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函数的凹凸性在高考中的应用
崇仁二中 廖国华
教学目的: ①了解函数的凹凸性，掌握增量法解决凹凸曲线问题。
②培养学生探索创新能力，鼓励学生进行研究型学习。
教学重点：掌握增量法解决凹凸曲线问题
教学难点：函数的凹凸性定义及图像特征
教学过程：
一、 课题导入
1. 展示崇仁县第二中学2008届高三第一次月考试题12得分统计表

班级
考试人数
答对人数
答错人数
正确率
高三（1）班（理）
54
19
35
35.1%
高三（11）班（文）
61
12
49
19.7%

2.组织学生现场解答月考试题12并进行得分统计，以引出课题———
题目：　一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图1所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图2中的（　　）．（选自《中学数学教学参考》2001年第1～2合期）的《试题集绵》．

图1

图2


函数凹凸性问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现“高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神．但由于函数曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义，又没有作专门的研究，因此，就多数学生而言，对这类凹凸性曲线问题往往束手无策；而教师的“导数”理解又不能被学生所接受．所以，对这类非常规性问题作一探索，并引导学生去得到一般性的解法，无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养以及在迅速准确解答高考中出现此类的试题都是十分重要的。
二、 新课讲授
1、凹凸函数定义及几何特征
⑴引出凹凸函数的定义：
如图3根据单调函数的图像特征可知：函数与都是增函数。但是与递增方式不同。不同在哪儿？把形如的增长方式的函数称为凹函数，而形如的增长方式的函数称为凸函数。
⑵凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）：
设函数为定义在区间上的函数，若对（a，b）上任意两点、，恒有：
（1），则称为（a，b）上的凹函数；
（2），则称为（a，b）上的凸函数。
⑶凹凸函数的几何特征：

几何特征1（形状特征）

图4（凹函数） 图5（凸函数）
如图，设是凹函数y=曲线上两点，它们对应的横坐标，则，，过点作轴的垂线交函数于A，交于B， 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点与之间的部分位于弦的下方;
凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点与之间的部分位于弦的上方。
简记为：形状凹下凸上。
几何特征2（切线斜率特征）

图6（凹函数） 图7（凸函数）
设是函数y=曲线上两点，函数曲线与之间任一点A处切线的斜率：凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=随x增大而增大；
凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=随x增大而减小；
简记为：斜率凹增凸减。

几何特征3（增量特征）

图8（凹函数） 图9（凸函数）

图10（凹函数） 图11（凸函数）
设函数ｇ（ｘ）为凹函数，函数ｆ（ｘ）为凸函数，其函数图象如图8、9所示，由图10、11可知，当自变量ｘ逐次增加一个单位增量Δｘ时，函数ｇ（ｘ）的相应增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…越来越大；函数ｆ（ｘ）的相应增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…越来越小；
　由此，对ｘ的每一个单位增量Δｘ，函数ｙ的对应增量Δｙｉ（ｉ＝1，2，3，…）
凹函数的增量特征是：Δｙｉ越来越大；
凸函数的增量特征是：Δｙｉ越来越小；
简记为：增量凹大凸小。
弄清了上述凹凸函数及其图象的本质区别和变化的规律，就可准确迅速、简捷明了地解决有关凹凸的曲线问题．
函数凹凸性的应用
应用1 凹凸曲线问题的求法
　下面我们用增量特征（增量法）准确迅速、简捷明了地解决有关凹凸的曲线问题．
题目：　一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图12所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图13中的（　　）．

图12

图13

　解：据四个选项提供的信息（ｈ从Ｏ→Ｈ），我们可将水“流出”设想成“流入”，这样，每当ｈ增加一个单位增量Δｈ时，根据鱼缸形状可知V的变化开始其增量越来越大，但经过中截面后则越来越小，故Ｖ关于ｈ的函数图象是先凹后凸的，因此，选Ｂ．
例1　向高为Ｈ的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深ｈ的函数关系的图象如图14所示，那么水瓶的形状是（图15中的）（　　）．（1998年全国高考题）

图15

图14

　解：因为容器中总的水量（即注水量）V关于ｈ的函数图象是凸的，即每当ｈ增加一个单位增量Δｈ，V的相应增量ΔＶ越来越小．这说明容器的上升的液面越来越小，故选Ｂ．

图16
例2　在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如图16所示．现给出下面说法：
　①前5分钟温度增加的速度越来越快；
　②前5分钟温度增加的速度越来越慢；
　③5分钟以后温度保持匀速增加；
　④5分钟以后温度保持不变．
其中正确的说法是（　　）．
　Ａ．①④　　Ｂ．②④　　Ｃ．②③　　Ｄ．①③
　解：因为温度ｙ关于时间ｔ的图象是先凸后平行直线，即5分钟前每当ｔ增加一个单位增量Δｔ，则ｙ相应的增量Δｙ越来越小，而5分钟后是ｙ关于ｔ的增量保持为0，故选Ｂ．
　注：本题也选自《中学数学教学参考》2001年第1～2合期的《试题集绵》，用了增量法就反成了“看图说画”．
A B

C D
例3（06重庆 理）如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是（ ）

图17
　解：易得弓形AxB的面积的2倍为f(x)=ｘ-sinｘ．由于ｙ１＝ｘ是直线，每当ｘ增加一个单位增量Δｘ，ｙ１的对应增量Δｙ不变；而ｙ２＝sinｘ是正弦曲线，在［0，π］上是凸的，在［π，2π］上是凹的，故每当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，ｙ２对应的增量ｉ（ｉ=1，2，3，…）在［0，π］上越来越小，在［π，2π］上是越来越大，故当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，对应的f(x)的变化，在ｘ∈［0，π］上其增量Δf(x)ｉ（ｉ＝1，2，3，…）越来越大，在ｘ∈［π，2π］上，其增量Δf(x)ｉ则越来越小，故f(x)关于ｘ的函数图象，开始时在［0，π］上是凹的，后来在［π，2π］上是凸的，故选D．
例4（07 江西） 四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（）
图18
A．h2＞h1＞h4 B．h1＞h2＞h3 C．h3＞h2＞h4 D．h2＞h4＞h1
解： 设内空高度为H, 剩余酒的高度关于酒杯中酒的体积函数从左到右依次为V1（h）、V2（h）、V3(h)、V4（h），根据酒杯的形状可知函数V1（h）、V2（h）、V4（h）的图象可为图19
因为函数V1（h）、V2（h）为凹函数, V1（h）当h从Ｏ→H，Δh增加一个单位增量， ΔVｉ（ｉ＝1，2，3，…）增大，则h1> 0.5H =h4；同理V2（h）当h从Ｏ→H，Δh增加一个单位增量，ΔVｉ（ｉ＝1，2，3，…）增大，则h2> 0.5H =h4；所以h1> h4、 h2> h4；
由V1（h）、V2（h）图象可知，h从H→h2，ΔV1（h）>ΔV2（h）,而0.5 V1（h）>ΔV1（h）,ΔV2（h）=0.5 V2（h）,则当ΔV1（h）=0.5 V1（h）时h1> h2，所以答案为A.
应用2 凹凸函数问题的求法
例1、(2005·湖北卷) 在y=2x, y=log2x, y=x2, y=cos2x这四个函数中,当0<x1<x2<1时, 恒成立的函数的个数是(　　 ).
　　A.0　　 B.1　　 C.2　　 D.3
　　分析：运用数形结合思想,考察各函数的图象.注意到对任意x1,x2∈I,且x1<x2,当f(x)总满足 时,函数f(x)在区间I上的图象是“上凸”的,由此否定y=2x,y=x2,y=cos2x，应选B。本小题主要考查函数的凹凸性，试题给出了四个基本初等函数，要求考生根据函数的图像研究函数的性质---凹凸性，对试题中的不等关系式：，既可以利用函数的图像直观的认识，也可以通过代数式的不等关系来理解。考查的重点是结合函数的图像准确理解凹凸的含义.
例2、（05北京卷理13）对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：
① f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)； ② f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)；
③>0； ④.
当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 （②③） 。
本题把对数的运算（①②）、对数函数的单调性（③）、对数函数图像的凹凸性（④）等知识有机的合成为一道多项填空题，若对函数的性质有较清楚的理解便不会有困难，而靠死记硬背的考生就会有问题。

通过以上的例子可以看出在高三复习时，有必要留意以高等数学知识为背景的创新题与信息题，也有必要让学生了解简单高等数学与初等数学结合的知识，这样既可以达到简化运算、避免易错点的目的，还可以突破难点，找到规律性的解题途径，更为高等数学的学习打下良好的基础。同时使学生们认识到知识学的越多、越深入，解决起问题来越有规律性、越简单。从而使他们渴望学习，渴望积累，更进一步的增加分析问题，解决问题的能力。
三、 学生练习
1、如图20所示，半径为2的⊙Ｍ切直线ＡＢ于Ｏ，射线ＯＣ从ＯＡ出发绕着Ｏ点顺时针旋转到ＯＢ．旋转过程中，ＯＣ交⊙Ｍ于Ｐ．记∠ＰＭＯ为ｘ、弓形ＰｎＯ的面积为Ｓ=ｆ（ｘ），那么ｆ（ｘ）的图象是图18中的（　　）．

图20 图21
2、　如图22所示，液体从球形漏斗漏入一圆柱形烧杯中，开始时漏斗中盛满液体，经过3分钟漏完，已知烧杯中液面上升的速度是一个常量，Ｈ是漏斗中液面下落的距离，则Ｈ与下落时间ｔ（分）的函数关系用图象表示可能是图11中的（　　）．
图22 图23
3、（94年高考）已知函，判断与的大小，并加以证明。
4、 在， 四个函数中，当时，使成立的函数是 ( )
A. B . C. D.
解答：
1、解：易得弓形ＰｎＯ的面积为Ｓ=2（ｘ-sinｘ）．由于ｙ１＝ｘ是直线，每当ｘ增加一个单位增量Δｘ，ｙ１的对应增量Δｙ不变；而ｙ２＝sinｘ是正弦曲线，在［0，π］上是凸的，在［π，2π］上是凹的，故每当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，ｙ２对应的增量Δｙｉ（ｉ=1，2，3，…）在［0，π］上越来越小，在［π，2π］上是越来越大，故当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，对应的Ｓ的变化，开始时在ｘ∈［0，π］上其增量ΔＳｉ（ｉ＝1，2，3，…）越来越大，经过ＯＣ⊥ＡＢ后，即在ｘ∈［π，2π］上，则越来越小，故Ｓ关于ｘ的函数图象，开始时在［0，π］上是凹的，后来在［π，2π］上是凸的，故选Ａ．
2、解：同例4分析可知，每当ｔ增加一个单位增量Δｔ，Ｈ的变化开始增量ΔＨ越来越小，经过中截成后越来越大，故Ｈ关于ｔ的函数图象是先凸后凹，因此选Ｄ．
3、解：。∵
∴（当且时仅当x1=x2时取”=”号）
当a>1时,有
∴，即 ≤
当0〈a〈1时,有 ，即 ≥
（当且时仅当x1=x2时取”=”号）