上海市浦东新区高一上期末数学试卷有答案.docx

2016-2017 学年上海市浦东新区高一（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题满分 36 分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得
3 分，否则一律得零分.
1．（3 分）函数 y=a （a＞0 且 a≠1）的图象均过定点
x
．
2．（3 分）请写出“好货不便宜”的等价命题：
．
3．（3 分）若集合 A={x|x≤1}，B={x|x≥a}满足 A∩B={1}，则实数 a=
．
4．（3 分）不等式 2|x﹣1|﹣1＜0 的解集是
5．（3 分）若 f（x+1）=2x﹣1，则 f（1）=
．
．
6．（3 分）不等式
7．（3 分）设函数 f（x）=（x+1）（x+a）为偶函数，则 a=
8．（3 分）已知函数 f（x）= ，g（x）= ，则 f（x）•g（x）=
9．（3 分）设 α：x≤﹣5 或 x≥1，β：2m﹣3≤x≤2m+1，若 α 是 β 的必要条件，求实数 m
的解集为
．
．
．
的取值范围
．
10．（3 分）函数
的值域是
．
11．（3 分）已知 ab＞0，且 a+4b=1，则
12．（3 分）已知函数 f（x ）=
的最小值为
．
是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是
二、选择题（本大题满分 12 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结
论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得 3 分，否则一律得零分.
13．（3 分）函数 y=x 的大致图象是（
）
A．
B．
C
．

D．
14．（3 分）已知 f（x）是 R 上的奇函数，且当 x＞0 时，f（x）=x﹣1，则 x＜0 时 f（x）=
（ ）
A．﹣x﹣1 B．x+1 C．﹣x+1 D．x﹣1
15．（3 分）证券公司提示：股市有风险，入市需谨慎．小强买的股票A 连续 4 个跌停（一个
跌停：比前一天收市价下跌 10%），则至少需要几个涨停，才能不亏损（一个涨停：比前一天
收市价上涨 10%）．（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
16．（3 分）给定实数 x，定义[x]为不大于 x 的最大整数，则下列结论中不正确的是（ ）
A．x﹣[x]≥0
B．x﹣[x]＜1
C．令 f（x）=x﹣[x]，对任意实数 x，f（x+1）=f（x）恒成立
D．令 f（x）=x﹣[x]，对任意实数 x，f（﹣x）=f（x）恒成立
三、解答题（本大题满分 52 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17．（8 分）已知
，求实数 m 的取值范围．
18．（10 分）如图，矩形草坪 AMPN 中，点 C 在对角线 MN 上．CD 垂直于 AN 于点 D，CB 垂直
于 AM 于点 B，|CD|=|AB|=3 米，|AD|=|BC|=2 米，设|DN|=x 米，|BM|=y 米．求这块矩形草坪
AMPN 面积的最小值．

19．（10 分）设 a 是实数，函数 f（x）=a﹣ （x∈R），
（1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求 a 的值．
（2）证明：对于任意 a，f（x）在 R 上为增函数．
20．（12 分）已知函数 f（x）=x ﹣2ax+1．
2
（1）若对任意的实数 x 都有 f（1+x）=f（1﹣x）成立，求实数 a 的值；
（2）若 f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，求实数 a 的取值范围；
（3）当 x∈[﹣1，1]时，求函数 f（x）的最大值．
21．（12 分）在区间 D 上，如果函数 f（x）为减函数，而 xf（x）为增函数，则称 f（x）为
D 上的弱减函数．若 f（x）=
（1）判断 f（x）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；
（2）当 x∈[1，3]时，不等式
恒成立，求实数 a 的取值范围；
（3）若函数 g（x）=f（x）+k|x|﹣1 在[0，3]上有两个不同的零点，求实数 k 的取值范围．

2016-2017 学年上海市浦东新区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题满分 36 分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得
3 分，否则一律得零分.
1．（3 分）函数 y=a （a＞0 且 a≠1）的图象均过定点 （0，1） ．
x
【解答】解：∵a =1，a＞0 且 a≠1，
0
∴函数 y=a （a＞0 且 a≠1）的图象均过定点（0，1），
x
故答案为：（0，1）．
2．（3 分）请写出“好货不便宜”的等价命题： 便宜没好货 ．
【解答】解：“好货不便宜”即“如果货物为好货，则价格不便宜”，
其逆否命题为：“如果价格便宜，则货物不是好货”，
即“便宜没好货”，
故答案为：便宜没好货
3．（3 分）若集合 A={x|x≤1}，B={x|x≥a}满足 A∩B={1}，则实数 a= 1 ．
【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且 A∩B={1}，
∴a=1，
故答案为：1
4．（3 分）不等式 2|x﹣1|﹣1＜0 的解集是
．
【解答】解：①若 x≥1，∴2（x﹣1）﹣1＜0，∴x＜ ；
②若 x＜1，∴2（1﹣x）﹣1＜0，∴x＞ ；
综上 ＜x＜ ．

故答案为： ＜x＜ ．
5．（3 分）若 f（x+1）=2x﹣1，则 f（1）= ﹣1 ．
【解答】解：∵f（x+1）=2x﹣1，
∴f（1）=f（0+1）=2×0﹣1=﹣1．
故答案为：﹣1．
6．（3 分）不等式
的解集为 （﹣∞，2）∪[3，+∞） ．
【解答】解：原不等式等价于（x﹣3）（x﹣2）≥0 且 x﹣2≠0，
所以不等式的解集为（﹣∞，2）∪[3，+∞）；
故答案为：（﹣∞，2）∪[3，+∞）
7．（3 分）设函数 f（x）=（x+1）（x+a）为偶函数，则 a= ﹣1 ．
【解答】解：∵函数为偶函数得 f（1）=f（﹣1）
得：2（1+a）=0
∴a=﹣1．
故答案为：﹣1．
8．（3 分）已知函数 f（x）=
∪（0，+∞） ．
，g（x）=
，g（x）=
，则 f（x）•g（x）= x，x∈（﹣1，0）
【解答】解：∵函数 f（x）=
，
∴f（x）•g（x）=x，x∈（﹣1，0）∪（0，+∞），
故答案为：x，x∈（﹣1，0）∪（0，+∞）．
9．（3 分）设 α：x≤﹣5 或 x≥1，β：2m﹣3≤x≤2m+1，若 α 是 β 的必要条件，求实数 m
的取值范围 m≤﹣3 或 m≥2 ．

【解答】解：α：x≤﹣5 或 x≥1，β：2m﹣3≤x≤2m+1，
若 α 是 β 的必要条件，
则 2m﹣3≥1 或 2m+1≤﹣5，
故 m≥2 或 m≤﹣3，
故答案为：m≥2 或 m≤﹣3．
10．（3 分）函数
的值域是 （0，4] ．
【解答】解：设 t=x ﹣2≥﹣2，
2
∵y=（ ） 为减函数，
t
∴0＜（ ） ≤（ ） =4，
﹣2
故函数
的值域是（0，4]，
故答案为：（0，4]．
11．（3 分）已知 ab＞0，且 a+4b=1，则
【解答】解：∵ab＞0，且 a+4b=1，
的最小值为 9 ．
∴
∴
=（
）（a+4b）=1+4+ + ≥5+2
=9，当且仅当 a= ，b= 时取等号，
的最小值为 9，
故答案为：9．
12．（3 分）已知函数 f（x）=
1，0） ．
【解答】解：由于函数 f（x）=
求得﹣1≤a＜0，

故答案为：[﹣1，0）．
二、选择题（本大题满分 12 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结
论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得 3 分，否则一律得零分.
13．（3 分）函数 y=x 的大致图象是（ ）
A．
B．
C
．
D．
【解答】解：y=f（﹣x）= = =f（x），
∴函数 y=x 为偶函数，
∴图象关于 y 轴对称，故排除 C，D，
∵ ＞1，
∴当 x＞0 时，y=x 的变化是越越快，故排除 B
故选：A
14．（3 分）已知 f（x）是 R 上的奇函数，且当 x＞0 时，f（x）=x﹣1，则 x＜0 时 f（x）=
（ ）
A．﹣x﹣1 B．x+1 C．﹣x+1 D．x﹣1
【解答】解：设 x＜0，则﹣x＞0，
∵当 x＞0 时，f（x）=x﹣1，

∴当 x＜0 时，f（﹣x）=﹣x﹣1，
又∵f（x）是 R 上的奇函数，
∴f（x）=﹣f（﹣x），
∴当 x＜0 时，f（x）=﹣f（﹣x）=x+1，
故选 B．
15．（3 分）证券公司提示：股市有风险，入市需谨慎．小强买的股票A 连续 4 个跌停（一个
跌停：比前一天收市价下跌 10%），则至少需要几个涨停，才能不亏损（一个涨停：比前一天
收市价上涨 10%）．（
）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：设小强买的股票 A 时买入价格为 a，
连续 4 个跌停后价格为 a（1﹣10%） =0.6561a，
4
设至少需要 x 个涨停，才能不亏损，则 0.6564a（1+10%） ≥a，
x
整理得：1.1 ≥1.5235，
x
∵1.1 =1.6105，1.1 =1.4641．
4
5
∴至少需要 5 个涨停，才能不亏损．
故选：C．
16．（3 分）给定实数 x，定义[x]为不大于 x 的最大整数，则下列结论中不正确的是（
A．x﹣[x]≥0
）
B．x﹣[x]＜1
C．令 f（x）=x﹣[x]，对任意实数 x，f（x+1）=f（x）恒成立
D．令 f（x）=x﹣[x]，对任意实数 x，f（﹣x）=f（x）恒成立
【解答】解：在 A 中，∵[x]为不大于 x 的最大整数，∴x﹣[x]≥0，故 A 正确；
在 B 中，∵[x]为不大于 x 的最大整数，∴x﹣[x]＜1，故 B 正确；
在 C 中，∵[x]为不大于 x 的最大整数，f（x）=x﹣[x]，
∴对任意实数 x，f（x+1）=f（x）恒成立，故 C 正确；
在 D 中，∵[x]为不大于 x 的最大整数，f（x）=x﹣[x]，

∴f（﹣3.2）=﹣3.2﹣[﹣3.2]=﹣3.2+4=0.8，f（3.2）=3.2﹣[3.2]=3.2﹣3=0.2，
∴对任意实数 x，f（x+1）=f（x）不成立，故 D 错误．
故选：D．
三、解答题（本大题满分 52 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17．（8 分）已知
，求实数 m 的取值范围．
【解答】解：（1）设函数
函数为 R 上的单调递增函数
，
…（2 分）
得，m +m≤﹣m+3…（2 分）
2
即，m +2m﹣3≤0…（2 分）
2
得，（m﹣1）（m+3）≤0
所以，m 的取值范围为：m∈[﹣3，1]…（2 分）
18．（10 分）如图，矩形草坪 AMPN 中，点 C 在对角线 MN 上．CD 垂直于 AN 于点 D，CB 垂直
于 AM 于点 B，|CD|=|AB|=3 米，|AD|=|BC|=2 米，设|DN|=x 米，|BM|=y 米．求这块矩形草坪
AMPN 面积的最小值．
【解答】解：由题意
…．（2 分）
S =（x+2）（y+3）=xy+3x+2y+6=12+3x+2y…．（5 分）
AMPN
…．（2 分）
当且仅当 3x=2y，即 x=2，y=3 时取得等号．…．（7 分）
面积的最小值为 24 平方米．
…．（8 分）

19．（10 分）设 a 是实数，函数 f（x）=a﹣ （x∈R），
（1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求 a 的值．
（2）证明：对于任意 a，f（x）在 R 上为增函数．
【解答】解：（1）
．
（2）证明：设任意 x ，x ∈R，x ＜x ，
1
1
2
2
则 f（x ）﹣f（x ）=
2
=
=
，
由于指数函数 y=2 在 R 上是增函数，且 x ＜x ，所以
x
即
，
1
2
又由 2 ＞0，得
x
，
，
∴f（x ）﹣f（x ）＜0 即 f（x ）＜f（x ），
1
1
2
2
所以，对于任意 a，f（x）在 R 上为增函数．
20．（12 分）已知函数 f（x）=x ﹣2ax+1．
2
（1）若对任意的实数 x 都有 f（1+x）=f（1﹣x）成立，求实数 a 的值；
（2）若 f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，求实数 a 的取值范围；
（3）当 x∈[﹣1，1]时，求函数 f（x）的最大值．
【解答】解：（1）由对任意的实数 x 都有 f（1+x）=f（1﹣x）成立，
知函数 f（x）=x ﹣2ax+1 的对称轴为 x=a，即 a=1；
2
（2）函数 f（x）=x ﹣2ax+1 的图象的对称轴为直线 x=a，
2
由 f（x）在[a，+∞）上为单调递增函数，
y=f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，得，a≤1；
（3）函数图象开口向上，对称轴 x=a，可得最大值只能在端点处取得．
当 a＜0 时，x=1 时，函数取得最大值为：2﹣2a；
当 a＞0 时，x=﹣1 时，函数取得最大值为：2+2a；
当 a=0 时，x=1 或﹣1 时，函数取得最大值为：2．
21．（12 分）在区间 D 上，如果函数 f（x）为减函数，而 xf（x）为增函数，则称 f（x）为

D 上的弱减函数．若 f（x）=
（1）判断 f（x）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；
（2）当 x∈[1，3]时，不等式
恒成立，求实数 a 的取值范围；
（3）若函数 g（x）=f（x）+k|x|﹣1 在[0，3]上有两个不同的零点，求实数 k 的取值范围．
【解答】解：（1）由初等函数性质知，
在[0，+∞）上单调递减，
而
在[0，+∞）上单调递增，
所以
是[0，+∞）上的弱减函数．
在 x∈[1，3]上恒成立，则
的最小值为 ， 的最大值为 ，
而
∴
在[1，3]单调递增，∴
（3）由题意知方程
在[0，3]上有两个不同根，
①当 x=0 时，上式恒成立；
②当 x∈（0，3]时，则由题意可得方程
根据
只有一解，
，
令
，则 t∈（1，2]，
在 t∈（1，2]上只有一解，所以
方程化为
．

19．（10 分）设 a 是实数，函数 f（x）=a﹣ （x∈R），
（1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求 a 的值．
（2）证明：对于任意 a，f（x）在 R 上为增函数．
【解答】解：（1）
．
（2）证明：设任意 x ，x ∈R，x ＜x ，
1
1
2
2
则 f（x ）﹣f（x ）=
2
=
=
，
由于指数函数 y=2 在 R 上是增函数，且 x ＜x ，所以
x
即
，
1
2
又由 2 ＞0，得
x
，
，
∴f（x ）﹣f（x ）＜0 即 f（x ）＜f（x ），
1
1
2
2
所以，对于任意 a，f（x）在 R 上为增函数．
20．（12 分）已知函数 f（x）=x ﹣2ax+1．
2
（1）若对任意的实数 x 都有 f（1+x）=f（1﹣x）成立，求实数 a 的值；
（2）若 f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，求实数 a 的取值范围；
（3）当 x∈[﹣1，1]时，求函数 f（x）的最大值．
【解答】解：（1）由对任意的实数 x 都有 f（1+x）=f（1﹣x）成立，
知函数 f（x）=x ﹣2ax+1 的对称轴为 x=a，即 a=1；
2
（2）函数 f（x）=x ﹣2ax+1 的图象的对称轴为直线 x=a，
2
由 f（x）在[a，+∞）上为单调递增函数，
y=f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，得，a≤1；
（3）函数图象开口向上，对称轴 x=a，可得最大值只能在端点处取得．
当 a＜0 时，x=1 时，函数取得最大值为：2﹣2a；
当 a＞0 时，x=﹣1 时，函数取得最大值为：2+2a；
当 a=0 时，x=1 或﹣1 时，函数取得最大值为：2．
21．（12 分）在区间 D 上，如果函数 f（x）为减函数，而 xf（x）为增函数，则称 f（x）为

D 上的弱减函数．若 f（x）=
（1）判断 f（x）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；
（2）当 x∈[1，3]时，不等式
恒成立，求实数 a 的取值范围；
（3）若函数 g（x）=f（x）+k|x|﹣1 在[0，3]上有两个不同的零点，求实数 k 的取值范围．
【解答】解：（1）由初等函数性质知，
在[0，+∞）上单调递减，
而
在[0，+∞）上单调递增，
所以
是[0，+∞）上的弱减函数．
在 x∈[1，3]上恒成立，则
的最小值为 ， 的最大值为 ，
而
∴
在[1，3]单调递增，∴
（3）由题意知方程
在[0，3]上有两个不同根，
①当 x=0 时，上式恒成立；
②当 x∈（0，3]时，则由题意可得方程
根据
只有一解，
，
令
，则 t∈（1，2]，
在 t∈（1，2]上只有一解，所以
方程化为
．