《同角三角函数的基本关系》教学设计.doc

1.2.2 同角三角函数的基本关系
(名师：卓忠越)
一、教学目标
（一）核心素养
通过教学，使学生学习运用观察、类比、数形结合、联想、猜测、检验等合情推理方法，提高学生运算能力和逻辑推理能力.
（二）学习目标
1．牢固掌握同角三角函数关系式，并能灵活解题，提高学生分析、解决三角函数的思维能力；
2．探究同角三角函数关系式时，体会数形结合的思想；已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，进一步树立分类思想；解题时，注重化归的思想，将新题目化归到已经掌握的知识点上；
3．牢固掌握同角三角函数的关系式,并能灵活运用于解题,提高分析、解决三角函数的思维能力；
4．灵活运用同角三角函数关系式的不同变形,提高三角恒等变形的能力.
（三）学习重点
1．理解并掌握同角三角函数关系式；
2．熟练掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法.
（四）学习难点
1．已知某角的一个三角函数值，求其余的各三角函数值时符号的确定；
2．掌握同角三角函数的关系式,并能灵活运用于解题,提高分析、解决三角函数的思维能力.
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务
（1）熟记，，，，五个特殊角的三角函数值
（2）阅读教材P18—P20
2．预习自测
（1）已知，且为第三象限角，求、的值
【知识点】两组关系式的基本应用及三角函数值符号判定
【解题过程】∵在第三象限 ∴
∴由得：
由得：
【思路点拨】利用两组三角函数公式和三角函数符号判定，代入解方程求解.
【答案】，
（2）化简：（1）； （2）
【知识点】两组关系式的基本应用
【解题过程】（1）
（2）
【思路点拨】（1）“切化弦”，统一函数名称从而实现化简的目的；
（2）利用进行“1”的代换，统一分子分母为齐次式.
【答案】（1）；（2）1
（3）求证：（1）
（2）
【知识点】两组关系式的基本应用
【解题过程】（1）法一：左边=
=右边
法二：右边
=左边
（2）左边==右边
【思路点拨】恒等式证明遵循“化繁为简”的基本准则，即可从左化到右，也可从右化到左，或左右都往中间化得到相同的结果.
【答案】见解题过程
(二)课堂设计
1．知识回顾
（1）任意角的三角函数的定义
（2）任意角的三角函数值的符号法则
（3）初中所学的同角锐角三角函数的基本关系
2．问题探究
探究一 结合任意角的三角函数的定义，探究同角三角函数的基本关系★
●活动① 类比初中所学知识，猜想同角三角函数的基本关系
回顾初中学习锐角三角函数的相关知识，在Rt△ACB中，∠C=，三边长分别为，锐角A的三角函数的定义是什么？

锐角A的这三个三角函数之间有什么关系呢？
；
以上同角三角函数关系对任意角仍成立吗？
【设计意图】从已有的知识出发，类比探究知识的延展，得到合理的猜想，为发现新知奠定基础，体会由特殊到一般的数学思想.
●活动② 回归定义，证明猜想，得到结论
你能根据任意角的三角函数定义证明以上同角三角函数关系吗？

也就是说，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切.
【设计意图】运用定义给予严格证明，肯定猜想的正确性，是解决数学问题的常用方法.
●活动③ 架构迁移，熟悉公式结构和使用条件
为了让学生及时熟悉公式，要求学生完成以下的课堂练习：
（1）_________；（2）___________；
（3）___________；（4）________________．
学生交流、讨论，最终在教师的引导下得到上述两个公式中应该注意的问题：
①注意“同角”指相同的角，例如：、、；
②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如中，且需有意义等.
【设计意图】通过练习，感知并理解同角的意义和公式的使用条件，培养严谨的数学思维习惯.
探究二 同角三角公式的灵活运用
●活动① 探究两个公式的等价变形式及应用
由等价变形式，已知余弦值可以求正弦值；
由等价变形式，已知正弦值可以求余弦值.
但比如: ，此时，、的符号受所在象限的限制，不是无条件的.
例1.已知，其中在第四象限，求的值.
【知识点】两组关系式的基本应用及三角函数值符号判定
【数学思想】方程的思想
【解题过程】
第一步：定号
∵在第四象限 ∴
第二步：定值
∴由得：
由得：
【思路点拨】熟记公式，代入解方程求解.
【答案】
同类训练1：已知，求的值.
【知识点】两组关系式的基本应用及三角函数值符号判定
【数学思想】方程的思想和分类讨论思想
【解题过程】
第一步：定象限
∵ ∴在第一或第二象限
第二步：定号、定值
（1）当在第一象限时，
∴由得：
由得：
（2）当在第二象限时，
∴，
【思路点拨】涉及开方运算，符号判断取决于角所在象限.当角所在象限不确定时，需逐一分情况讨论.
【答案】或

同类训练2：已知，其中在第三象限，求的值.
【知识点】两组关系式的基本应用及三角函数值符号判定
【数学思想】方程的思想
【解题过程】
第一步：定号
∵在第三象限 ∴
第二步：定值
由解方程得：
【思路点拨】共三个量，两个方程，任给其中一个都可以求出另两个.
【答案】
【设计意图】通过计算熟练掌握公式，并体会分类讨论思想在三角函数符号确定中的应用
●活动② 强化提升、灵活应用
例2 已知，求的值
【知识点】正余弦公式的灵活应用
【数学思想】化归思想
【解题过程】
解：
∴
【思路点拨】通过平方升次后，便于使用，从而使问题得到简化.
【答案】
同类训练：在例2的条件下，能求吗？
【知识点】正余弦公式的灵活应用
【数学思想】化归思想
【解题过程】
解：
∵ ∴是第二或第四象限角
（1）当是第二象限角时， ∴
∴
（2）当是第四象限角时， ∴
∴
【思路点拨】两者之间通知联系起来，三者任给其中一
个可以求出另外两个.
【答案】或
例3 已知，求下列各式的值：
（1） （2）
【知识点】弦化切公式的灵活应用
【数学思想】化归思想
【解题过程】
解：（1）分子分母上下同时除以得：
（2）分子分母上下同时除以得：

【思路点拨】关于的齐次分式，可以弦化切，变形为关于的式子.
【答案】（1）； （2）
同类训练：已知，求值：
【知识点】弦化切公式的灵活应用
【数学思想】化归思想
【解题过程】
解：
【思路点拨】关于的齐次分式，可以弦化切，变形为关于的式子.
【答案】
例4 求证：
【知识点】三角函数关系式恒等变形
【数学思想】转化化归
【解题过程】
解：左边=
=右边
【思路点拨】恒等式变形可由左到右，亦可由右到左，统一次数，统一函数名称.
【答案】见解题过程
同类训练 求证：
【知识点】三角函数关系式恒等变形
【解题过程】
解：左边=
右边=
又∵ ∴ ∴左边=右边
∴原式得证.
【思路点拨】“切化弦”统一函数名，为证明恒等式奠基；恒等式证明可以从左右分别变形，得到相同或相等的中间式，从而等式得证.
【答案】见解题过程
3. 课堂总结
知识梳理
掌握两组三角函数基本关系式：和
重难点归纳
（1）运用三角函数公式求三角函数值涉及开方运算时，注意分析确定三角函数值的符号；不能确定的要进行分类讨论；
（2）根据三角函数式的结构和求解目标，选择合理的变形方向，并在训练中不断提高三角恒等变形的能力.
（三）课后作业
基础型 自主突破
1.已知，且为第四象限角，求的值.
【知识点】正余弦关系式的基本应用及三角函数值符号判定
【数学思想】方程的思想
【解题过程】
∵在第四象限 ∴
∴由得：
由得：
【思路点拨】熟记公式，代入解方程求解.
【答案】
2.已知，求的值.
【知识点】两组关系式的基本应用及三角函数值符号判定
【数学思想】方程的思想
【解题过程】
∵ ∴在第二或第四象限
（1）若角在第二象限，则
由解方程得：
（2）若角在第四象限，则
由解方程得：
【思路点拨】共三个量，两个方程，任给其中一个都可以求出另两个；但角所在象限不确定时，注意分类讨论.
【答案】或

3.已知，求的值.
【知识点】弦化切公式的灵活应用
【数学思想】化归思想
【解题过程】
解：分子分母上下同时除以得：
【思路点拨】关于的齐次分式，可以弦化切，变形为关于的式子.
【答案】
4.已知，则求的值.
【知识点】熟练应用公式
【数学思想】
【解题过程】
解：
∴
【思路点拨】利用完全平方公式构造，代入即可.
【答案】
5.求证：
【知识点】三角函数关系式恒等变形
【数学思想】
【解题过程】
解：左边=
=右边
【思路点拨】恒等式变形可由左到右，亦可由右到左，“切化弦”是常用统一函数名的办法.
【答案】见解题过程
能力型 师生共研
1．(1)已知，且为第二象限角，求.
(2)已知，求.
(3)已知，求.
【知识点】熟练掌握三角函数关系式及符号判定
【数学思想】方程的思想和分类讨论思想
【解题过程】
(1)∵，且是第二象限角，
∴cosα＝－＝－＝－.
∴tanα＝＝－.
(2)∵sinα＝，∴α是第一或第二象限角．
当α是第一象限角时，
∴cosα＝＝＝.
∴tanα＝＝；
当α是第二象限角时，tanα＝－.
(3)∵sinα＝m(m≠0，m≠±1)，
∴cosα＝±＝±(当α为第一、四象限角时取正号，当α为第二、三象限角时取负号)．
∴当α为第一、四象限角时，tanα＝；
当α为第二、三象限角时，tanα＝－.
【思路点拨】先求与sinα的平方关系相联系的cosα，再由公式求tanα.(2)(3)中α的范围不确定，须讨论确定开方的符号．
【答案】　(1)－　 (2)或－ (3)或－
2.已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，则
(1)sinθ－cosθ＝________；
(2)sin3θ＋cos3θ＝________；
(3)tanθ＝________．
【知识点】三者的关系
【数学思想】方程的思想和整体代换的思想
【解题过程】
(1)∵sinθ＋cosθ＝，∴(sinθ＋cosθ)2＝.
∴2sinθcosθ＝－.
又θ∈(0，π)，∴sinθ>0，cosθ<0.
∴sinθ－cosθ＝＝＝.
(2)sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)
＝×(1＋)＝.
(3)方法一：由解得sinθ＝，cosθ＝－.∴tanθ＝－.
方法二：因为sinθ＋cosθ＝，sinθcosθ＝－，
由根与系数的关系，知sinθ，cosθ是方程x2－x－＝0的两根，
所以x1＝，x2＝－.
又sinθcosθ＝－<0，所以sinθ>0，cosθ<0.
所以sinθ＝，cosθ＝－.所以tanθ＝＝－.
方法三：同方法二，得sinθcosθ＝－，所以＝－.
齐次化切，得＝－，即60tan2θ＋169tanθ＋60＝0，
解得tanθ＝－或tanθ＝－.
又θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝>0，sinθcosθ＝－<0，
所以θ∈(，)，所以tanθ＝－.
【思路点拨】
(1)已知asinx＋bcosx＝c可与sin2x＋cos2x＝1联立，求得sinx，cosx.
(2)sinx＋cosx，sinx－cosx，sinxcosx之间的关系为
(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx，
(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx，
(sinx＋cosx)2＋(sinx－cosx)2＝2.
因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．
【答案】　(1)　(2)　(3)－
探究型 多维突破
1.化简，其中为第二象限角.
【知识点】三角函数关系式恒等变形
【数学思想】化归思想
【解题过程】
解：原式=
∵为第二象限角 ∴
∴原式=
【思路点拨】以开方化简为目标，分子分母同时升次凑完全平方；在开方时，注意符号的确定.
【答案】
2.化简
【知识点】三角函数关系式恒等变形
【数学思想】化归思想
【解题过程】
解：（法一）原式=

（法二）∵
∴原式=

【思路点拨】法一通过因式分解降次，统一次数从而实现化简；法二用“1”的代换升次从而实现化简.
【答案】
自助餐
1．若sinα＝－，且α为第四象限角，则tanα的值等于(　　)
A.　　　 B．－ C. D．－
【知识点】三角函数关系式恒等变形
【数学思想】化归思想
【解题过程】
因为sinα＝－，且α为第四象限角，所以cosα＝，所以tanα＝－.
【思路点拨】熟记公式，代入解方程求解.
【答案】D
2.已知tanα＝3，求sin2α－3sinαcosα＋1的值．
【知识点】两组三角函数关系式的灵活应用
【数学思想】化归思想
【解题过程】
方法一：∵tanα＝3>0，∴α是第一、三象限角．
由
得(α为第一象限角)，或(α为第三象限角)．
∴sinαcosα＝.
∴sin2α－3sinαcosα＋1＝－3×＋1＝1.
方法二：∵tanα＝3，sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α－3sinαcosα＋1＝＋1
＝＋1＝＋1＝1.
【思路点拨】解这类问题有两个方法，一是直接求出sinα和cosα的值，再代入求解，但这种方法较繁琐．二是将所求式转化为只含tanα的代数式，再代入求解.
【答案】　1
3．化简cosα＋sinα(π<α<)得(　　)
A．sinα＋cosα－2 B．2－sinα－cosα C．sinα－cosα D．cosα－sinα
【知识点】熟练掌握两组三角函数关系式和三角函数符号判定
【数学思想】化归思想
【解题过程】
原式＝cosα＋sinα，
∵π<α<π，∴cosα<0，sinα<0.
∴原式＝－(1－sinα)－(1－cosα)＝sinα＋cosα－2.
【思路点拨】为开方凑完全平方式，并根据角的范围判定符号.
【答案】　A
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