高三期中理科试题参考答案及评分标准.doc

高三期中理科试题
1． 2．四 3． 4． 5． 6． 7．
8． 9． 10． 11．
12． 13． 14．
15．解：（1）∵,，，
∴．…………………………………………………………2分
∴，
即，，
∴，………………………………………………………………4分
又，∴.
又 ，∴.…………………………………………………………6分
（2）
…………………10分
∵,∴，.……………………………………12分
∴
∴的取值范围是. ………………………………………14分
16．证明：（1）∵三棱柱的侧棱垂直于底面，
∴面．∴．
∵在三棱柱中，，
∴，．…………………………………………………2分
∵，面，面，
∴面．
∵面，
∴．……………………………………………………………………5分
（2）取的中点，连结，．
C1
A1
M
B1
A
C
N
B
（第16题（2）图）
D
∵点，分别是，的中点，∴，且．
在三棱柱中，是的中点，
∴，且．
∴，且，
∴四边形是平行四边形．
∴．……………………………8分
∵面，面，
∴平面．…………………10分
z
y
x
B
D
C1
A1
M
B1
A
C
N
（第16题（3）图）
解：（3）以点为空间直角坐标系原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题，，，，
，．
设是平面的法向量，则
，即，取，
则是平面的一个法向量．…………………………………12分
由题，面，故是平面的一个法向量．
∴．
由图可知，二面角的余弦值为．………………………………14分
17．解：（1）由可得，，．
因为等差数列的公差，故，
即，解得．………………………………………………3分
所以首项．
所以．………………………………………………………5分
（2）由（1）知，故．
故．…………………………………………8分
所以
．………………………………………11分
从而，即，
解得或．……………………………………………………13分
因为，
所以，即的最小值为．……………………………………………………15分
18．解：（1）据题意可知，．………………………………………3分
所以，，定义域为．…………………………………5分
（2）令，则，．
故，……………………7分
记，．
由可知，二次函数开口向下，对称轴．
① 当时，即时，二次函数在上递增，
在上递减，故当时，，即当时，
；…………………………………………………………10分
② 当时，即时，二次函数在上递增，故
当时，，即当时，．………………………13分
综上所述，当时，全部投资乙种商品万元时，所得总利润最高，最高值为
万元；当时，投资甲种商品万元，乙种商品万元时，所得总利润最高，
最高值为万元；………………………………………………………………15分
19．解：（1）当时，，定义域为．
，令，可得．……………………………………2分
列表：

－
0
＋

单调递减
极小值
单调递增
所以，函数的最小值为．………………………………………4分
（2）① 由题意可知，导函数在上有两个不同的零点，．
即在上有两个不同的零点，．
记，，，
（ⅰ）当时，，在上单调递增，故在
上至多有一个零点，不符题意；………………………………………6分
（ⅱ）当时，令，可得，列表：

＋
0
－

单调递增
极大值
单调递减
所以，当时，取最大值．
要使得在上有两个不同的零点，，
则，
即，，，．…………9分
综上（ⅰ）（ⅱ），实数的取值范围是．………………………10分
② 由题意，
．（*）
由①可知，在上有两个不同的零点，，
即； ①
， ②
将①式两边同乘以得； ③
将②式两边同乘以得； ④
将③式－④式得，
，
代入（*）式，得．
………………………………………………………………………………13分
又，
所以，
即．
将①式＋②式得，．
所以，
即，故，所以．………………16分
20．解：（1）由题意，，，．
∴，即数列为常数数列．………………………………2分
又∵，∴，即．①……………………………3分
∴．②
②①得，，即．
∴数列是首项为，公比为的等比数列，．……………5分
∴，．
∵数列为等差数列，
∴．……………………………………………………………………………7分
（2）由（1）可得，．
∵当时，，
∴数列从第项开始依次递减．………………………………………………8分
假设存在正整数，，（），使得，，成等差数列．
由可得，．（*）
（Ⅰ）当时，若，则，
故，（*）式不成立，所以，即．………10分
设，即，则由数列的通项可知，；
另一方面，由可得，
．
∴，故．
∴存在，，（）使得，，成
等差数列．……………………………………………………………………13分
（Ⅱ）当时，若，则不存在；若，则；若时，，
（*）式不成立．
综上所述，存在正整数或使得，，成等差数
列．…………………………………………………………………………………16分

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