的数据,X(t)=,x,1,(t),x,2,(t),x,n,(t),T,1,）,对任一时间,t,1,，由,t,1,时的这组数据,X(t,1,),和从,t,1,开始,的输入，能唯一确定任一,tt,1,时的数据,X(t),；,常态网络,：既无纯电容回路，又无纯电感割集的网络（,P405,）,常态网络中所有的电容电压和电感电流，均应被选作状态变量。,5,17.1.3,状态方程与输出方程,概念：联系输入与状态变量的一阶微分方程组,1,12,du,C,dt,=,i,L,u,C,3,方程的特点：,X=AX+BF,左边为状态变量的一阶导数，且每,个标量方程只含一个一阶导数项,右边为状态变量与输入的线性组合，,除输入外不含任何非状态变量,例,4H,u,C,+,1,12,F,3,i,L,d,i,L,dt,4,=,u,C,d,dt,u,C,i,L,u,C,i,L,4,12,1,4,=,0,6,Y=CX+DF,17.1.3,状态方程与输出方程,X=AX+BF,输出方程：,以状态变量和输入表示输出的,代数,方程,本章要解决的主要问题,状态方程的列写,17-2,状态方程的列写,讨论对象：,常态网络,不含非独立动态元件的网络,4H,u,C,+,1,12,F,3,i,L,例,i,C,+,u,s,1,3,i,C,=-1,u,C,i,L,u,s,3,1,+,7,17-2,状态方程的列写,不含下列情况之一,常态树的概念,(1),仅由电容元件构成的回路,(,全电容电路,),；,(2),仅由电感元件构成的割集,(,全电感割集,),；,(3),仅由电压源与电容构成的回路；,(4),仅由电流源和电感元件构成的割集；,树包含所有电容支路，而不含任何电感支路。,状态变量的数目,=,动态元件的数目,17-2-1,状态方程的分析,对,LTI,网络，选择电容电压和电感电流作为状态变量,8,du,c,dt,d,i,L,dt,只有将,KCL,应用于割集才能最大限度得到满足，只要使,所选取的每个割集仅含一个电容支路（,单电容割集,）；,从方程的右边考虑，所选取的每个割集应尽可能多地,包含电感元件的支路。,17.2.1,状态方程的分析,C =,i,c,du,c,dt,L =u,L,d,i,L,dt,建立包含电容支路的,KCL,方程,建立包含电感支路的,KVL,方程,所选取的每个回路只含一条电感元件的支路（,单电感,回路,）；另外回路应尽可能多地包含电容支路。,电容为树支，电感为连支，电压源为树支，电流源为连支；即树包含所有电容和电压源，不含电感和电流源；这样的树称为,常态树,9,例题,(1),选取常态树和状态变量（,u,C,，,i,1,，,i,2,）,(2),对每一个由电容树支决定的基本割集，写出,KCL,方程,du,c,dt,C =,i,1,i,2,du,c,dt,1,C,=,i,1,i,2,1,C,(3),对每一个由电感连支决定的基本回路，写出,KVL,方程,例,1,e,S,u,C,+,R,2,R,1,C,L,1,L,2,i,1,i,2,+,17-2,状态方程的列写,10,L,1,=u,c,R,1,i,1,e,S,d,i,1,dt,d,i,1,dt,u,c,L,1,R,1,L,1,1,L,1,=,i,1,e,S,L,2,=u,c,R,2,i,2,d,i,1,dt,d,i,2,dt,u,c,L,2,R,1,L,2,=,i,2,例题,例,1,e,S,u,C,+,R,2,R,1,C,L,1,L,2,i,1,i,2,+,1-2,状态方程的列写,(3),对每一个由电感连支决定的基本回路，写出,KVL,方程,du,c,dt,1,C,=,i,1,i,2,1,C,11,d,i,1,dt,u,c,L,1,R,1,L,1,1,L,1,=,i,1,e,S,d,i,2,dt,u,c,L,2,R,1,L,2,=,i,2,例题,1-2,状态方程的列写,例,1,e,S,u,C,+,R,2,R,1,C,L,1,L,2,i,1,i,2,+,du,c,dt,1,C,=,i,1,i,2,1,C,u,C,i,1,i,2,u,C,i,1,i,2,C,1,C,1,1,L,1,R,1,L,1,L,2,1,R,2,L,2,0,0,0,1,L,1,0,0,+,d,dt,e,S,=,12,=(u,4,u,5,u,2,u,1,R,1,i,1,),d,i,1,dt,1,L,1,u,2,+,i,1,i,2,u,1,+,u,5,+,u,4,+,i,3,(1),选取常态树和状态变量,du,1,dt,=,i,1,C,1,du,2,dt,i,1,C,2,i,2,C,2,=+,(2),例,2,e,S,R,4,R,2,C,2,L,1,L,2,R,3,R,1,R,5,C,1,+,=(u,4,u,5,u,2,R,2,i,2,),d,i,2,dt,1,L,2,13,(3),消去除输入外的非状态变量,消去除输入外的非状态变量，就是用,状态变量和输入去表示那些非状态变量。,u,5,=R,5,(,i,1,+,i,2,),将电容元件用电压源代替，电感元,件用电流源代替,u,4,=e,s,(,i,1,+,i,2,),R,4,R,3,+R,4,R,3,R,4,R,3,+R,4,R,4,i,1,+,i,2,u,4,+,e,S,R,3,i,3,+,d,dt,=+e,S,u,1,i,1,i,2,u,2,1,C,2,0,0,0,1,C,2,0,1,C,1,0,1,L,2,1,L,1,1,L,1,a,33,a,34,a,43,a,44,0,u,1,i,1,i,2,u,2,0,0,R,4,L,2,(R,3,+R,4,),R,4,L,1,(R,3,+R,4,),14,1,L,1,R,3,R,4,R,3,+R,4,a,33,=(R,1,+R,5,+),1,L,1,R,3,R,4,R,3,+R,4,a,34,=(R,5,+),1,L,2,R,3,R,4,R,3,+R,4,a,43,=(R,5,+),1,L,2,R,3,R,4,R,3,+R,4,a,44,=(R,2,+R,5,+),d,dt,=+e,S,u,1,i,1,i,2,u,2,1,C,2,0,0,0,1,C,2,0,1,C,1,0,1,L,2,1,L,1,1,L,1,a,33,a,34,a,43,a,44,0,u,1,i,1,i,2,u,2,0,0,R,4,L,2,(R,3,+R,4,),R,4,L,1,(R,3,+R,4,),15,例,3,R,1,u,S,+,u,1,+,u,2,+,R,2,C,2,C,1,g,m,u,1,i,L,i,C2,i,(1),选取常态树和状态变量（,u,1,，,u,2,，,i,）,(2),对每一个由电感连支决定的基本回路，写出,KVL,方程,(3),对每一个由电容树支决定的基本割集，写出,KCL,方程,16,d,dt,1,L,1,R,1,L,0,=+e,S,u,1,i,u,2,0,1,L,1,0,1,C,1,0,g,m,C,1,1,R,2,C,1,g,m,C,2,1,R,2,C,2,+,1,R,2,C,1,1,R,2,C,2,u,1,i,u,2,例,3,R,1,u,S,+,u,1,+,u,2,+,R,2,C,2,C,1,g,m,u,1,i,L,i,C2,i,17,1,C,du,c,dt,=(,i,L,i,),i,=(u,C,R,3,i,S,+R,2,gu,C,),1,R,2,+R,3,u,C,i,L,1,C,d,dt,R,1,L,=+,1,L,1+gR,2,(R,2,+R,3,)C,u,C,i,L,u,S,i,S,1,L,0,0,R,3,(R,2,+R,3,)C,R,1,u,S,+,u,C,+,i,R,2,C,i,S,L,i,L,R,3,gu,C,例,4,1,L,d,i,L,dt,(,u,C,R,1,i,L,+u,S,),=,18,M,=+u,S,d,dt,i,2,i,1,1,L,1,L,2,M,2,(R,1,+R,2,)L,2,MR,2,R,2,L,2,+(R,2,+R,3,)M,(R,1,+R,2,)M+L,1,R,2,(R,2,+R,3,)L,1,MR,2,i,2,i,1,L,2,d,i,2,dt,d,i,1,dt,L,1,+M =,R,1,i,1,+u,S,R,2,(,i,1,i,2,),d,i,1,dt,d,i,2,dt,M +L,2,=R,2,(,i,1,i,2,),R,3,i,2,讨论：,若,L,1,L,2,M,2,=0,（全耦合）,u,S,+,R,3,R,1,L,1,L,2,i,1,i,2,R,2,*,*,M,例,5,则,det L=0,，,L,1,不存在,，,i,1,、,i,2,线性相关。,19,17-3,状态方程的求解,17.3.1,解析解法,(S,1,A,)X(s)=X(0)+BF(s),令,(S)=(S,1,A),1,状态方程的预解矩阵,det(S,1,A),矩阵,A,的特征多项式,方程,det(S,1,A)=0,的根称为,矩阵,A,的特征值,则,X(S)=,(s)X(0)+(s)BF(s),矩阵函数的有限项表示法,对角线化变换矩阵法,时域的解法,复频域解法,解析解法,幂级数法,X=AX+BF,20,由输出方程,Y=CX+DF,Y(S)=C,(s)X(0)+C(s)B+DF(s),Y(t)=,1,C,(s)X(0)+,1,H(s)F(s),X(S)=,(s)X(0)+(s)BF(s),17.3.1,解析法解法,复频域解法,零输入响应,零状态响应,C(s)B+D=H(S),转移函数矩阵,对图示电路,列出状态方程,并求解。,例,1,4H,u,C,+,1,12,F,3,i,L,u,c,(0)1,i,L,(0)1,=,21,u,C,i,L,1,4,d,dt,=,4,12,0,u,C,i,L,det(S,1,A)=S(S+4)+3=(S+1)(S+3),(s)=(S,1,A),1,=,1,4,12,S,(S+4),(S+1)(S+3),(S,1,A)=,1,4,12,S,(S+4),-,特征多项式的零点,(S+1)(S+3),1,U,C,(s),I,L,(s),1,1,=,(S+1)(S+3),S,12,(S+1)(S+3),S+17/4,12,1,4,S,(S+4),4H,u,C,+,1,12,F,3,i,L,u,c,(0)1,i,L,(0)1,=,22,u,C,(t),i,L,(t),U,C,(s),I,L,(s),=,1,=,e,t,+e,3t,2,13,2,15,e,t,e,3t,8,5,8,13,t,0,讨论：关于网络的固有频率和网络函数的极点,(S+1)(S+3),1,U,C,(s),I,L,(s),1,1,=,(S+1)(S+3),S,12,(S+1)(S+3),S+17/4,12,1,4,S,(S+4),(S)=(S,1,A),1,(S,1,A),的伴随矩阵,det(S,1,A),=,的根就是网络的固有频率，决定了网络零输入的形式,23,=,u,C,1,L,1,d,i,1,dt,1,C,du,c,dt,=(,i,1,),u,c,R,1,u,c,ku,1,R,2,u,C,i,1,d,dt,=,0,u,C,i,1,+,1,R,1,C,1,R,2,C,kM,L,1,R,2,C,1,L,1,1,C,例,2,M,R,2,C,L,1,ku,1,L,2,+,u,1,+,R,1,+,图示电路为一,LC,振荡电路，耦合电感的付线圈开路，,（,1,）试写出该电路的状态方程（矩阵形式）；,（,2,）欲使此电路产生正弦振荡，,K,应满足什么条件，振荡,角频率为何值？,*,*,i,1,u,c,u,1,=u,C,M,L,1,24,=0,kM,L,1,R,2,C,1,L,1,C,S,2,+()S,1,R,1,C,1,R,2,C,+,+,=0,kM,L,1,R,2,C,1,R,1,C,1,R,2,C,+,产生正弦振荡的条件：,k=,L,1,(R,1,+R,2,),R,1,M,振荡角频率,:,=,L,1,C,1,=0,S,+,1,R,1,C,1,R,2,C,kM,L,1,R,2,C,1,L,1,1,C,S,+,u,C,i,1,d,dt,=,0,u,C,i,1,+,1,R,1,C,1,R,2,C,kM,L,1,R,2,C,1,L,1,1,C,25,17.4,状态空间与状态轨迹,X(t)=,x,1,(t),x,2,(t),(t=t,1,),(t=t,2,),x,1,x,2,0,状态空间,:,由状态变量为基底构成的空间,状态矢量末端的轨迹,状态轨迹,状态矢量,26,4H,u,C,+,1,12,F,3,i,L,例 如图，,u,C,(0,)=1,V,i,L,(0),=1,A,求零输入响应的状态轨迹,。,u,C,(t),i,L,(t),2,13,2,15,e,t,+e,3t,8,13,8,5,e,t,-e,3t,=,t,i,L,1,0,t,u,c,1,0,27,1,t,u,c,1,0,0,1,1,2,i,L,u,c,t=,0,t=,i,L,t,0,4H,u,C,+,1,12,F,3,i,L,例 如图，,u,C,(0)=1V,i,L,(0)=1A,求零输入响应的状态轨迹,。,u,C,(t),i,L,(t),2,13,2,15,e,t,+e,3t,8,13,8,5,e,t,-e,3t,=,28,