图形中的规律.doc

《图形中的规律》教学设计
霍琳娥

一、教学内容：北师大版数学五年级（上）教材 97～98 页
二、教学目标：
1、经历直观操作、探索的过程、体验发现摆三角形的规律的方法。
2、能在观察活动中，发现点阵中隐含的规律，体会图形与数的联系。
3、结合探索、尝试、交流等活动，发现归纳与概括的能力。
三、教学重难点：
重点：通过小组合作学习，探索图形中的规律
难点：找图形中的规律，并用字母表示出来
四、教具，学具准备：
ppt 课件，小棒，三角形个数与小棒根数的表格
教学过程
一、创设情境，出示目标；
1；谈话导入
今天老师给大家带来了一张图片，你们想看吗？（多媒体播放图片）
图片看完了，刚刚老师发现同学们看得都非常认真，谁能说一说你有什么感
受？
学生可能回答：⑴这些图形都很漂亮。⑵这些图形的排列都按一定的规律。
⑶我感觉有规律排列的图形在我们的周围很多，用途很广泛。 看来，生活中这些有规律的图案能给我们带来美的享受，数学中的图形也能
展示出很多有趣的规律，你们相信吗？这节课就让我们共同来研究图形中的规
律。（板书课题“图形中的规律”）
2；出示目标
①；我通过直观操作、探索的过程、体验发现摆三角形的规律的方法。 = 2
\* GB3 ②；我能在观察活动中，发现点阵中隐含的规律，体会图形与数的联系。
= 3 \* GB3 ③我能结合探索、尝试、交流等活动，发现归纳与概括的能力。
二、围绕目标，逐个突破；
活动一：课件出示：
（一）收集信息，明确问题
摆一个独立的三角形需要几根小棒？ 两个呢？三个呢？10个呢？n个呢？
理解“3n”的意义。
教师引导小结：三角形个数在增加，所用小棒的根数也跟着相应的增加。
认识新的摆法：除了这样独立摆三角形外，还可以这样摆三角形：课件出示
情境图篱笆连续摆的三角形。
同学们，我们在研究图形变化规律的时候，往往要通过实际的动手操作，然
后探究发现，最后再总结规律这样的过程来研究。那么好，就让我们先来摆一摆
吧！请大家拿出小棒，我们一起来摆。请你先摆出一个三角形。
接下来请你按照黑板上图形的摆法，再摆一个三角形。一共用了多少根小
棒？为什么是 5 根，而不是以前的 6 根呢？（指生回答，追问其他同学）同学
们你们发现了吗？正如同学们发现的那样，这样摆放时，中间的这根小棒既是左
边三角形的一条边又是右边三角形的一条边。它是这两个三角形公用的边，人们
把它叫做公共边！
（二）探究解决，互动交流 接着我们继续来摆。请你再多摆一个三角形。增加了几根小棒？再多摆一
个？增加了几根？再多摆一个？增加了几根？你发现了什么？
他发现了一个多么了不起的规律呀！让我们一起来读一读吧！
1、下面我们就在他发现的这个重要规律基础上，去进一步地研究“三角形的
个数”与“小棒根数”之间的关系！好，请同学们拿出研究报告单，根据刚才我们摆
小棒的过程，按照研究报告单为我们提供的研究方法，请你以小组为单位进行研
究！2、大屏幕出示小组探究活动的要求： 动手操作的要求： （1）照着样子，
摆连续的三角形。 （2）从摆第一个三角形开始，就摆一个记录一次，寻找三
角形个数和小棒根数之间的关系。 （3）当发现了规律后就来推算一下摆 10个
三角形需要多少根小棒。 （《图形中的规律》教学设计
霍琳娥

一、教学内容：北师大版数学五年级（上）教材 97～98 页
二、教学目标：
1、经历直观操作、探索的过程、体验发现摆三角形的规律的方法。
2、能在观察活动中，发现点阵中隐含的规律，体会图形与数的联系。
3、结合探索、尝试、交流等活动，发现归纳与概括的能力。
三、教学重难点：
重点：通过小组合作学习，探索图形中的规律
难点：找图形中的规律，并用字母表示出来
四、教具，学具准备：
ppt 课件，小棒，三角形个数与小棒根数的表格
教学过程
一、创设情境，出示目标；
1；谈话导入
今天老师给大家带来了一张图片，你们想看吗？（多媒体播放图片）
图片看完了，刚刚老师发现同学们看得都非常认真，谁能说一说你有什么感
受？
学生可能回答：⑴这些图形都很漂亮。⑵这些图形的排列都按一定的规律。
⑶我感觉有规律排列的图形在我们的周围很多，用途很广泛。 看来，生活中这些有规律的图案能给我们带来美的享受，数学中的图形也能
展示出很多有趣的规律，你们相信吗？这节课就让我们共同来研究图形中的规
律。（板书课题“图形中的规律”）
2；出示目标
①；我通过直观操作、探索的过程、体验发现摆三角形的规律的方法。 = 2
\* GB3 ②；我能在观察活动中，发现点阵中隐含的规律，体会图形与数的联系。
= 3 \* GB3 ③我能结合探索、尝试、交流等活动，发现归纳与概括的能力。
二、围绕目标，逐个突破；
活动一：课件出示：
（一）收集信息，明确问题
摆一个独立的三角形需要几根小棒？ 两个呢？三个呢？10个呢？n个呢？
理解“3n”的意义。
教师引导小结：三角形个数在增加，所用小棒的根数也跟着相应的增加。
认识新的摆法：除了这样独立摆三角形外，还可以这样摆三角形：课件出示
情境图篱笆连续摆的三角形。
同学们，我们在研究图形变化规律的时候，往往要通过实际的动手操作，然
后探究发现，最后再总结规律这样的过程来研究。那么好，就让我们先来摆一摆
吧！请大家拿出小棒，我们一起来摆。请你先摆出一个三角形。
接下来请你按照黑板上图形的摆法，再摆一个三角形。一共用了多少根小
棒？为什么是 5 根，而不是以前的 6 根呢？（指生回答，追问其他同学）同学
们你们发现了吗？正如同学们发现的那样，这样摆放时，中间的这根小棒既是左
边三角形的一条边又是右边三角形的一条边。它是这两个三角形公用的边，人们
把它叫做公共边！
（二）探究解决，互动交流 接着我们继续来摆。请你再多摆一个三角形。增加了几根小棒？再多摆一
个？增加了几根？再多摆一个？增加了几根？你发现了什么？
他发现了一个多么了不起的规律呀！让我们一起来读一读吧！
1、下面我们就在他发现的这个重要规律基础上，去进一步地研究“三角形的
个数”与“小棒根数”之间的关系！好，请同学们拿出研究报告单，根据刚才我们摆
小棒的过程，按照研究报告单为我们提供的研究方法，请你以小组为单位进行研
究！2、大屏幕出示小组探究活动的要求： 动手操作的要求： （1）照着样子，
摆连续的三角形。 （2）从摆第一个三角形开始，就摆一个记录一次，寻找三
角形个数和小棒根数之间的关系。 （3）当发现了规律后就来推算一下摆 10个
三角形需要多少根小棒。 （4）小组合作，一人填表，一人摆一摆，大家观察讨
论。 3、学生以小组为单位
（设计意图：动手实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式，
在观察与操作过程中易于激发学生的兴趣，有利于每一位学生创造性地学习知
识，积累经验，展开思维、发展能力。因此，本课教学我注重以学生小组合作、
动手操作、通过摆小捧的方式在不断地操作、观察、讨论、概括和验证的数学活
动中探索一些简单图形排列的规律。让学生在轻松愉快的教学活动中获取知识，
提高能力。）（学生自学完成表）
（三）成果展示，适时点拔
刚才同学们合作探究得非常热烈，能把你们的研究发现跟大家说说吗？那个
小组愿意来汇报一下，注意先填完表格，重点说清楚三个问题：①你发现了什么
规律？②你是如何发现这个规律的？③为什么会有这样的规律？（学生拿着表单
到前面汇报）[教师适当点拨]
学生可能出现的思路：
（1）3+2×（n-1） 3表示什么？你为什么每次都多加一个 2 ？
(2) 2n+1 1写前面 先 2个、2个地摆摆得不是完整的三角形 先有1根
再去摆和我们前面摆三角形的过程相吻合。
(3) 3n-（n-1）谁和他的发现一样？
说想法 课件演示
（注意“数形结合”思想的渗透，解释每个算式的实际意义。如 2n+1，从图
形的角度看，如果第一个三角形去掉一根小棒，这时每个三角形都转化成2根小
棒围成，那么 n个三角形就有 2n根小棒，加上去掉的 1根即可；从数的角度看，
如 4 个三角形摆成的图形需 9 根小棒，9=3+2+2+2+2，第一个 3 减掉 1 也转化
成了 2，就有 4个 2，再加 1即可。）
（学生主持课堂，展示预习情况，其他学生主动参与课堂学习，可随时提问，
教师要注意引导学生提有价值的数学问题。）
师：以上几种方法，你最喜欢那种？为什么？
（学生交流，引导学生注意算法的优化）
同学们你们真了不起，发现了这么多规律。由于你们的观察角度不同，所以
发现的规律也不相同，但是最终的结果却是相同的。说句实话，在你们汇报之前
老师都没想出这么多方法，因此我深受启发。那么，你是否也像老师一样在倾听
别人的汇报后，学到了更多的思考方法和解题策略呢？那么就让我们运用这些方
法再去研究一个图形。活动活
活动二： 研究点阵中的规律
（一）收集信息，明确问题
今天老师还请来了一位图形朋友——点（老师在黑板上画点），看到这个点，
你能马上想到哪个数字？（1）
早在 2000 多年前，古希腊的数学家们就是从这样一个小小的点开始研究，
发现了由许多个这样的点组成的图形中的规律，还给这些图形取了一个好听的名
字，叫点阵。
（二）探究解决，互动交流
1、认识“点阵”。 （1）出示有序排列的四个点阵，引导学生观察并思考：
下面四个点子图中各有几个点？在排列上有什么特点？
（ 四个点阵按 1、4、9、16的顺序排列）
（2）你能不能尝试画出第五个图形？
学生独立思考并在小组内交流画法。（25个点）
2、探究规律。
（1）大家都能用数字来表示各个点阵中点的个数，能不能尝试用算式来表
示点阵中点的个数，从中发现一些隐藏的规律？（小组内交流）
（2）展示：第一个——1×1=1
第二个——2×2=4
第三个——3×3=9
第四个——4×4=9
第五个——5×5=25
小结：每个点阵的点子数可以看作是相同的数字相乘。
（3）其实通过图形来研究数的形式是多种多样的。请同学们仔细观察点阵
中点的划分方法，你能发现什么规律？
（出示第五个点阵图，多媒体课件分别按照 1个点、3个点、5个点……的
递加规律演示）
（4）交流总结：
1 =1
1+3 =4
1+3+5 =9
1+3+5+7 =16 1+3+5+7+9 =25
小结：按照划分方法这个点阵的点子数可以看作是连续奇数的和。
（5）你还有哪些划分的方法？尝试说明理由。
（学生自由讨论交流）
（1） 课件依次出示前四个正方形点阵图，并逐步引导学生想像、猜测：下
一个点阵图会是什么样子呢？
（2） 除了能说出各个点阵的点数之外，仔细观察点阵图：还有什么其它的
发现？用算式来表示这组点阵的规律。学生活动：独立画出第五个 5×5 的点阵
图。
（随着画面不断的闪烁，逐一显示不同的点阵图的算式规律，开拓思路。）
（三）成果展示，适时点拔
（3） 照这样的规律继续画下去，第 9 个点阵的点数如何用算式来表示？
第 100 个呢？第 n 个呢？结合发现的规律，引导学生逐步完善自己的想法，建
立总结正方形点阵规律的模型---n×n。
（4）每个正方形点阵的点子总数与什么有关系？在小组内讨论交流。每个
正方形点阵的点子总数可以看作是一个相同数字相乘的积，这个数字与点阵的序
号有关，与每个正方形点阵每排的点子数也有关系。
2、同一个点阵的不同划分中的规律。
（1） 请大家仔细观察第五个正方形点阵中点的划分方法，你能发现什么规
律？（不同的颜色和折线，使学生一目了然地观察到点阵中又一个规律。使教学
过程更富生动性、吸引力，而且把难以理解的问题清晰地呈现在学生面前。同一
个点阵，划分的方法不同，所呈现的规律也就不同。）
（2）我们把这个5×5的正方形点阵用折线进行了划分，猜猜还有哪些不同
的划分的方法？（用横线划分，用竖线划分，用斜线划分）
（四）、拓展练习，巩固提高 1、 = 1 \* GB3 ①笑笑接着摆下去，一共用了 37根小棒，你知道她摆了多
少个三角形吗？
= 2 \* GB3 ②
学生独立审题思考， 全班交流不同解决方法。
师：以小组为单位，请选择一题进行研究，完成练习纸上的问题，并准备交
流。
2，课件出示练习：
请学生寻找三角形点阵的规律，先画，再写出算式。适时引入划分法，让他
们说说三角形点阵有没有其它的划分方法。如果三角形点阵中的最后一排有 A
个点，怎样求三角形的点数？ 板书：1+2+3+„„+A （让学生用划分法将点阵图
进行划分，并根据学生的课堂生成情况灵活的出示“折线划分法”，使学生体会到
通过点阵研究数的形式可以是多样的）。
三，回扣目标，小结提高
学生依据目标谈在今天的实践活动中你有哪些收获？
板书设计：
板书：
图形中的规律

3+3—1=5 1+2=3
3+3+3-2=7 1+2+2=5
4个 3+2+2+2=9 3+3+3+3-3=9 1+2+2+2=7
3+2×3=9 3×4-9=9 1+2+2+2+2=9
1+2×4=9 10个 3+2×9=21 3×10-9=21 1+2×10=21
20个 3+2×19=41 3×20-19=41 1+2×19=41

n个 3+2（n-1） 3n-（n-1） 1+2n

点阵中的规律
第一个——1×1=1
第二个——2×2=4
第三个——3×3=9
第四个——4×4=9

推荐理由：
该节课教学目标目标清楚明白、具体,易激发兴趣,引导自主探究、合作交流、
练习设计体现知识的综合运用,形式多样,分量与难度适中,学法指导得当。教学设
计完整细腻，看得出下了很大的功夫。教学重点把握准确，注重了学生的自主
学习，把学习的主动权交了学生。 4）小组合作，一人填表，一人摆一摆，大家观察讨
论。 3、学生以小组为单位
（设计意图：动手实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式，
在观察与操作过程中易于激发学生的兴趣，有利于每一位学生创造性地学习知
识，积累经验，展开思维、发展能力。因此，本课教学我注重以学生小组合作、
动手操作、通过摆小捧的方式在不断地操作、观察、讨论、概括和验证的数学活
动中探索一些简单图形排列的规律。让学生在轻松愉快的教学活动中获取知识，
提高能力。）（学生自学完成表）
（三）成果展示，适时点拔
刚才同学们合作探究得非常热烈，能把你们的研究发现跟大家说说吗？那个
小组愿意来汇报一下，注意先填完表格，重点说清楚三个问题：①你发现了什么
规律？②你是如何发现这个规律的？③为什么会有这样的规律？（学生拿着表单
到前面汇报）[教师适当点拨]
学生可能出现的思路：
（1）3+2×（n-1） 3表示什么？你为什么每次都多加一个 2 ？
(2) 2n+1 1写前面 先 2个、2个地摆摆得不是完整的三角形 先有1根
再去摆和我们前面摆三角形的过程相吻合。
(3) 3n-（n-1）谁和他的发现一样？
说想法 课件演示
（注意“数形结合”思想的渗透，解释每个算式的实际意义。如 2n+1，从图
形的角度看，如果第一个三角形去掉一根小棒，这时每个三角形都转化成2根小
棒围成，那么 n个三角形就有 2n根小棒，加上去掉的 1根即可；从数的角度看，
如 4 个三角形摆成的图形需 9 根小棒，9=3+2+2+2+2，第一个 3 减掉 1 也转化
成了 2，就有 4个 2，再加 1即可。）
（学生主持课堂，展示预习情况，其他学生主动参与课堂学习，可随时提问，
教师要注意引导学生提有价值的数学问题。）
师：以上几种方法，你最喜欢那种？为什么？
（学生交流，引导学生注意算法的优化）
同学们你们真了不起，发现了这么多规律。由于你们的观察角度不同，所以
发现的规律也不相同，但是最终的结果却是相同的。说句实话，在你们汇报之前
老师都没想出这么多方法，因此我深受启发。那么，你是否也像老师一样在倾听
别人的汇报后，学到了更多的思考方法和解题策略呢？那么就让我们运用这些方
法再去研究一个图形。活动活
活动二： 研究点阵中的规律
（一）收集信息，明确问题
今天老师还请来了一位图形朋友——点（老师在黑板上画点），看到这个点，
你能马上想到哪个数字？（1）
早在 2000 多年前，古希腊的数学家们就是从这样一个小小的点开始研究，
发现了由许多个这样的点组成的图形中的规律，还给这些图形取了一个好听的名
字，叫点阵。
（二）探究解决，互动交流
1、认识“点阵”。 （1）出示有序排列的四个点阵，引导学生观察并思考：
下面四个点子图中各有几个点？在排列上有什么特点？
（ 四个点阵按 1、4、9、16的顺序排列）
（2）你能不能尝试画出第五个图形？
学生独立思考并在小组内交流画法。（25个点）
2、探究规律。
（1）大家都能用数字来表示各个点阵中点的个数，能不能尝试用算式来表
示点阵中点的个数，从中发现一些隐藏的规律？（小组内交流）
（2）展示：第一个——1×1=1
第二个——2×2=4
第三个——3×3=9
第四个——4×4=9
第五个——5×5=25
小结：每个点阵的点子数可以看作是相同的数字相乘。
（3）其实通过图形来研究数的形式是多种多样的。请同学们仔细观察点阵
中点的划分方法，你能发现什么规律？
（出示第五个点阵图，多媒体课件分别按照 1个点、3个点、5个点……的
递加规律演示）
（4）交流总结：
1 =1
1+3 =4
1+3+5 =9
1+3+5+7 =16 1+3+5+7+9 =25
小结：按照划分方法这个点阵的点子数可以看作是连续奇数的和。
（5）你还有哪些划分的方法？尝试说明理由。
（学生自由讨论交流）
（1） 课件依次出示前四个正方形点阵图，并逐步引导学生想像、猜测：下
一个点阵图会是什么样子呢？
（2） 除了能说出各个点阵的点数之外，仔细观察点阵图：还有什么其它的
发现？用算式来表示这组点阵的规律。学生活动：独立画出第五个 5×5 的点阵
图。
（随着画面不断的闪烁，逐一显示不同的点阵图的算式规律，开拓思路。）
（三）成果展示，适时点拔
（3） 照这样的规律继续画下去，第 9 个点阵的点数如何用算式来表示？
第 100 个呢？第 n 个呢？结合发现的规律，引导学生逐步完善自己的想法，建
立总结正方形点阵规律的模型---n×n。
（4）每个正方形点阵的点子总数与什么有关系？在小组内讨论交流。每个
正方形点阵的点子总数可以看作是一个相同数字相乘的积，这个数字与点阵的序
号有关，与每个正方形点阵每排的点子数也有关系。
2、同一个点阵的不同划分中的规律。
（1） 请大家仔细观察第五个正方形点阵中点的划分方法，你能发现什么规
律？（不同的颜色和折线，使学生一目了然地观察到点阵中又一个规律。使教学
过程更富生动性、吸引力，而且把难以理解的问题清晰地呈现在学生面前。同一
个点阵，划分的方法不同，所呈现的规律也就不同。）
（2）我们把这个5×5的正方形点阵用折线进行了划分，猜猜还有哪些不同
的划分的方法？（用横线划分，用竖线划分，用斜线划分）
（四）、拓展练习，巩固提高 1、 = 1 \* GB3 ①笑笑接着摆下去，一共用了 37根小棒，你知道她摆了多
少个三角形吗？
= 2 \* GB3 ②
学生独立审题思考， 全班交流不同解决方法。
师：以小组为单位，请选择一题进行研究，完成练习纸上的问题，并准备交
流。
2，课件出示练习：
请学生寻找三角形点阵的规律，先画，再写出算式。适时引入划分法，让他
们说说三角形点阵有没有其它的划分方法。如果三角形点阵中的最后一排有 A
个点，怎样求三角形的点数？ 板书：1+2+3+„„+A （让学生用划分法将点阵图
进行划分，并根据学生的课堂生成情况灵活的出示“折线划分法”，使学生体会到
通过点阵研究数的形式可以是多样的）。
三，回扣目标，小结提高
学生依据目标谈在今天的实践活动中你有哪些收获？
板书设计：
板书：
图形中的规律

3+3—1=5 1+2=3
3+3+3-2=7 1+2+2=5
4个 3+2+2+2=9 3+3+3+3-3=9 1+2+2+2=7
3+2×3=9 3×4-9=9 1+2+2+2+2=9
1+2×4=9 10个 3+2×9=21 3×10-9=21 1+2×10=21
20个 3+2×19=41 3×20-19=41 1+2×19=41

n个 3+2（n-1） 3n-（n-1） 1+2n

点阵中的规律
第一个——1×1=1
第二个——2×2=4
第三个——3×3=9
第四个——4×4=9

推荐理由：
该节课教学目标目标清楚明白、具体,易激发兴趣,引导自主探究、合作交流、
练习设计体现知识的综合运用,形式多样,分量与难度适中,学法指导得当。教学设
计完整细腻，看得出下了很大的功夫。教学重点把握准确，注重了学生的自主
学习，把学习的主动权交了学生。