解一元二次不等式的图象法说课.doc

[本课题曾在2000年参加重庆市职业高中数学教师说课比赛中获得一等奖]
解一元二次不等式的图象法 说课
一、教材分析
1、地位和作用
一元二次不等式的解法是职高数学教学的重点和难点之一。从内容上看，二次不等式、二次方程与二次函数密不可分，该内容涉及的知识点较多且应用广泛。从思想层次上看，它涉及到数形结合、分类转化、方程函数等数学思想，这些内容和思想将在中学数学中产生广泛而深远的影响。新教材在处理上是下了一番功夫的，它将二次不等式的解法分成了两部分——首先在第二章中介绍了一元二次不等式的概念和用因式分解法解一元二次不等式，即利用“同号两数相乘得正，异号两数相乘得负”的原理，将一元二次不等式转化一元一次不等式组加以解决。毫无疑问，这种解法具有极大的局限性和不完整性，这就为在第三章中介绍二次不等式的图象法作了必要的铺垫和准备。新教材的这种安排，既承前启后，又分散了难点，符合认知理论中的渐近性原则。一元二次不等式的解法是以后研究函数的定义域、值域等问题的最要工具，它可渗透到中学数学的几乎所有领域中，对今后的学习起着十分重要的作用。
2、教学目标
（1）知识目标。使学生掌握三种类型的一元二次不等式的图解法，并理解掌握这种解法的理论依据。
（2）能力目标。通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想，培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力，培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质。
（3）德育目标。通过图象法，教师有意识地向学生渗透抽象与具体、联系与转化、特殊与一般、个性与共性等辩证唯物主义的观点和方法，并注意通过设问、追问、反问、讨论、分组竞赛等主动参与教学的活动，培养学生的自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、竞争意识和集体主义精神。
3、教学重点与难点
（1）教学重点是三种类型的一元二次不等式图象解法。
（2）教学难点是二次不等式、二次方程和二次函数三者关系的有机联系。数形结合和分类转化等数学思想的理解和运用。
二、教学方法和手段
1、启发诱导式的教学模式
启发诱导式教学模式是教师在学生已有的知识经验和思考基础上适当引导，使学生获得新知。其主要理论依据是现代认知理论和当代信息理论。其程序是“复习引入，展示目标；启发诱导，画龙点睛；形成检测，反馈回授”。
2、现代化多媒体教学手段
计算机都有很强大的图形处理功能和动画处理功能，可以给学生包括声音、图片、视频等几乎你能想象到的所有媒体。现代信息传播理论已证明：视听等多媒感官刺激大脑，会唤起表象，激起强烈的求知欲和浓厚的学习兴趣，使教学目标得以顺利完成，并收到良好的学习效果。
3、教学工具
演示电脑主机一台（要求运运行WINDOWS95操作系统，内存64兆，显示卡带视频输出），电脑投影屏幕一个。电动投影仪一台；黑板、粉笔、板刷一个。
三、学法指导
“授人以鱼，不如授人以渔”。在教学过程中，不但要传授学生课本知识，还要培养学生主动观察、主动思考、亲自动手、自我发现等学习能力，增强学生的综合素质，从而达到教学的终极目标。教学中，教师创设疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发与点拨，在积极的双边活动中，学生找到了解决疑问的方法，找准解决问题的关键。
四、教学过程
1、复习引入，展示目标
设问一：我们在前一节学习了一元二次函数的图象和性质，你能求出一元二次函数y=x²-x-2与x轴的交点吗？
启发诱导学生x轴上的点的特点是y坐标为零，于是令y=0,即x²-x-2=0求得交点坐标为P1（-1，0），P2（2，0），从而得出结论：
一元二次函数与x轴的交点坐标的横坐标就是其对应的一元二次方程的根——有两个不相等的实数根则有两个不同的交点，有两个相等的实数根则有一个交点，没有实数根则没有交点。
这是揭示二次函数、二次方程和二次不等式三者关系的关键，是突破本课难点的重要环节。
追问1：你们能画出这个二次函数的草图吗？
启发学生二次函数的图象是一条抛物线，其开口方向由二次项系数决定，鼓励学生自已动手画出草图。（然后由多媒体展示出电脑所画出的标准图形，让学生观察和比较）
追问2：你们能在抛物线上找出纵坐标y>o的点吗？
诱导学生纵坐标取正值的点位于x轴的上方，取负值的点位于x轴的下方，从而得出正确答案。（这时用多媒体动画展示结果）
追问3:纵坐标y>0的那些点所对应的横坐标x取哪些数呢？
诱导学生得出结论：y>0 x<-1或x>2, 即x²-x-2>0 x<-1或x>2
接着，以同样的方法引导学生找出y<0的点所对应的x的取值范围。
y<0 -1<x<2 即x²-x-2<0 -1<x<2
(这时，用多媒体动画展示出x的取值范围)
反问：这难道不是解一元二次不等式的一种方法吗？
在以上一系列的设问、追问和反问中水到渠成地揭开本课的课题，学生恍然大悟。此时教师已运用多媒体的教学手段让学生初步领略到图象法解一元二次不等式的基本原理和基本步骤。（这时，多媒体展示出本课课题和教学目标）
2、启发诱导，画龙点睛
在第二章中讲过一元二次不等式的一般形式为ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0,其中a≠0,为了研究的方面，我们这里只研究a>0的情况，若a<0时，只需在不等式的两边同乘以-1，把二次项系数变为正便可。

例一，解下列一元二次不等式：
（1）x²-x-6>0 (2)-x²+3x+10≥0 (3)x²-x-1<0 x1 x2 x

说明：
其一：设计例一的目的是让学生掌握Δ>0这一最常见类型，它又分为两种情况——可用十字相乘法的情况和只能用求根公式法的情况。
其二：通过（1）达到让学生掌握图象法解一元二次不等式的基本原理（数形结合）和基本步骤（求根——画图——找解）；
其三：通过（2）使学生注意二次项系数为负时的处理方法；通过（3）使学生认识到不能用十字相乘法时还可用求根公式法。经过点拔，让学生自己动手找出问题的答案，最后教师用多媒体显示结果并和学生一起归纳出图象法解一元二次不等的基本步骤：求根——画图——找解，并戏称“三步曲”。
其四：引导学生画图时，抓住问题的本质，可以将y轴省略不画，使得图象更利于观察。以此培养学生从纷繁复杂的事物中洞察本质的能力，并体会“去繁就简，去粗取精”这一数学中的简约美。引导学生观察不等式的解集和方程的根之间的关系：“小于取中间，大于取两边”。让学生在了解其来历的基础上真正理解口诀的意义，防止单一地教给学生这一“教条”，避免让学生思维疆化。
例二，解下列一元二次不等式：
（1）2x²-4x+2≥0 (2)-2x²+4x-2>0 x1=x2 x

有例一作为基础，再通过例二解决第二类型：Δ=0时的解法。鼓励学生仍按例一的步骤进行，并启发学生：当方程有两个相等实根时意味着抛物线与x轴只有一个交点，从而引导学生画出正确的图形，同时强调当二次项系数为负时，需首先变为正处理。
变式提问：你们能根据上图找出不等式2x²-4x+2>0， -2x²+4x-2≥0的解集吗？
鼓励学生大胆讨论，仔细观察图象得出正确答案。（通过变式，培养学生思维的灵活性和深刻性，进一步深化图象法的基本要领。）
例三，解下列一元二次不等式
（1）2x²-4x+3>0 (2) 2x²-4x+3≤0
x
通过例三让学生掌握Δ<0类型的解法。诱导学生仍按“求根——画图——找解”三步曲进行，学生很容易在求根时发现十字相乘法行不通，鼓励学生用求根公式法试试，学生很快发现也不行，从而得出Δ<0，方程无根的结论。既然第一步受阻，第二步画图该怎么办呢？新旧知识的碰撞在学生头脑中产生了矛盾和冲突，学生存在有一定程度的焦虑，甚至得得解集为空集的错误结论。这正是教师抓住这一矛盾和焦虑感将本节课推到高潮的时机。这时，鼓励学生按既定步骤进行，并及时启发他们，方程无实数根意味着抛物线与x轴无交点。鼓励学生画出图形，观察结果，看看与自己最初的猜想是否一致。学生很快发现（1）的解集为R，（2）的解集为Φ。这样既培养了学生大胆猜想，勇于探索的勇气，又培养了学生勤于思考，寻根问底的科学精神，从而将图象法解二次不等式推向高潮，使二次不等式的解法更加完备。
3、形成检测，反馈回授
抓住当代学生自尊心强，有争强好胜的特点，把学生分成两组，各做一组题，每题20分，共计100分，两小组搞一个竞赛，看哪一组同学完成的质量最好。老师在多媒体课件中公布答案，让学生交换批改。最后让学生以举手的方式让老师了解各题完成的情况，对完成得好的学生进行表扬，对完成得不太好的同学进行鼓励，根据情况用多媒体课件出示回授题目，请这些同学到黑板上来演算，教师纠正普遍性问题，并对个别问题进行个别指导。通过以上形式，让全体学生都参与教学，充分发挥学生的主体作用和教师主导地位，并以此培养学生的参与意识、集体意识和竞争意识。
4、课后小结
提出问题：这节课你们学到了什么？
教师鼓励学生积极回答，答不完整的没有关系，其它同学补充。以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。并用多媒体把学生的归纳用一张表展示出来，告诉学生不必死记硬背，而是掌握其数形结合的基本原理和基本步骤。

一元二次不等式与一元二次方程及一元二次函数的关系。

一元二次函数
的图象

一元二次方程
的根
有两实根

有两相等
的实根

无实根
一元二次不等式
的解集

R
不等式
的解集

Φ
Φ
解一元二次不等式的步骤：求根——画图——找解
(告诉学生，在非常熟悉的情况下可省略第二步，但应做到“成图在胸”)
注意：当二次系数为负时，首先化为正，因此抛线的开口始终向。
思考：若二次项系数不变为正，画图找解该如何进行？以此培养学生思维的灵活性和批判性。
五、课后作业
B1（P122）其目的是进一步巩固一元二次不等式图解法。
补充：1，m为何值时，二次方程x²+2(m-1)x+3m²-11=0有两个不相等的实数根？
2，m为何值时，二次函数y=mx²-(1-m)x+m与x轴无交点？
通过这两个补充题进一步突破二次函数、二次方程与二次不等式的关系这一教学难点。
选作：解关于x的不等式x²-2ax+1>0
出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间。该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想。
六、板书设计
因采用多媒体教学手段，可以省掉板书这一环节。只在评价回授时请完成得不太好的同学到黑板上来演算和书写。
七、综述
本节课以素质教育的现代教育观为指导思想，采用了启发诱导式教学模式，运用了现代化的多媒体教学手段，注意了学生的主体作用的发挥和教师的主导地位，能较好地抓住重点，突破难点，以知识为载体，最大限度的培养学生的各种能力，相信能取得良好的教学效果。

作者简介：
戴金平，男，30岁，中共党员，本科学历，中学一级教师，数学教研组长，重庆市南岸区职教学会会员。95年毕业于四川师范学院数学系，同年7月任教于重庆市龙门浩集团职业高级中学（国家级重点学校）。在各级报刊上发表论文多篇，教学成绩突出，深受学生喜爱，曾多次受到表彰。2000年被评为重庆市南岸区“骨干教师”。

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