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《空间图形的展开图》教案

课题： 空间图形的展开图
课时：1课时
教学目标：1．了解平面展开图的概念，会识别一些简单多面体的平面展开图
2．了解直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的侧面积的计算公式
3．会用展开图解决具体问题

教学重点：1．正棱柱、正棱锥、正棱台的概念的理解
2．多面体的平面展开图，及展开图的应用

教学难点：多面体的平面展开图的应用

教学过程及方法措施：
主备案
1．问题情境
(1)情景：多媒体播放棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台这些几何体图片
(2)问题：如果你是装潢公司的一名员工，想给这些几何体的侧面贴上一些装饰画。你能否测算出所需装饰纸的面积？我们解决这个问题，就必须测算这些几何体的侧面积，如何计算这些几何体的侧面积呢？它们的侧面积计算公式之间有怎样的关系呢？
2．直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台
(1)概念
直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱．
正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱．
正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面多边形的中心的棱锥叫做正棱锥，正棱锥的侧棱长相等．
正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台．
(2)性质
直棱柱：每个侧面都是矩形，底面是多边形．
正棱柱：每个侧面都是全等的矩形，底面是正多边行．
正棱锥：侧面是全等的等腰三角形，底面是正多边形，每条侧棱都相等．
正棱台：侧面是全等的等腰梯形，底面是正多边形，每条侧棱都相等．
注：当且仅当正棱锥，正棱台时才有斜高．
3．多面体的平面展开图的概念
一些简单多面体沿着它的某些棱剪开而形成的平面图形叫做该多面体的平面展开图．
平面展开图的面积称为该多面体的表面积，侧面展开图的面积称为该多面体的侧面积．
下面我们就来研究直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台这些简单多面体的展开图问题．
4．简单几何体的侧面积
(1)直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台侧面积
请同学们分别画出一个直四棱柱、正四棱锥、正四棱台的侧面展开图．你能说出它们的侧面积计算公式吗？
把直(正)棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展在一个平面上，侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于直(正)棱柱的底面周长，宽等于直(正)棱柱的高，因此直(正)棱柱的侧面积是．
把正棱锥的侧面沿一条侧棱剪开后展在一个平面上，侧面展开图是由多个全等的等腰三角形组成的图形，若正棱锥的底面周长为，斜高为(侧面等腰三角形底边上的高)，由图可知它的侧面积是．
(证明：设正棱锥底面边长为，则)

与正棱锥的的侧面展开图类似，正棱台的侧面展开图是由多个全等的等腰梯形组成的图形，若正棱台的上、下底面的周长分别为，斜高为(侧面等腰梯形的高)，则其侧面积是．

正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间的关系可用下图表示：

(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积
分别画出一个圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图．
圆柱的侧面展开图是一个矩形，圆锥的侧面展开图是一个扇形，圆台的侧面展开图是一个扇环．注：球的表面不可展开．
类比正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积计算公式，探究圆柱、圆锥、圆台的侧面积计算公式：(公式推导课后看教材)
，，
(为(下)底面周长，为上底面周长，为母线长)，它们之间的关系可用下图表示：
5．例题讲解

例1．已知是圆柱的轴截面(经过圆柱旋转轴的截面)，，，一动点绕圆柱侧面一圈从移动到，求动点经过的最短路程。
分析：将圆柱侧面展开，沿圆柱侧面从移动到，即在侧面展开图中从移动到，显然线段的长就是所求最短路程。
解：将圆柱的侧面展开(如图)，则，，
故动点经过的最短路程为．
思考：(1)若动点绕圆柱侧面两圈从移动到，则结果如何？(2)若动点绕圆柱侧面四圈从移动到，则结果又如何？(3)若为中点，则动点绕圆柱侧面从移动到经过的最短路程又是多少？
分析：绕圆柱侧面两(四)圈可看成把圆柱侧面展开两(四)次．
(1) ．
(2) ．
(3) ．

例2．如图，棱长为的正方体中，求沿着正方体的表面自到的最短路线的长。

分析：自到至少经过两个侧面，则展开含有、的相邻两个面，线段的长即为所求最短路线长．
解：将正方体中含有、的相邻两个面展开，，则自到的最短路线的长为．
例3．如图，长方体中，，，，求沿着长方体的表面自到的最短路线的长。
分析：将长方体相邻两个面展开，
问题化归为比较三个展开图中，线段的长．
解：将长方体相邻两个面展开，比较三个展开图，
(1) (2) (3)

(1)中，(2)中，(3)中，
自到的最短路线的长为．

练习：如图，正三棱锥中，，
，是中点，一动点从沿侧面运动到点，求动点移动的最短路程．()

6．课堂小结
(1)直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的定义及性质
(2)简单几何体的侧面积的计算公式
(3)多面体的平面展开图，及展开图的应用

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