大学物理学 第四版上、下册 上海交通大学物理教研室 课后答案.pdf

习题1-1.已知质点位矢随时间变化的函数形式为r=7?cos cot/+sin 3t 其中Q为常量.求：（1 质点的轨道；（2 速度和速率。解：1 由，二尺（以）53日+$*13,）知x=Rcosoty=R sin cot消去t可得轨道方程 x2+y2=R2dr.2 v-二-coRsincoti+Reos，dtv=-7?sin cot 2+coR cos cot 2=coR1-2.已知质点位矢随时间变化的函数形式为，=4t2，+3+2t j,式中的 单位为m,，的单位为s.求：（1 质点的轨道；（2 从，=0至肝=1秒的位移；（3 ，=0和，=1秒两时刻的速度。解：1 由 r=4t2，+3+2t j 可知x=4t2y=3+2t消去t得轨道方程为：x=y-3 22)”+8ti+2/Ar=vdt=J。(8ti+2j)dt=4i+2j3)v(0)=2j u=8i+2j1-3.已知质点位矢随时间变化的函数形式为，=j+2=，式中的单位为m,/的单位为s.求：(1)任一时刻的速度和加速度；(2)任一时刻的切向加速 度和法向加速度。dr解：1)y=2ti+2/dtdv a 二 2idt2)v=(2t)2+4%=2(t2+1)/at=,出 Jt2+11-4.一升降机以加速度Q上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升 降机的天花板与底板相距为d,求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为1 2必=vor+-4zz7 1 2%h+vGt-gt(1)图 14必=2(3)为解之2dg+Q1-5.一质量为加的小球在高度处以初速度也水平抛出，求:(1)小球的运动方程；(2)小球在落地之前的轨迹方程；(3)落地前瞬时小球的上，,.dt dt dt解：(1)x=vot 式(1)1?y=h gt 式(2)21 9r(t)=voti+(h-gt)j(2)联立式(1)、式(2)得 y=h暨y2V2。(3)l=voi-gtj 而落地所用时间t=J出 V g所以 7=v0i-72ghj M=-gjdt dtv=7Vx+vy=7vo+(-gO2dv=g2t=gy/2gh成-1+3)2%(诏+2g/z)%1-6.路灯距地面的高度为九，一身高为久的人在路灯下以匀速匕沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度V2.证明：设人从0点开始行走，t时刻人影中足的坐标为X1,人影中头的坐标为血，由几何关系可得x2 小x2-X h?而 马二vQt所以，人影中头的运动方程为hy Xy hytx2 二一二-一 v0 h-h?h-h?图1-6人影中头的速度 v2=坐1=dt h-h2%1-7.一质点沿直线运动，其运动方程为x=2+4，-2/(m),在/从0秒到3秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？dx解：y=4-4z 若v=0 解的 t=ls dtAx1=%-/=(2+4-2)-2=2mA%3=匕X (2+4x3 2x32)(2+4 2)=8THAx=+|AX2|=10m1-8.一弹性球直落在一斜面上，下落高度/z=20cm,斜面对水平的倾角。=30,问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人 射角等于反射角)。图1-8X解：小球落地时速度为V。=/丽一建立直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图匕0=%cos 60。x=v0 cos60t+gcos60Z2(1)%。=%sin 60y=sin60/-gsin60Z2(2)第二次落地时 y=0所以?2x=v0 cos60+gcos60O/2=0.8m2 g1-9.地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球 上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为3.4cm/s2,设赤道上 重力加速度为9.80m/s2.解：赤道上的物体仍能保持在地球必须满足g=R?1-10.已知子弹的轨迹为抛物线，初速为V。，并且也与水平面的夹角为夕 试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。解：在顶点处子弹的速度V=Vo cos。，顶点处切向加速度为0。v2(vn cos6)2 cos2 0因此有：g=S-P P g在落地点速度为%gcos6=p=一p geos 61-11.飞机以%=100m/s的速度沿水平直线飞行，在离地面高力=98m时,驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视 线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远？_ 1 9解：设此时飞机距目标水平距禺为x有：x=vQt h=gt联立方程解得：x x 447m 6=arctan-x 77.5h1-12.设将两物体Z和5分别以初速巳和人抛掷出去.也与水平面的夹角为a；人与水平面的夹角为尸，试证明在任何时刻物体3相对物体力的速度是常矢量。解：两个物体在任意时刻的速度为vA=v0 cos ai+(v0 sin a-gt)j%=V。cos+(v0 sin-gt)jAVBA=vB-vA=(v0 cos 均 cos a)i+(v0 sin 分一 v0 sin a)j与时间无关，故3相对物体Z的速度是常矢量。1-13.一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为v0=49.0m/s,而气球以速度v=19.6m/s匀速上升，问气球中的观察者在第 二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？物体在任意时刻的速度表达式为 为=V。-gt故气球中的观察者测得物体的速度Av=Vy-V代入时间t可以得到第二秒末物体速度Av=9.8%第三秒末物体速度 Av=O第四秒末物体速度 Av=-9.8%1-14.质点沿x在轴向运动，加速度。=-雇，左为常数.设从原点出发时速 度为V。，求运动方程x=x).解：-=-kv f dv=-kdt v=v.ektdt J。v J。1-15.跳水运动员自10m跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速，设加速度。二-人2,左=0.4mT.求运动员速度减为入水速度的10%时的入水深度。解：取水面为坐标原点，竖直向下为x轴跳水运动员入水速度V。=J丽=14%-kv2dv dv=v dt dx 1 rx1。_方=-kdxVo v J。x-InlO=5.76m k1-16.一飞行火箭的运动学方程为：x=加+（1 切），其中6是 b与燃料燃烧速率有关的量，为燃气相对火箭的喷射速度。求：（1 火箭飞行速度与时间的关系；（2 火箭的加速度。z/v解：1 v=一=-u ln l-bt dt(2)adv _ ub dt-bt1-17.质点的运动方程为：x=Rcosayt,y=Rsincot,z=必,式中及、h、口为正的常量。求：（1 质点运动的轨道方程；（2 质点的速度大小;3 质点的加速度大小。解：（1 轨道方程为x2+y2=R2z=-cot 这是一条空间螺旋线。在O町平面上的投影为圆心在原点，半径为R的圆，螺距为/、dX 八.2 叭二=-Rcosmcotdtv=Jv；+v；+v；=叱+彳(3)ax=-Reo1 cos(2?/ay=-Reo2 sin cot az=Ga=+Q j=Reo2思考题1-1.质点作曲线运动，其瞬时速度为v,瞬时速率为v,平均速度为；，平均速率为V,则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的?(1)|v|=v,|v|=v；(2)M0V，M=V；(3)M=vJ“Wv；(4)|v|v,|v|v答：(3)1-2.质点的x，关系如图，图中Q,b,。三条线表示三 个速度不同的运动.问它们属于什么类型的运动?哪一个速 度大？哪一个速度小？答:匕i 匕1-3.结合v，图，说明平均加速度和瞬时加速度的几何意义。答：平均加速度表示速度Au在4时间内的平均变化率，它只能粗略地反映 运动速度的变化程度和方向，而瞬时加速度能精确反映质点运动速度的变化及方 向。1-4.运动物体的加速度随时间减小，而速度随时间增加，是可能的吗？答：是可能的。加速度随时间减小，说明速度随时间的变化率减小。两船4和5相距R,分别以速度叱和%匀速直线行驶，它们会不会相碰?若不相碰，求两船相靠最近的距离.图中a和分为已知。答：方法一 如图，以A船为参考系，在该参考系中船A是静止的，而船B 的速度M=一七./是船B相对于船A的速度，从船B作一条平行于/方向的直线BC,它不与 船A相交，这表明两船不会相碰.由A作BC垂线AC,其长度rmm就是两船相靠最近的距离rmm=&sin。作FD/AB,构成直角三角形DEF,故有.八 vR sin B-V,sin asm 0=-在三角形BEF中，由余弦定理可得M=#；+常+2VAVB cos(a+尸)vB sin/3-vA sin amin 2v/+vB+2V/5 cos(a+/)方法二：两船在任一时刻/的位置矢量分别为rA=(vcosa)i+(yBtsina)jrB=(R-vBt cos J3)i+(v5tsin)jr=rB-rA=R-(vB cos/3+vA cos a)ti+(v5 sin/3-vA sin a)tj任一时刻两船的距离为r=1R-(yB cos 13+vA cos+(v5 sin 13 7A sin令皿=0dtvB cos/3+VA COS a(v.cos/3+VA COS a)+(yB sin(3-vA sin a)vB sin/3-vA sin amin /-2“+与+20均 cos(a+/)1-6.若质点限于在平面上运动，试指出符合下列条件的各应是什么样的运 动？/、dr 八 八/、dv 八 du 八/、da 八 d 八(1)二 0，。0；(2)二 0，。0；(3)二 0，二 0dt dt dt dt dt dt答：(1)质点作圆周运动.(2)质点作匀速率曲线运动.(3)质点作抛体运动.1-7.一质点作斜抛运动，用乙代表落地时，.(1)说明下面三个积分的意义：h h hJv。，Jv，jvdr.ooo(2)用4和5代表抛出点和落地点位置，说明下面三个积分的意义:B B Bfdr,j|dr|,jdr.AAAh答：J匕山 表示物体落地时X方向的距离 0?ij vydt表示物体落地时y方向的距离 ohjvdt 表示物体在4时间内走过的几何路程.0BJdr抛出点到落地点的位移 ABj|dr|抛出点到落地点位移的大小 ABdr抛出点到落地点位移的大小 A习题2-1.质量为用的子弹以速度V。水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反 向，大小与速度成正比，比例系数为左，忽略子弹的重力，求：（1 子弹射入沙 土后，速度随时间变化的函数式；（2 子弹进入沙土的最大深度。解：（1 由题意和牛顿第二定律可得：f=-kv=mfdtk dv-t分离变量，可得：-2=上匕 两边同时积分，所以：v=ve加m vdt 2 子弹进入沙土的最大深度也就是v=0的时候子弹的位移，贝U：由工=丝 可推出：vdt=dv,而这个式子两边积分就可以得m vdt k到位移：/ax V山A-与丸=牛0。max J Jv0 k k 2-2.一条质量分布均匀的绳子，质量为M、长度为 J?。L,一端拴在竖直转轴OO上，并以恒定角速度Q在水 On-平面上旋转.设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略 II重力，求距转轴为处绳中的张力7 尸）.”/解：在绳子中距离转轴为r处取一小段绳子，假设其,质量为dm,可知：dm=，分析这dm的绳子的受力情况，因为它做的是L圆周运动，所以我们可列出：dT M=a）2rdm=（D2r-oL距转轴为处绳中的张力T 尸）将提供的是r以外的绳子转动的向心力，所以两边积分：T=弋dT=如一户）2L12-3.已知一质量为他的质点在x轴上运动，质点只受到指向原点的引力作用，引力大小与质点离原点的距离X的平方成反比，即/=-左/、2,左是比例常数.设质点在l=/时的速度为零，求质点在x=/4处的速度的大小。解：由题意和牛顿第二定律可得：f=-=m=m=mv x dt dx dt dx再采取分离变量法可得：-冬dx=mvdv,CA/4 k两边同时取积分，则J所以：v二6k mA2-4.一质量为2kg的质点，在孙平面上运动，受到外力F=4i-24/j(SI)的作用，=0时，它的初速度为%=31+4j(SI),求，=ls时质点的速度及受 到的法向力居.dv解：由题意和牛顿第二定律可得：f=ma=m,代入f与v,并两边积分，f(4i-24r2jM=r mdv,4i-8j=2xv-(3i+4j)J。Jv0v=5i速度是i方向，也就是切向的，所以法向的力是j方向的，则F=-24j2-5.如图，用质量为叫的板车运载之质量为 i：I加2的木箱，车板与箱底间的摩擦系数为，车与，/力/力路面间的滚动摩擦可不计，计算拉车的力厂为多少才能保证木箱不致滑动？2解：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使板车与木箱具有相同的加速度,所以列式：a=Fmsx J)mx+m2 m2 m2可得：尸Y（加1+加2）g2-6.如图所示一倾角为。的斜面放在水 平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦系数 为（tg0 o为使木块相对斜面静止，求斜 面加速度。的范围。解：在斜面具有不同的加速度的时候，木块将分别具有向上和向下滑动的趋势，这就是加速度的两个范围，由题意，可得：（1 当木块具有向下滑动的趋势时（见图a,列式为：pNsinO+Ncos0-mgN sin 0-/LLN COS 0=ma可计算得到：此时的;tan.且1+tan。2 当木快具有向上滑动的趋势时（见图b,列式为：Nsin。+mg=Ncos0可计算得到：此时的出二+g 1 一 tan。所以tan 9 一 tan。l+taneg 1-tangN sin。+juN COS 6 ma32-7.一质量为M、顶角为。的三 角形光滑物体上。放有一质量为m的 物块，如图所示。设各面间的摩擦力 均可忽略不计。试按下列三种方法：(1)用牛顿定理及约束方程；(2)用牛顿定律及运动叠加原理；(3)用 非惯性系中力学定律；求解三角形 物块的加速度心.解：隔离物块和斜面体，画图分析 力，列出方程，发现方程完备性不 够，即未知数比方程数多，关键在y于，M与m的运动有联系的，M沿地面运动，m沿斜面运动，这就是约束条件。取地面作为参考系，则m的运动为:-N sin a=max(1)Y,Ncos a-mg=may(2)M的运动方程为：Nsina=M(2M(3)下面列出约束条件的方程:取M作为参考系，设m在其中的相对加速度为优,在x,y方向的分量分别为与，那么:tan%利用相对运动的公式，am=aM+af 所以：ax=ax-aM*=44a、,a”于是：tan a=-ax即：ax sin a-ay cos a=aM sin a(4)由(1)(2)(3)(4)联立，计算可得：_ 加 sin a cos aAf+msin2 a2-8.圆柱形容器内装有一定量 的液体，若它们一起绕圆柱轴以角速 度匀速转动，试问稳定旋转时液面 的形状如何？解：受力分析如图Nsina=/m 2y(1)Ncos a=zlmg(2)两式相比 tana=二%g dy+C当 =0 时 z=z0所以C=zco cZ=/+z0 稳定旋转时液面是一个抛物面2g由于旋转后成为立体，故方程变为【Z=S7(x2+y2)+Zo】52-9.质量为加2的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦滑动，劈形物质量为加一放置在光滑的水平面上，斜面倾角为e,求释放后两物体的加速度及它们的相互作用力。出解：隔离物块和斜面体，分析力，列出方程，发现方程完备性不够，即未知数比方程数多，关键 在于，mi与m2的运动有联系的，mi沿地面运动，m2沿斜面运动，这就是约束条件。取地面作为参考系，则m2的运动为：一N sin 8=7712ax(1)Y、NcosO-m2g=m2ay(2)mi的运动方程为：NsinB=皿必1(3)下面列出约束条件的方程：取mi作为参考系，设m2在其中的相对加速度为a,在x,y方向的分量分别为Q%与%,那么:tan 6=-利用相对运动的公式，Cl?=%+所以：4=%一%a，y=ay于是：tan。=3=一即：Q%sinS Qy cos。=%sin。(4)由(1)(2)(3)(4)联立，计算可得：_ m2 sin 3cos0 _ mi sin 0cos 3 f _(mx+m2)sin6Q m1+m2 sin2 0+sjn2 Q S a 加+加？sin2gg 6相互作用力N=加acos?m1+m2 sin 02-10.一小环套在光滑细杆上，细杆以倾角。绕竖直轴作匀角 速度转动，角速度为G，求：小环平衡时距杆端点。的距离井.解：根据题意，当小环能平衡时，其运动为绕Z轴的圆周运动,所以可列式：N sin 0=mgN cos 0=mco2rsm3所以，可得：r=-3 tan 9 sin 92-11.设质量为加的带电微粒受到沿x方向的电力耳=S+cx)i,计算粒子 在任一时刻，的速度和位置，假定，=0时，v0=0,%=().其中爪。为与时间无关的常数，m、F、X、，的单位分别为kg、N、m、s.d2 x解：根据题意和牛顿第二定律，可列式：F=S+cx)i=n/r drd?x整理可得二阶微分方程：m-cx-b=0odt令心=J 下面分c为正负再做进一步讨论。m当 c Y 0时,4+刃2、-2 二 o,可得：x=?cos t-3 dt m c c一次求导，得至U：v=-eosin cot7当。AO时，勺刃2%2=o,可得：工 dt m=2（小+）/2c一次求导，得到：v=_?一）2-12.在光滑的水平面上设置一竖直的圆筒，半径为A,一小球紧靠圆筒内壁运动，摩擦系数为，在，=0时，球的速率为V。，求任一时刻球的速率和运动路程。2解：在法向上有 N=m R而 f=卬在切向上有-f=m皿 dt由上面三个式子可得dvv2-=LI-dt Rv=。J%v2 J。RR+M 二”S=dtR二ln(l+R+v0/zZ 思考题2-1.质量为加的小球，放在光滑的木板和光滑的墙壁之间，并 保持平衡，如图所示.设木板和墙壁之间的夹角为。，当a逐渐增大 时，小球对木板的压力将怎样变化？解：假设墙壁对小球的压力为Ni，木板对小球的压力为N2。由受力分析图可知：8N2 sin a=mg所以当所以。增大，小球对木板的压力为N2将减小；同时：N2 cosa=NiNx=mgctga 所以a增大，小球对墙壁的压力M也减小。2-2.质量分别为阳和侬的两滑块/和B通过一轻弹簧水平连结后置于水平 桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为，系统在水平拉力厂作用下匀速运动，如图所示.如突然撤消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的加速度制和匿分别为多少？IVpAAMAAMTl 工解：分别对A,B进行受力分析，由受力分析图可知：F=（加+加2）g F=kx+Rn、gJ kx=pm2g 加1+加1 c所以 Qq=-gBm12-3.如图所示，用一斜向上的力方（与水平成30角），将一 重为G的木块压靠在竖直壁面上，如果不论用怎样大的力尸，都 不能使木块向上滑动，则说明木块与壁面间的静摩擦系数的大 小为多少？解：假设墙壁对木块的压力为N,由受力分析图可知：Fsina-G-jaN N=Feos a整理上式，并且根据题意，如果不论用怎样大的力F,都不能使木块向上滑动,则说明：-F-32-4.质量分别为加和M的滑块4和5,叠放在光滑水 平桌面上，如图所示.，、5间静摩擦系数为s，滑动摩 擦系数为k，系统原处于静止.今有一水平力作用于力上,要使/、5不发生相对滑动，则F应取什么范围？/，解：根据题意，分别对A,B进行受力分析，要使A,B不发生相对滑动,必须使两者具有相同的加速度，所以列式：。=上二也空m+M2-5.如图，物体/、3质量相同，5在光滑水平桌面 ryi n一 上.滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其轴之 基同力死间的摩擦也不计.系统无初速地释放，则物体/下落的加 速度是多少？解：分别对A,B进行受力分析，由受力分析图可知:mxg-T=加 1%Y 2T=m2a2/Z 4则可计算得到：2-6.如图所示，假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下/滑，轨道是光滑的，在从/至。的下滑过程中，下面哪个说法是正确的？(A)它的加速度大小不变，方向永远指向圆心。(B)它的速率均匀增加。(C)它的合外力大小变化，方向永远指向圆心。10(D)它的合外力大小不变。(E)轨道支持力的大小不断增加。在下滑过程中，物体做圆周运动。并且v在增大，所以它既有法向加速度，又有切向加速度，A的说法不对；速率的增加由重力沿切线方向的分力提供，由于切线方向始终在改变，所以 速率增加不均匀；外力有重力和支持力，后者的大小和方向都在变化，所以合力的大小方向也 在变化。C,D的说法都不对。2下滑过程中的。和v都在增大，所以N也在增大，N=mgsin0+m-则E的说法正确。2-7.一小珠可在半径为7?的竖直圆环上无摩擦地滑动，且圆环能以其竖直直 径为轴转动.当圆环以一适当的恒定角速度力转动，小珠偏离圆环转轴而且相对 圆环静止时，小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为多大？解：根据题意，当小珠能相对于圆环平衡时，其运动为绕Z轴的圆周运动，假设 小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为9,可列式：N cos 0=mgNsinS=mco2Rsm0所以可得。s*房2-8.几个不同倾角的光滑斜面，有共同的底边，顶点也在同一 竖直面上(如图所示).为使一物体(视为质点)从斜面上端由静止 滑到下端的时间最短，则斜面的倾角应选(A)60.(B)45.(C)30.(D)15.解：根据题意，假设底边长为s,斜面的倾角为9,可列式：；gsin/2scos。1124sg sin 20当。二45。时，时间最短。2-9.如图所示，小球A用轻弹簧OiA与轻绳02A系住；小球B用轻绳0；B与O；B系住，今剪断02 A绳和O；B绳，在刚剪断的瞬间，A、B球的加速度量值和方向是否相同？解：不同。对于a图，在剪断绳子的瞬间，弹簧的伸长 没有变化，所以弹簧的拉力F不变，A的加 速度应该是由重力和弹簧的拉力提供的合力 T,所以：Fsina=T=maF cos a=mg所以加速度大小为：a=gtna,方向为水平方向。对于b图，在剪断绳子的瞬间，绳子拉力F变化，它将提供物体做圆周运动，的 加速度应该有切向加速度和法向加速度。所以：mg sin a=mat2VT-mg cos a=man=m=0 R所以加速度大小为：a=gsina,方向为与绳垂直的切线方向。2-10.两质量均为根的小球穿在一光滑圆环上，并由一轻绳相连，环竖直固 定放置，在图中位置由静止释放，试问释放瞬间绳上张力为多少？解：在释放瞬间上面的小球作水平运动，下面小球作竖直运动，两者加速度 大小相等，方向互相垂直。T sin 450=ma(1)mg-T sin 450=ma(2)12两式联立消去amg V2mg1=-=-2 sin 45 213习题3-1.如图，一质点在几个力作用下沿半径为K=20m的圆周运动，其中有一 恒力方=0.6iN,求质点从A开始沿逆时针方向经3/4圆周到达3的过程中，力F 所做的功。解：Ar=rB-rA=-20i+20j由做功的定义可知：W=FAr=0.6i(-20i+20j)=-12J3-2.质量为m=0.5kg的质点，在xOy坐标平面内运动，其运动方程为 x=5t2,y=0.5(SI),从t=2s到仁4s这段时间内,外力对质点的功为多少？Ar=r4-r2=(80i+0.5j)-(20i+0.5j)=60ia=dv/dt=d2r/dt2=lOiF=ma=mxlOi=5i由做功的定义可知：W=FAr=5i6Oi=3OOJ33劲度系数为左的轻巧弹簧竖直放置，下端悬一小球，球的质量为利开始 时弹簧为原长而小球恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球能脱离地 面为止，求此过程中外力的功。根据小球是被缓慢提起的，刚脱离地面时所受的力为F=mg,kk=mg可得此时弹簧的伸长量为：&=磐k四 1 6巡 m2由做功的定义可知：kxdx=-kx2=幺J。2 1 0 2k3-4.如图，一质量为机的质点，在半径为H的半球形容器中，由静止开始自 边缘上的A点滑下，到达最低点5时，它对容器的正压力数值为N,求质点自A 滑到5的过程中，摩擦力对其做的功。分析：Wf直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要知道它的末速度的情 况。解：求在B点的速度：N-G=mR可得：v?=g(N G)R1由动能定理：Wf=g(N G)R mgR=g(N 3mg)R3-5.一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为 F=(-52.8x-38.4x2)i,其中F和x单位分别为N和m.(1)计算当将弹簧由匕=0.522m拉伸至=L34m过程中，外力所做之功；(2)此弹力是否为保守力？解：(1)由做功的定义可知：Ff134(52.8x 38.4/)公=26.4(2%:)i2.6(Kx;)J%1 J0.522 =69.2J(2)由计算结果可知，做功与起点和终点的位置有关，与其他因素无关，所以该 弹力为保守力。3-6.一质量为根的物体，在力F=(勿i+初2j)的作用下，由静止开始运动，求在任一时刻才此力所做功的功率为多少。解：要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意：v=f-t=(ati+bt2 j)dt=-(at2i-bt3j)所以功率为：N=b V=+bt2j)(-at2i+-bt3j)=(工a?/+15)m 2 3 m 2 33-7.一质点在三维力场中运动.已知力场的势能函数为Ep=-ax2+bxy+cz.(1)求作用力方；(2)当质点由原点运动到x=3、y=3、z=3位置的过程中，试任选一路径,计算上述力所做的功。其中纥的单位为J,小y、2的单位为m,厂的单位为 p，N.解：(1)由作用力和势能的关系：F=J/(-6+=Q._ bxj_ ck dr dr(2)取一个比较简单的积分路径：rdxi+dyj+dzk,则积分可得：W=J F dr=(lax-by)i-bjq-ck dxi+dyj+dzk)=9a-9b-3c3-8.轻弹簧AB的上端A固定，下端B悬挂质量为用的重物。已知弹簧原长为/。，劲度系数为左，重物在O点达到平衡，此时弹簧伸长了4,如图所示。取x轴向下为正，且坐标原点位于：弹簧原长位置O；力的平衡位置O。若取原点 为重力势能和弹性势能的势能零点，试分别计算重物在 任一位置P时系统的总势能。is解：(1)取弹簧原长位置O为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任 一位置P(坐标设为x)时系统的总势能：Ep=-mgxr+kx,2(2)取力的平衡位置。为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一位置P(坐标设为x)时系统的总势能：Ep=一加gx+力(龙+/)-kx0而加g=kx0所以Ep=-mgx+k(x+x0)2 Ax02=kx 3-9.在密度为夕i的液面上方，悬挂一根长为/,密度为夕2的均匀棒AB,棒的B端刚和液面接触如图所示，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重 芹;力作用下运动，在今 p?p、的条件下，求细棒下落过程中,的最大速度 飞，以及细棒能进入液体的最大深度Ho解：分析可知，棒下落的最大速度是受合力为零的时候，所以：p21sg=Phsg,贝ij。=/。1在下落过程中，利用功能原理：P2slv2-p2sglh=-Pgsydy，J 0所以：vT进入液体的最大深度H为细棒运动的速度为零时：-PiSglh=J：Qigsydy 所以 H=A J3-10.若在近似圆形轨道上运行的卫星受到尘埃的微弱空气阻力f的作用，设阻力与速度的大小成正比，比例系数上为常数，即/=-公，试求质量为根的卫星，开始在离地心为=4H R为地球半径）陨落到地面所需的时间。解：根据题意，假设在离地心“=4A处质点的速度为vi，地面上的速度为V2O提供卫星运动的力为万有引力:V m二r=2在这个过程中阻力的作用时间可通过动量定理求出:fdt-kvdt=mdv通过分离变量取积分，可得力二=立二个ln2J Jv!kv k%k3-11.一链条放置在光滑桌面上，用手揪住一 端，另一端有四分之一长度由桌边下垂，设链条长 为质量为机，试问将链条全部拉上桌面要做多 少功？解：直接考虑垂下的链条的质心位置变化，来求做功，贝W=Ep=mgxl=mgl3-12.起重机用钢丝绳吊运质量为机的物体时以速 率%匀速下降，当起重机突然刹车时，因物体仍有惯性 运动使钢丝绳有微小伸长。设钢丝绳劲度系数为左，求 它伸长多少?所受拉力多大?（不计钢丝绳本身质量）解：当起重机忽然刹车时，物体的动能将转换为钢 丝绳的弹性势能：由工机%2=工日2,可得：2 2分析物体的受力，可得到绳子的拉力为:T=mg+kx mg+4rnkvQ3-13.在光滑水平面上，平放一轻弹簧，弹簧一端固定，另一端连一物体A、A边上再放一物体B,它们质量分别为mA和mB，弹簧劲度系数为左，原长为Z.用力推B,使弹簧压缩与,然后释放。求:A I-(1)当A与B开始分离时，它们的位置和速度；(2)分离之后.A还能往前移动多远？解：(1)当A和B开始分离时，两者具有相同的速度，根据能量守恒，可得(2)分离之后，A的动能又将逐渐的转化为弹性势能，所以:m4v2=kx2，贝ll：xA=2 A 2mA-/A+mBGm m3-14.已知地球对一个质量为根的质点的引力为W二-r(租e，凡为r地球的质量和半径)。(1)若选取无穷远处势能为零，计算地面处的势能；(2)若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能.比较两种情况下的势 能差.解：(1)取无穷远处势能为零，计算地面处的势能为：Ep=dr=-Gmem-dr=-Gmem-Re q r 6(2)若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能为：或=J=J-Gmjn-dr=Gmem-00 ra e两种情况下势能差是完全一样的。3-15.试证明在离地球表面高度为Re)处，质量为冽的质点所具有的 引力势能近似可表示为mgh.解：由万有引力的势能函数值，在离地球表面高度为/z(/zAF所以当它们受到的水平恒力方一样，位移s也一样时，两个功是相等的；当时由于光滑的接触面摩擦力不做功，粗糙的接触面摩擦力做功，所以两个 物体的总功不同，动能的增量就不相同。3-4.按质点动能定理，下列式子：f 2 F dx=-mv1-mvl%2 2 2 11 2 1 2rvdy=mvv mvvJ月 2 乃2%fz2 1 2 1 2rdz=mv7 mv7Jz】z 2 2 2 1是否成立?这三式是否是质点动能定理的三个分量式?试作分析。答：不成立，因为功是标量，不分方向，没有必要这么写。3-5.在劲度系数为的弹簧下，如将质量为根的物体挂上慢慢放下，弹簧伸 长多少?如瞬间挂上让其自由下落弹簧又伸长多少？答：如将质量为根的物体挂上慢慢放下，弹簧伸长为mg=kx,所以&k如瞬间挂上让其自由下落，弹簧伸长应满足能量守恒：mgx=kx所以 2mgk3-6.试根据力场的力矢量分布图判断哪些力场一定是非保守的?图 d、f 为非保守力，因为如果对其取环路积分必定不为零。习题4-1.如图所示的圆锥摆，绳长为/,绳子一端固定，另一端系一质量为根的 质点，以匀角速绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为凡 在质点旋转 一周的过程中，试求：(1)质点所受合外力的冲量/;(2)质点所受张力T的冲量。解：(1)根据冲量定理：Fdt二 d尸=AP其中动量的变化：mv-mv0在本题中，小球转动一周的过程中，速度没有变化，动量的变化就为0,冲量之和也为0,所以本题中质点所受合外力的冲量I为零(2)该质点受的外力有重力和拉力，且两者产生的冲量大小相等，方向相 反。重力产生的冲量=11181=2兀加g/o；所以拉力产生的冲量=2兀加g/co,方向为竖直 向上。4-2.一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度D=4m/s。已知其中一力F 方向恒与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。求：(1)力F在1s到3s间所做的功；(2)其他力在1s到s间所做的功。解：(1)由做功的定义可知：少=J 2 Fdx=(Fvdt=vj Fdt=vx S椭圆=125.61(2)由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的总功为零，所以当该F 做的功为125.6J时，其他的力的功为-125.6J。4-3.质量为m的质点在Oxy平面内运动，运动学方程为 r=a cos coti+b sin cotj,求：(1)质点在任一时刻的动量；(2)从，=0到，=2万的时间内质点受到的冲量。解：(1)根据动量的定义：尸=/tv=冽(GsinG%i+obcosG/j)(2)从，=。到，=2%/。的时间内质点受到的冲量等于它在这段时间内动 量的变化，因为动量没变，所以冲量为零。4-4.质量为M=2.0kg的物体(不考虑体积)，用一根长为/=1.0m的细绳悬挂 在天花板上。今有一质量为加=20g的子弹以Vo=6OOm/s的水平速度射穿物体。刚 射出物体时子弹的速度大小v=30m/s,设穿透时间极短。求：(1)子弹刚穿出时绳中张力的大小；(2)子弹在穿透过程中所受的冲量。解：(1)解：由碰撞过程动量守恒可得：mv0=mv+Mvi代入数据 0.02x600=0.02x30+2%可得：=5.7m/5根据圆周运动的规律：T-G=M-T=Mg+M=84.6N(2)根据冲量定理可得：I=mv-mv()=-0.02x570=-11.47V 54-5.一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子，巳知电子 的动量为1.2xl(T22kg.m尔，中微子的动量为6.4x10-23kg.m/s,两动量方向 彼此垂直。(1)求核反冲动量的大小和方向；(2)已知衰变后原子核的质量为 5.8x10%,求其反冲动能。由碰撞时，动量守恒，分析示意图，可写成分量式：r m1 sin a=m2 cos aYP=m1 cos a+m2 sin a所以尸=1.4x10-22炒加/s 0=7i-a=151.9(2)反冲的动能为：/=S=0.17xl0-i8j2m4-6.一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为厂二 400-4x 1()5/3,子弹从枪口射出时的速率为300m/s。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：(1)子弹走完枪筒全长所用的时间八(2)子弹在枪筒中所受力的冲量/；(3)子弹的质量。解：(1)由尸=400-4xl()53和子弹离开枪口处合力刚好为零，则可以得到：尸二400 4 x 1()5 3=0 算出 t=0.003so(2)由冲量定义：f 0.003 f 0.003/、a 003/=Jo Fdt=(400-4xl05r/3)6/Z=400-2xl052/3|：=0.6Ns(3)由动量定理:/0.003/=Fdt-AP=mv=0.6N s 所以：m=0.6/300=0.002kg4-7.有质量为2加的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为兀。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水 平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。解：在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物 线，它的落地点为人。_ 加 1玉+m2x2&+m2因为加1=加2=掰，X1=2故X”mxc+2mx24m3、2=产4-8.两个质量分别为加i和加2的木块4、B,用一劲度系数为左的轻弹簧连接，放在光滑的水平面上。/紧靠墙。今用力推5块，使弹簧压缩与然后释放。(已知加1=加，加2=3加)求:(1)释放后/、6两滑块速度相等时的瞬时速度的大小；(2)弹簧的最大伸长量。解：分析题意，可知在弹簧由压缩状态回到原长时，是弹簧的弹性势能转换 为B木块的动能，然后B带动A一起运动，此时动量守恒，可得到两者相同的 速度v,并且此时就是弹簧伸长最大的位置，由机械能守恒可算出其量值。1 2 1 7 2/加2 V20=-K加 220=（加1+加 2）Vk 3m那么计算可得：x=X。2 4-9.二质量相同的小球，一个静止，一个以速度证与另一个小球作对心碰撞,求碰撞后两球的速度。(1)假设碰撞是完全非弹性的；(2)假设碰撞是完全弹性 的；(3)假设碰撞的恢复系数e=0.5.解：由碰撞过程动量守恒以及附加条件，可得(1)假设碰撞是完全非弹性的，即两者将以共同的速度前行：mv0=2mv所以：v 二；Vo(2)假设碰撞是完全弹性的，r mvQ=mv1+mv2两球