数学专题复习.doc

解直角三角形的应用专题复习
类型1：求线段长、角度A
C
D
B

类型2：测量问题

例1（2012娄底）如图，小红同学用测角仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得树顶A的仰角为30°，在E处测得树顶A的仰角为60°，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，求这棵树AB的高度（结果保留两位有效数字，）

类型3：航行问题
E
600

600

300

750
例2、如图一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥中心紧急通知：指挥中心的北偏西600方向的C地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援，此时C地位于A地北偏西300方向上，A地位于B地北偏西750方向上，A、B两地之间的距离为12海里。求A、C两地间的距离。（精确到0.1海里，）

类型4、工程问题
F

C

D

B

A

E

G
例3、（2007年娄底市中考题）去年夏季山洪暴发，我市好几所学校被山体滑坡推倒教学楼，为防止滑坡，经过地质人员勘测，当坡角不超过45º时，可以确保山体不滑坡．某小学紧挨一座山坡，如图所示，已知AF∥BC，斜坡AB长30米，坡角∠ABC＝60º．改造后斜坡BE的坡度为1：2，求AE是多少米？（精确到0.1米）

五、考题训练
1、（2011年娄底市中考题）喜欢数学的小伟沿笔直的河岸BC进行数学实践活动，如图8，河对岸有一水文站A，小伟在河岸B处测得∠ABD=45°，沿河岸行走300米后到达C 处，在C 处测得∠ACD=30°，求河宽AD。（最后结果精确到1米。）

2．(2010年娄底市中考题)如图，在一个坡角为20º的斜坡上方有一棵树，高为AB，当太阳光线与水平线成52º角时，测得该树在斜坡上的树影BC的长为10m，求树高AB（精确到0.1m）（已知:sin20º≈0.342，cos20º≈0.940，tan20º≈0.364，sin52º≈0.788，cos52º≈0.616，tan52º≈1.280）

3、2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象.　已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是300和450 ，试确定生命所在点C的深度.（精确到0.1米）

4、（2014年娄底市中考题）如图8，海上有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向.求小岛A与小岛B之间的距离。（结果保留整数，参考数据：）

B
A
D
C

应用题专题
近三年娄底市中考考题
1.（8分）（2012娄底）体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如表，全部销售完后共获利润260元．

篮球
排球
进价（元/个）
80
50
售价（元/个）
95
60
(1)篮球和排球各购进多少个？
（2）销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？

2.（8分）（2013•娄底）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元．
（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？
（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？

　3.（8分）（2014•娄底）娄底到长沙的距离约为180km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底去长沙，小刘比张晚出发1小时，最后两车同时到达长沙，已知小轿车的速度是大货车速度的1.5倍．
（1）求小轿车和大货车的速度各是多少？（列方程解答）
（2）当小刘出发时，求小张离长沙还有多远？

三、 中考预测
（一） 二元一次方程组
1. 分配问题
一批货物要运往某地，货主准备租用汽运公司的甲、乙两种货车。已知过去两次租用两种货车的情况如下表所示。现租用该公司4辆甲种货车及6辆乙种货车一次刚好运完这批货。
（1） 这批货物有多少吨？
（2） 如果按每吨运费40元，问货主应支付运费多少元?

第一次
第二次
甲种货车数量（单位：辆）
2
5
乙种货车数量（单位：辆）
3
6
累计运货数量（单位：吨）
15.5
35

2. 利润问题
两件同样的商品，第一件按定价打九折出售可以盈利20%；第二件打六折出售则亏本12元。
（1） 问此商品的定价和进价是多少？
（2） 在这次生意中，老板是赚了还是亏了，为什么？

3. 阶梯收费问题
为鼓励居民节约用电，我市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为二个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时（含180千瓦时）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦以上的部分，实行提高电价． 我市一位同学家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知我市的一位居民今年4、5月份的家庭用电量分别为160和 410千瓦时，请你依据该同学家的缴费情况，计算这位居民4、5月份的电费分别为多少元？

4. 行程问题
甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇。
（1） 甲、乙两人每小时各走多少千米？
（2）.如果两人从两地同时出发，2小时后相距多少千米？

5. 工程问题
一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520 元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元。
问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？

6.配套问题
某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓50个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套。
（1）那么每天安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配套？
（2）根据（1）的分配一天螺栓和螺母各生产了多少个？

7. 和差倍分问题
“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？

8.数字问题
一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．

9. 优化方案问题
某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16t；如果进行精加工，每天可加工6t，但两种加式方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案．
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上全部销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成，你认为选择哪种方案获利最多，为什么？

10.与一元一次不等式综合应用
我市为绿化城区，计划购买甲、乙两种树苗共计500课，甲种树苗每棵50元，乙种树苗每棵80元。
（1）如果购买量种树苗共用28000元，那么甲、乙两种树苗各买了多少棵？
（2）若购买钱数不得超过34000元，应如何选购树苗？

（二） 分式应用题
1.行程问题
甲、乙二同学家住离学校3.6千米的A地。他们同时出发去学校，甲同学出发行至100米时，发现书包忘在A地，便立即返回，取了书包后又立即从A地去学校。这样甲、乙二人恰好同时到校。又知甲比乙每小时多走0.5千米。
（1） 甲、乙两人的速度各是多少？
（2） 乙走到中点时，甲乙相距多远？

2.轮船顺逆水问题
一艘轮船从甲地开往乙地，已知轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时。
（1） 求船在静水中的速度。
（2） 如果甲到乙顺水行驶了2小时，逆水行驶了4小时，问甲乙两地相距多远？

3.工程问题
一项工程，若甲乙两队单独完成甲队比乙队多用5天；若甲乙两队合作6天可以完成。
（1） 求两队单独完成各需多少天？
（2）若这项工程甲乙两队合作6天完成后，应付给他们80000元的报酬，两队商量按各自完成工作量分配这笔钱。问甲乙两队各得多少钱？

4.价格利润问题
某商店第一次用3000元购进某款书包，很快卖完，第二次又用2400元购进该款书包，但这次每个书包的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了20个．
（1） 求第一次每个书包的进价是多少元？
（2）若第二次进货后按80元/个的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的书包全部按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于480元，问最低可打几折？

5. 方案设计问题
在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成．
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？

6. 其它类型
四川省汶川发生大地震后，兰州某中学师生自愿捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，（1）两天共参加捐款的人数是多少？
（2）人均捐款多少元？

（三） 一元二次方程应用题
1.平均增长（降低率）问题
某省为解决农村饮水问题，省财政部门投资10亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2013年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2015年该市计划投资“改水工程”864万元．
（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；
（2）从2013年到2015年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？

2. 面积问题
（1）某大学计划在一块长80m，宽60m的长方形场地的中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为3500(包括观众席等设施），四周为宽度相等的人行道，如右图所示，则人行道的宽为多少米？

2）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．

（3）如图，某小区规划在一个长为40米，宽为26米的矩形场地ABCD上修建如下图所示的同样宽的小路，其余部分种草，若使草坪面积为864平方米，求小路的宽度？

3. 利润问题
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元。为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的减价措施。经调查发现，如果每件衬衫每减价1元，商场平均每天多售出2件.
(1) 若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应减价多少元？
(2) 要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．

4. 创新题
参加会议的人每两人握一次手，共握手45次，问有多少人参加会议？
复习专题——几何证明题
23．（9分）（2013•娄底）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．
（1）求证：AM=AN；
（2）当旋转角α=30°时，四边形
ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．

23．（2012湖南娄底9分）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD．BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．
（1）求证：△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．

23、（2011•娄底）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC1．
（1）线段A1C1的长度是　 　，∠CBA1的度数是　 　．
（2）连接CC1，求证：四边形CBA1C1是平行四边形．

对2015年中考几何证明题的预估：
1．如图所示，已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，l是过A点的直线，BD⊥l交直线l于点D，CE⊥l交直线l于点E．
（1）求证：△ABD≌△CAE．
（2）若BD=9，CE=4，求DE的长？

2、已知，如图，矩形ABCD的对角线AC上有两点E、F，且AE=CF=AC.
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若AB=8，AD=6，求平行四边形BEDF的面积。

3、已知，如图，菱形ABCD中,AC=8cm,BD=6cm，AC、BD相交于点O,DM⊥AB于点M,DN⊥BC于点N.
（1） 求证：DM=DN
（2）若点E是AB上的一个动（不与A、B重合）试在AC上找一点P,使PB+PE值最小，并求出这一最小值。

4、已知，如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=120，点E是AB的中点，且DE⊥AB于点E.
（1） 求证：在平行四边形ABCD是菱形；
（2） 若DE=2，求对角线AC的长。

5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，D是三角形内部一点.将△ACD绕点C逆时针旋转90°得到△BCE.求：
（1）若CD=3cm，求DE的长.
（2）若CD=1，AD=，BD=3，求∠ADC的度数.

6、如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8,将矩形ABCD沿直线EF翻折，使点B与点D重合，点A落在点G处。
（1） 求DE的长？
（2） 在直线EF上找一点P，使得PD+PC最小，幷求出这一最小值。

7、如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆⊙O交BC于点D,连结AD,过点D作DE⊥AC于点E.
(1)求证：△ABD ≌ △ADC；
(2)求证：DE是⊙O的切线。

8、如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，F是BC上一点，连结AF交OB于点E,把△ABE沿AF所在的直线翻折，点B的对应点G刚好落在对角线AC上，连结GE、GF，连结GB交EF于点H.
（1）求证：△OAE ≌ △OBG；
（2）试问：四边形BFGE是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由。