建立弹簧_质量_阻尼系统数学模型的数轴法.pdf

建立弹簧质量阻尼系统数学模型的数轴法文章编号：1006-1355(2012)03-0059-04建立弹簧质量阻尼系统数学模型的数轴法白艳艳，张晓俊(太原理工大学 机械工程学院，太原 030024)摘要：提出一种建立弹簧质量阻尼系统其数学模型的简单方法数轴建模法，即建立与系统平行方向的数轴，把弹簧或阻尼器的实际位移值当做有理数标在数轴上对应位置，然后按照有理数比较大小的结果确定相应质量块所受弹簧力或阻尼力的大小和方向，进而求得系统的微分方程。分别以单自由度系统、两自由度振动系统及多自由度系统为例，阐述了数轴法在建立机械振动系统的数学模型中的应用。结果表明此方法在列写弹簧质量阻尼系统的运动微分方程时非常有效。关键词：振动与波；机械振动；弹簧质量阻尼系统；数学模型；数轴；微分方程中图分类号：TB535；TH113.1；O321文献标识码：ADOI编码：10.3969/j.issn.1006-1355.2012.03.014Numerical-axis Method for Establishing the Mathematical Model ofNumerical-axis Method for Establishing the Mathematical Model ofMass-spring-damper SystemMass-spring-damper SystemBAI Yan-yan,ZHANG Xiao-jun（College of Mechanical Engineering,Taiyuan University of Technology,Taiyuan 030024,China）Abstract:Abstract:A simple method called Numerical-Axis-Method for establishing the mathematical models of the commonmass-spring-damper systems was put forward.In establishing the mathematical model,a numerical-axis parallel to the sys-tem was built,and the displacements of the spring or the damper were translated to the rational numbers which were markedon the numerical-axis.Then the magnitude and the direction of spring force or damping force applied to the correspondingmass was determined by comparing the two rational numbers mutually.The application of this method on establishing themathematical models of mechanical vibration systems was expatiated through a single degree-of-freedom(DOF)system,adouble DOF system and a multi-DOF system.The results show that this method was very efficient in establishing the kine-matic differential equations of the mass-spring-damper systems.Key words:Key words:vibration and wave;mechanical vibration;mass-spring-damper system;mathematical model;numeri-cal-axis;differential equations数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数学表达式1。其中，微分方程是基本的数学模型2。不论是机械的、液压的、电气的或热力学的系统等都可以用微分方程来描述。微分方程的解就是系统在输入作用下的输出响应。所以，建立数学模型是研究系统、预测其动态响应的前提3。事实上，工程科学的共性是对工程问题引入假设或进行简化，运用基础科学的基本原理建立数学模型，揭示工程问题的本收稿日期：2011-05-07；修改日期：2011-08-08作者简介：白艳艳（1973-），女，山西省保德县人，讲师，硕士，博士研究生，目前从事高速切削方面的研究。E-mail:质，并用于指导工程实践4。通常情况下，列写机械振动系统的微分方程都是应用力学中的牛顿定律、质量守恒定律等。弹簧质量阻尼系统是最常见的机械振动系统。分析这种系统时，首先要根据弹簧、阻尼器的物理意义对与其固连的质量块进行受力分析，然后用牛顿第二定律列写质量块对应的合力方程，从而得到系统的数学模型微分方程。在对质量块进行受力分析时一般遵循这样的原则(1)弹簧受到外作用时，在线性范围内，弹簧力的大小与弹簧的形变成正比，弹簧力的方向总是与形变方向相反；(2)阻尼器可以看作是一个活塞液压缸系统，当592012年6月噪声与振动控制第3期活塞和液压缸之间存在相对运动时，主动一方总要受到另一方的阻尼力。对于线性阻尼器，阻尼力的大小与阻尼器端点的相对移动速度成正比。外力作用下，当弹簧或阻尼器的两端点都产生位移时，在确定弹簧形变方向和阻尼器端点相对移动速度时，情况相对有点复杂。针对这一问题，本文提出了一种利用数轴建立弹簧质量阻尼系统的数学模型微分方程的简单方法，称之为数轴建模法。目前，利用数轴可以解决一些化学方面的问题5，6，也可解决一些数学中讨论起来相对繁琐的问题7。本文将数轴用于弹簧质量阻尼系统的数学建模中，收到了很好的效果。1 1数轴建模法弹簧、阻尼器、质量块是组成振动系统的理想元件。在对实际机械结构进行振动分析时，有时可以略去阻尼，系统简化为质量弹簧系统。当物理系统的质量很小时，系统就可近似成阻尼弹簧环节。图1(a)所示即为阻尼弹簧环节，已知弹簧的刚度为k，阻尼器的阻尼系数为c，输入为位移xi，系统在输入位移作用下的输出设为xo。来看一下如何用数轴法分析系统受力情况，进而列写系统的微分方程。图1 弹簧阻尼环节Fig.1 Spring-damper section假设系统的A点处存在一个质量块mA，这样可以通过分析其受力情况求得系统的微分方程。由于弹簧和阻尼器都是垂直放置的，故建立一竖直数轴。先来看数轴的正方向朝下的情况。将弹簧和阻尼器端点的位移顺序地标在数轴上对应位置，如图1(b)所示。弹簧在一端受到输入位移xi作用后，另一端点也有位移xo输出，属于两端都产生位移的情况，按照数轴上xi、xo的位置，质量块mA受到的弹簧力大小为k(xo-xi)，方向规定为与数轴正方向的反方向，朝上；阻尼器一端固定，另一个端点有位移输出，则阻尼器端点相对移动速度为xo，阻尼器施加给mA的阻尼力的大小为cxo，方向朝上，是阻尼器端点实际位移方向的反方向，如图1(c)所示。此种情况下列写mA的受力方程，如式（1）所示-k(xo-xi)-cxo=mAxo（1）系统中 A 点处质量mA很小，可以忽略，故令mA=0，即可得到系统的微分方程为cxo+kxo=kxi（2）如果建立的数轴正方向朝上，还是将弹簧和阻尼器端点的位移顺序地标在数轴上对应位 置，如图1(d)所示。根据数轴上xi、xo的位置关系也可得到对应的质量块mA受到的弹簧力大小为k(xi-xo)，方向朝下，与数轴正方向相反；mA所受的阻尼力大小为cxo，方向朝上，是阻尼器端点实际位移方向的反方向。此时对应的质量块mA的受力情况如图1(e)所示。按此分析列写mA的受力方程，如式（3）所示-k(xi-xo)+cxo=-mAxo（3）显然，式（1）和式（3）是等价的。同样可以求得系统的微分方程为（2）式。因此，数轴正方向的任意假设不影响结果的正确性。如果按照一般的物理方法来列写系统微分方程，也需要取质量块mA为脱离体，对其进行受力分析。弹簧输入位移为xi，输出位移为xo，经过能量损耗后，输出位移必定小于输入位移，故弹簧受压，mA所受弹簧力向下；质量块受到弹簧压力使得阻尼器的活塞杆向下移动，这样活塞杆将受到缸体施加的向上的阻尼力，此阻尼力传到质量块mA，故mA的受力分析简图如图1(e)所示。可见按照数轴法和一般物理方法求得的系统微分方程是一致的。从上例可以看出，用数轴法分析系统受力，列写弹簧质量阻尼系统微分方程时，我们无需考虑弹簧的压缩或拉伸情况，也不用分析阻尼器内部活塞和液压缸的相互运动情况，只需建立一个数轴，规定原点、正方向和单位长度，把弹簧或阻尼器的输入位移变量和输出位移变量当作有理数按照实际顺序标在数轴上对应位置，这样弹簧力、阻尼力的大小分别由以下公式计算：FK=kxk（4）FC=c xc（5）式中k弹簧刚度；c阻尼系数；xk弹簧两端位移差的绝对值；建立弹簧质量阻尼系统数学模型的数轴法xc表示阻尼器端点的相对移动速度。而弹簧力或阻尼力的方向的确定遵循以下原则：当系统中弹簧两端或阻尼器两端都有位移时，弹簧力或阻尼力的方向与所建立的数轴正方向相反；当弹簧或阻尼器只有一端有位移时，弹簧力或阻尼力的方向与弹簧或阻尼器端点的实际位移方向相反。这种通过建立与系统平行方向的数轴，借助数轴分析系统中质量块的受力情况，进而根据牛顿第二定律列写系统微分方程的方法就称之为数轴建模法。在建立弹簧质量阻尼系统数学模型时，这种方法非常有效。当弹簧质量阻尼系统含有两个或两个以上的质量块时，建立系统数学模型时需对每个质量块进行受力分析。由于相邻质量块间存在负载效应，用数轴法对系统进行受力分析时需考虑第一个进行受力分析的质量块如何选取。一般来说，前一个质量块的受力分析总是从相邻的后一个质量块受力分析开始。也就是说，第n个质量块的受力分析要先考虑第n+1个质量块对其的作用。因此，可采取这样一个方法，即：沿着输入量（力或位移）作用方向寻找最后一个质量块，按照数轴法先分析其受力情况，然后逆实际运动方向依次分析其余质量块的受力情况，进而按照牛顿第二定律列出每个质量块的受力方程，然后联立即可得到系统的运动微分方程。2 2数轴法在建立弹簧质量阻尼系统的数学模型中的应用2 2.1 1 单自由度振动系统的数学模型的建立图 2 单自由度系统Fig.2 Single-degree-of-freedom system单自由度弹簧质量阻尼系统是最简单的振动系统，它可用一个2阶常系数微分方程来描述。图2(a)所示为一单自由度系统，外界对振动系统的激励是弹簧左端点的位移xi，设m的输出位移为xo，试列写系统的动力学方程。步骤如下（1）建立一水平数轴，正方向可以任意假设。如图2(b)所示是正方向朝右的数轴。（2）把弹簧k的输入、输出位移变量xi、xo看作有理数标在数轴上对应的位置，并以此为前提做质量块m的受力分析简图。图2(b)所示数轴正方向朝右，弹簧两端都有位移，故质量块m所受弹簧力方向向左，大小为k(xo-xi)；阻尼器只有一端有位移，故m承受的阻尼力大小cxo，阻尼力方向朝左，是阻尼器端点实际位移方向的反向。质量块m的受力情况可以用图2(c)描述。（3）根据受力分析简图列写微分方程。按照图2(c)所示m的受力分析，参考图2(b)所示数轴方向，列写微分方程如（6）式-k(xo-xi)-cxo=m xo（6）从而求得系统的微分方程为m xo+cxo+kxo=kxi（7）2 2.2 2 两自由度振动系统的数学模型的建立需要用两个独立坐标来描述其运动的振动系统成为两自由度系统。两自由度振动系统的运动微分方程可以用两个联立的二阶常系数微分方程来描述。系统如图3(a)所示，输入为xi，输入作用下的输出设为xo，试建立系统的数学模型。图 3 两自由度系统Fig.3 Two-degree-of-freedom system假设在A、B两点处有两个质量块mA和mB，并假设点B的位移为x。需要注意的是，在外力作用下，mA的输出受到后接mB的影响，也就是说mA和mB之间存在负载效应，这时，分析受力时需根据实际运动方向找到最后一个受力的质量块即mB，先分612012年6月噪声与振动控制第3期析其受力情况，再返回来分析质量块mA的受力情况。下面建立数轴分析系统受力，列写系统的微分方程。建立如图3(b)所示正方向朝下的数轴，将输入、输出各位移值xi、xo和x标在数轴上对应位置，则相应的mA和mB的受力分析如图3(c)所示。mB是第一个受力分析的质量块，它受到弹簧力和阻尼力的作用。其中，弹簧力的大小为k2x，方向朝上，是弹簧实际位移方向的反方向；由于与mB相连的阻尼器c2两端点都有位移，阻尼器的相对移动速度为x-xo，故mB所受阻尼力的大小为c2(x-xo)，方向朝上，指向相应数轴正向的反方向。阻尼器c2对mA的作用力与其对mB的作用力大小相等，方向相反。另外mA还受到弹簧k1和阻尼器c1作用。由图3(b)所示的数轴可知弹簧k1给mA的弹簧力大小为k1(xo-xi)，阻尼器c1作用于mA的阻尼力大小为c1(xo-xi)，弹簧力和阻尼力的方向均向上，指向数轴正方向的反向。由此得到系统的动力学方程为式（8）-k2x-c2()x -x=0c2()x -x-c1()x-x 1-k1()x-x1=0(8)2 2.3 3 多自由度振动系统的数学模型的建立运用数轴建模法也可方便的建立多自由度振动系统的数学模型。一个n自由度的振动系统的运动方程是n个2阶相互耦合的的常微分方程3。图 4 三自由度系统Fig.4 Three-degree-of-freedom system.三自由度系统如图4(a)所示，f1(t)、f2(t)、f3(t)是分别施加到质量块m1、m2、m3的激励，x1(t)、x2(t)、x3(t)是相应的输出位移。试求系统的动力学方程。我们来按照数轴法列写系统的动力学方程。需要注意的是，由于质量块m1、m2及m2、m3之间存在负载效应，故需沿着受力方向寻找第一个受力分析的质量块m3，先分析其受力情况，再返回来依次分析m2、m1的受力情况。建立如图4(b)所示的数轴，正方向朝右，把弹簧和阻尼器端点的位移值x1(t)、x2(t)、x3(t)顺序标在数轴上相应位置，则质量块m1、m2、m3的受力情况如图 4(c)所示；最终得到的系统的动力学方程如式（9），是三个互相耦合的2阶常系数微分方程：m1x 1()t|()c1|c2x 1()t-c2x 2()t|()k1|k2x1()t-k2x2()t=f1()tm2x 2()t+()c2+c3x 2()t-c2x 1()t-c3x 3()t+()k2+k3x2()t-k2x1()t-k3x3()t=m3x 3()t+c3x 3()t-c3x 2()t+k3.x3()t-k3x2()t=f3()tf2(t)（9）3 3结 语数轴建模法是一种简单有效的建立弹簧质量阻尼系统的数学模型的方法。它以数轴知识为基础，根据系统实际情况建立假想数轴，借助数轴确定系统中相应质量块所受弹簧力或阻尼力的大小和方向，进而求得系统微分方程。此方法在建立弹簧质量阻尼系统数学模型过程中起到了事半功倍的效果。参考文献：1 廉自生，杨康，周巍.机械控制工程基础M.北京：国防工业出版社，2008.2 朱骥北.机械控制工程基础M.北京：机械工业出版社，1990.3 师汉民，谌刚，吴雅.机械振动系统.武汉：华中理工大学出版社，1992.4 刘成俊，周雄，谭逢友，何高法.机械振动与数学的关系初探J.重庆科技学院学报（自然科学版），2006,8(4),40-43.5 苟如虎，王亚玲，卢新生，等用数轴法判断中心原子的杂化类型J.云南民族大学学报（自然科学版），2009，18(3)：247-249.6 杨雅勇数轴法在一类化学计算题中的应用J.中学生数理化（教与学教研版），2006(8).7 刘亚峰.数轴法解一类绝对值不等式的探究J.数学教学通讯(教师版).