高中竞赛平面几何题.doc

高中数学竞赛 平面几何证明方法选讲
第一题：证明角平分 4
第二题：证明四点共圆 5
第三题：证明角的倍数关系 6
第四题：证明线与圆相切 7
第五题：证明垂直 8
第六题：证明线段相等 9
第七题：证明线段为比例中项 10
第八题：证明垂直 11
第九题：证明线段相等 12
第十题：证明角平分 13
第十一题：证明垂直 14
第十二题：证明线段相等 15
第十三题：证明角相等 16
第十四题：证明中点 17
第十五题：证明线段的二次等式 18
第十六题：证明角平分 19
第十七题：证明中点 20
第十八题：证明角相等 21
第十九题：证明中点 22
第二十题：证明线段相等 23
第二十一题：证明垂直 24
第二十二题：证明角相等 25
第二十三题：证明四点共圆 26
第二十四题：证明两圆相切 27
第二十五题：证明线段相等 28
第二十六题：证明四条线段相等 29
第二十七题：证明线段比例等式 30
第二十八题：证明角的倍数关系 31
第二十九题：证明三线共点 32
第三十题：证明平行 33
第三十一题：证明线段相等 34
第三十二题：证明四点共圆 35
第三十三题：证明三角形相似 36
第三十四题：证明角相等 37
第三十五题：证明内心 38
第三十六题：证明角平分 39
第三十七题：证明垂直 40
第三十八题：证明面积等式 41
第三十九题：证明角平分 42
第四十题：证明角相等 43
第四十一题：证明中点 44
第四十二题：证明中点 45
第四十三题：证明角相等 46
第四十四题：证明垂直 47
第四十五题：证明角相等 48
第四十六题：证明垂直 49
第四十七题：证明四点共圆 50
第四十八题：证明四点共圆 51
第四十九题：证明四点共圆 52
第五十题：证明角平分 53
第五十一题：证明线段相等 54
第五十二题：证明两圆外切 55
第五十三题：证明垂直 56
第五十四题：证明垂直 57
第五十五题：证明垂直 58
第五十六题：证明垂直 59
第五十七题：证中点 60
第五十八题：证明角相等 61
第五十九题：证明角相等 62
第六十题：证明四点共圆 63
第六十一题：证明四点共圆 64
第六十二题：证明四点共圆 65
第六十三题：证明角相等 66
第六十四题：证明角的倍数关系 67
第六十五题：证明中点 68
第六十六题：伪旁切圆 69
第六十七题：证明垂直 70
第六十八题：证明平行 71
第六十九题：证明圆心在某线上 72
第七十题：证明三线共点 73
第七十一题：证明垂直 74
第七十二题：证明垂直 75
第七十三题：证明中点 76
第七十四题：证明垂直 77
第七十五题：证明垂直 78
第七十六题：证明三线共点 79
第七十七题：证明平行 80
第七十八题：证明平行 81
第七十九题：证明三线共点、证明垂直 82
第八十题：证明三点共线（牛顿定理） 83
第八十一题：证明角平分 84
第八十二题：证明角相等 85
第八十三题：证明三点共线 86
第八十四题：证明四圆共点 87
第八十五题：证明角平分 88
第八十六题：证明线段相等 89
第八十七题：证明角相等 90
第八十八题：证明线段相等 91
第八十九题：证明线段相等 92
第九十题：证明线段相等 93
第九十一题：证明中点 94
第九十二题：证明四点共圆 95
第九十三题：证明西姆松定理及逆定理 96
第九十四题：证明线段的和差关系等式 97
第九十五题：证明角相等 98
第九十六题：证明托勒密定理及逆定理 99
第九十七题：证明线段的和差关系等式 100
第九十八题：证明角相等 101
第九十九题：证明四点共圆 102
第一百题：证明两三角形共内心 103

第一题：证明角平分
已知、是⊙的切线，、是一组对径点，交⊙于另一点，直线、交于点。 求证：。

第二题：证明四点共圆
如图，是⊙的直径，,是圆上异于、,且在同侧的两点，分别过、作⊙的切线，
它们交于点,线段与的交点为, 线段与的交点为,求证：、、、四点共圆。

第三题：证明角的倍数关系
如图，、是以为直径圆的切线、是切点，交圆于点，、交于点，是直径。 求证：。

第四题：证明线与圆相切
已知：中，，切⊙，交延长线于，是关于的对称点，于，是中点，延长交⊙于，求证：切外接圆。

第五题：证明垂直
已知四边形内接于以为直径的圆，设为关于为对称点，是关于对称点，直线交于，直线交于。求证：。

第六题：证明线段相等
已知：、是⊙切线，、是切点，是割线，、在圆上，离较近，
于，交于，交于，求证：。

第七题：证明线段为比例中项
已知中，，是的中点，经过点，且与有相同的内心。
求证：。

第八题：证明垂直
已知：为非直角三角形，平分，在上，于，于，交于。求证：。

第九题：证明线段相等
过圆外一点作圆的两条切线、，切点分别为、，过劣弧上一点作圆的另一条切线分别交、于、，连结交于点，连结交于点。
求证：。

第十题：证明角平分
已知、是⊙切线，是过的切线，、分别在、上，于，连接、。求证：

第十一题：证明垂直
设是圆的割线，是切线，是圆的直径，、相交于。求证：。

第十二题：证明线段相等
设、是以为圆心为直径的半圆上两点，过做圆的切线交于，直线交直线、分别于、。求证: 。

第十三题：证明角相等
如图，中，、分别为、上一点，且，、交于点，的外接圆⊙，与的外接圆⊙交于点，求证：。

第十四题：证明中点
如图，⊙、⊙交于、两点，、延长线交于点，、分别切⊙、⊙于、，连接交于，求证：为中点。

第十五题：证明线段的二次等式
如图，半径不相等的两圆⊙、⊙交于、两点，过的直线分别交⊙、⊙于、，延长线交⊙于，延长线交⊙于，过作垂线交中垂线于，求证：

第十六题：证明角平分
如图，内接于⊙，为中点，交⊙于，过作，交⊙于，过作，交于。求证：。

第十七题：证明中点
如图，内切圆⊙切于，过作交于，过作⊙切线，分别交、于、。求证：为中点。

第十八题：证明角相等
如图，如图，⊙、⊙交于、两点，它们的外公切线分别切⊙、⊙Q于、，为延长线上一点，交⊙于，交⊙于，平分交于。求证：。

第十九题：证明中点
如图，⊙为外接圆，、分别为的内心和一个旁心，的外角平分线交延长线于，于，交⊙于。求证：为中点。

第二十题：证明线段相等
如图，在锐角中，，是的中点，、是高。、分别是、的中点，若过且平行于的直线交于。求证：

第二十一题：证明垂直
如图，是边上一点，，⊙过点、分别交、于、，直线交于，是中点。求证：。

第二十二题：证明角相等
如图，如图，为⊙直径，、分别切⊙于、，割线交⊙于、，、交于点，交于，求证：。

第二十三题：证明四点共圆
如图，为外心，、分别为、上一点，于，、、分别为、、中点。求证：、、、四点共圆。

第二十四题：证明两圆相切
如图，内切圆⊙切于，于，为中点，交⊙于，作的外接圆⊙，求证：⊙、⊙相切于点。

第二十五题：证明线段相等
如图，内接于⊙，内切圆⊙分别切、于、，交⊙于，连接，延长到，使得，过作的垂线交延长线于，求证：。

第二十六题：证明四条线段相等
如图，⊙为外接圆，平分交⊙于，交于，交于，为垂心，交于，求证：。

第二十七题：证明线段比例等式
如图，四边形中，，外接圆⊙交于，外接圆⊙交于，、交于点，求证：。

第二十八题：证明角的倍数关系
如图，为外心，为内一点，使得，，为中点，过作交延长线于，连接、、，求证：。

第二十九题：证明三线共点
如图，⊙的内接四边形，、交于点，、交于点，的外接圆⊙交⊙于，交于，交⊙于，求证、、三线共点。

第三十题：证明平行
如图，中，为中点，为外心，为垂心，、分别为、上一点，使得，且、、三点共线，为外心，求证：。

第三十一题：证明线段相等
如图，四边形内接于⊙，为四边形内一点，使得，，过点的直线平分，交⊙于、两点，求证：。

第三十二题：证明四点共圆
如图，在中，、、是三条高线，点为内部一点，关于、、的对称点分别为、、，线段的中点为，求证：、、、四点共圆的充要条件为、、、四点共圆。

第三十三题：证明三角形相似
如图，⊙、⊙半径分别为、，⊙、⊙交于、两点，为平面上一点，切⊙于，切⊙于，且，求证：∽。

第三十四题：证明角相等
如图，平行四边形中，为上一点，使得，交外接圆⊙于，连接，求证：。

第三十五题：证明内心
如图，是内心，为中点，为弧中点，中点为，中点为，交于，连接，求证：为内心。

第三十六题：证明角平分
如图，⊙为的外接圆，平分交⊙于，为的垂心，于，于，的外接圆⊙交⊙于。交于，求证：平分。

第三十七题：证明垂直
在中，为外心，三条高、、交于点，直线和交于点，直线和交于点，求证：（1）；（2）；（3）。

第三十八题：证明面积等式
如图，和均为等腰直角三角形，，连接、，取的中点，连接、，求证：=。

第三十九题：证明角平分
如图，中，旁切圆⊙分别切、延长线于、，旁切圆⊙分别切、延长线于、，、分别交于、，、交于点，求证：平分。

第四十题：证明角相等
如图，平行四边形中，、分别为、上一点，、交于点，的外接圆⊙与的外接圆⊙交于点，连接、，求证：。

第四十一题：证明中点
如图，、分别切⊙于、，为⊙一条割线，过作，交于，交于，求证：为中点。

第四十二题：证明中点
如图，为垂心，为中点，过作分别交、于、，求证：为中点。

第四十三题：证明角相等
如图，锐角中，，且、在边上，满足，若在内存在点满足，且，求证：。

第四十四题：证明垂直
如图，为半圆的直径，，在圆上，是延长线上一点，切⊙于，平分，分别交、于、，求证：。

第四十五题：证明角相等
如图，为⊙的切线，为⊙的割线，于点，的外接圆与的另一个交点为，求证：。

第四十六题：证明垂直
如图，平行四边形中，于，于，交于，求证：。

第四十七题：证明四点共圆
如图，内接于⊙，于，交于，为中点，交于，于，求证：、、、四点共圆。

第四十八题：证明四点共圆
如图，是内心，关于的对称点是，为中点，为中点中点为，中点为，交于，求证：、、、四点共圆。

第四十九题：证明四点共圆
如图，为的垂心，为中点，于，证明：、、、四点共圆。

第五十题：证明角平分
已知，内心为，圆与边、相切，圆过、，且、外切与点。求证：的平分线过点。

第五十一题：证明线段相等
如图，⊙为外接圆，为弧中点，为弧中点，于，连接，过作交延长线于，求证：。

第五十二题：证明两圆外切
如图，如图，、、为⊙上三点，过作交延长线于，过作交⊙于，交于，过、、三点的圆为⊙，过、、三点的圆为⊙，求证：⊙与⊙外切于点。

第五十三题：证明垂直
如图，如图，中，、、分别为、、中点，过作交于，过作交于，、交于点，、交于点，求证：。

第五十四题：证明垂直
如图，中，为中点，⊙过、两点，且切于，延长交⊙于，延长线交于，求证：。

第五十五题：证明垂直
如图，为⊙直径，切⊙于，为弧上任一点，交⊙于，、交于点，连接、，证明：。

第五十六题：证明垂直
如图，正方形与正方莆，交于，交于，交于，交于，求证：。

第五十七题：证中点
如图，、分别切⊙于、两点，为劣弧上一点，交于，过点的切线分别交、于、，交于，求证：为中点。

第五十八题：证明角相等
如图，⊙、⊙交于、两点，它们的外公切线分别切⊙、⊙于、，为延长线上一点，交⊙于，交⊙于，分别交⊙、⊙于、，求证：。

第五十九题：证明角相等
如图，等腰中，，为中点，为上一点，使得，于，连结，求证：。

第六十题：证明四点共圆
如图，中，、分别为、上一点，且，、交于点，、、、分别为、、、外心，求证：、、、四点共圆。

第六十一题：证明四点共圆
如图，旁切圆⊙分别切、、于、、，、分别交于、，为中点，为在上的垂足，求证：、、、四点共圆。

第六十二题：证明四点共圆
如图，四边形内接于⊙，、交于点，、交于点，点为中点，交⊙于，求证：、、、四点共圆。

第六十三题：证明角相等
如图，为半⊙直径，于，于，、分别为半⊙的两条切线，于，连接，求证：。

第六十四题：证明角的倍数关系
如图，、分别切⊙于、，为延长线上一点，的外接圆⊙交⊙于，于，求证：。

第六十五题：证明中点
如图，在⊙中，直径垂直于弦，是的中点，的延长线交⊙于点，交于点。求证：是的中点。

第六十六题：伪旁切圆
如图，外接圆为⊙，内切圆⊙分别切三边于、、，⊙与⊙外切于，且分别切、于、，连接并延长交⊙于，求证：，且。

第六十七题：证明垂直
如图，⊙为外接圆，、分别为、中点，为垂心，延长线交⊙于，延长线交⊙于，、交于点，连接，求证：。

第六十八题：证明平行
如图，内接于⊙，，平分线交⊙于，、分别为、上一点，，交于，的外接圆⊙交⊙于，交⊙于，求证：。

第六十九题：证明圆心在某线上
如图，⊙、⊙交于、两点，过的直线依次交⊙于、，过的直线信用证次交⊙于、，若、、、四点共圆，求证：（1）四边形的外接圆圆心在直线上。（2）、、三线共点。

第七十题：证明三线共点
如图，中，为上一点，、分别为和内心，以为圆心，为半径作⊙，以为圆心，为半径作⊙，⊙与⊙交于点，⊙分别交、于、，⊙分别交、于、，求证：、、三线共点。

第七十一题：证明垂直
如图，中，、、是的三条高线， 为的垂心，为的外心，交于，交于，求证：。

第七十二题：证明垂直
如图，四边形中，、交于点，、分别为、中点，、分别为和的垂心，求证：。

第七十三题：证明中点
如图，中，为外心，为垂心，于，于，，交于，交于，求证：为中点。

第七十四题：证明垂直
如图，平行四边形中，、交于点，于，于，交延长线于，求证：。

第七十五题：证明垂直
如图，中，，、分别、上一点，、交于点，的外接圆⊙交的外接圆⊙于，求证：。

第七十六题：证明三线共点
如图，中，、、分别为、、上一点，且、、交于一点，、、分别为、、中点，、、分别为、、中点，求证：、、三线共点。

第七十七题：证明平行
如图，五边形中，，，、交于点，、分别为、中点，连接，求证：。

第七十八题：证明平行
如图，四边形中，、分别为、中点，为平面上一点，使得，，、交于点，求证：。

第七十九题：证明三线共点、证明垂直
如图，中，平分交于，平分交于，平分交于，交于，交于，交延长线于，（1）求证：、、三点共线；（2）求证：。

第八十题：证明三点共线（牛顿定理）
如图，完全四边形中，、、分别为、、中点，则、、三点共线。

第八十一题：证明角平分
如图，⊙为外接圆，为内心，⊙分别切、于、，与⊙内切于，求证：平分。

第八十二题：证明角相等
如图，为外心，过的直线分别交、于、，、分别为、中点，求证：。

第八十三题：证明三点共线
如图，内接于⊙，为⊙上一点，交于，交于，求证：、、三点共线。

第八十四题：证明四圆共点
已知四边形中，、分别为边、上的点，且，射线与、分别交于点、。 、、、的外接圆分别为⊙、⊙、⊙、⊙。
求证：（1）⊙、⊙、⊙、⊙四圆共点。
（2）四边形相似于四边形。

第八十五题：证明角平分
如图，中，，于，于，为中点，交延长线于，连接，求证：平分。

第八十六题：证明线段相等
如图，内接于⊙，为垂心，为中点，连接，过作，分别交、于、，连接、，求证：。

第八十七题：证明角相等
如图，为外心，为垂心，交于，交于，求证：。

第八十八题：证明线段相等
如图，为的高，为中点，过的一条直线分别交、于、，使得，为外心，求证：。

第八十九题：证明线段相等
如图，内接于⊙，的中垂线分别交⊙于、，交于，过作的平行线，在该平行线上任取一点，连接，过作，分别交、于、，求证：。

第九十题：证明线段相等
如图，内接于⊙，平分交⊙于，为中点，为平面上一点，使得，连接，过作，分别交、于、，求证：。

第九十一题：证明中点
如图，⊙为外接圆，为⊙直径，为弧上一点（与在异侧），于，于，交于，求证：为中点。

第九十二题：证明四点共圆
如图，为外心，为上一点，中垂线交于，中垂线交于，求证：、、、四点共圆。

第九十三题：证明西姆松定理及逆定理
(1) 如图，内接于⊙，为⊙上一点，于，于，于，求证：、、三点共线。
(2)内接于⊙，为平面上一点，于，于，于，若、、三点共线，则、、、四点共圆。

第九十四题：证明线段的和差关系等式
如图，⊙的三条弦、、交于点，且两两夹角为，求证：。

第九十五题：证明角相等
如图，已知、分别切⊙于、两点，为⊙的一条割线，有中点，求证：。

第九十六题：证明托勒密定理及逆定理
（1）如图，为⊙内接四边形，求证：。
（2）四边形满足，求证：、、、四点共圆。

第九十七题：证明线段的和差关系等式
如图，中，为外心，为内心，，求证：。

第九十八题：证明角相等
如图，四边形中，、分别为、上一点，且，、交于点，连接，求证：。

第九十九题：证明四点共圆
如图，内切圆⊙分别切、、于、、，为内一点，使得内切圆⊙切于，分别切、于、，求证：、、、共圆。

第一百题：证明两三角形共内心
如图， 中，过的圆与、分别交于、，交于，直线与外接圆交于。求证：、共内心。