几何概型教学设计.docx

《几何概型》教学设计
【教材依据】本课是北师大版高中数学必修3第三章概率第3节模拟方法---概率的应用第1课时
一、设计思路
1.指导思想：有特殊到一般，由具体到抽象，教师引导，学生理解为主，形成概念和方法，逐步发展到学生自主分析问题、解决问题，体现学生学习的主体性，让学生获得成功体验.
（1）教材分析：几何概型是在前面古典概型基础上另一类等可能性概率模型，是高中数学中与现实生活联系非常密切的一部分，历年的高考中必有一道小题出现.通过解决具体问题，让学生体会数学知识与现实世界的联系，可强学生严谨的思维习惯.教材中将几何概型放在了《模拟方法---概率的应用》这一节中，究其原因是因为几何概型的概率计算公式的推导就是利用了模拟的方法得到的，而模拟方法是概率求解应用的很重要方法.几何概型是一个比较抽象的数学概念，学生理解起来有一定难度，而且公式的适用范围较广，解题步骤难以书写，这为本节课的教学带来一定的难度.
（2）学情分析：学生在前面学习了古典概型，已经对古典概型非常熟悉，这对学习几何概型带来了好处，可以类比学习.只是几何概型的概率公式较为灵活，相对于古典概型的概率公式较抽象，不易理解.书写解题步骤也不方便，课本中没有一道例题可以借鉴，在课堂上既要理解方法，又要注意书写步骤，给学生的学习增加了负担.所以教师应该指导简明扼要地书写解题步骤，不要太刻板地要求滴水不漏、步步到位.
（3）设计理念：由具体的问题抽象出重点概念和公式，在问题的思考中逐步加深对概念的理解，拓展公式的适用范围，是本节课的一个显著特征.为了留给学生有一定的思考机会和表现机会，在拓展公式的适用范围时，可以让学生说出对问题的理解，其他教学环节也应该充分调动学生的积极性，师生共同探讨，练习环节要留给学生独立思考的时间.
2.教学目标：
（1）（知识能力方面）正确理解几何概型的概念，能够判定一个试验是否是几何概型.理解几何概型的概率公式：
，
并能利用该公式灵活地处理几何概型的概率求解问题.
（2）（方法途径方面）通过具体的问题抽象概括出几何概型的概念，并用类比推理的方法得到概率计算公式，并在具体的问题中巩固深化.
（3）（情感评价方面）让学生认识到几何概型也是一种很重要的概率模型，是一种现实生活中常见的概率模型，体会几何概型学习的价值，同时要善于抽象概括，灵活地应用公式.
（4）（现代教学手段应用）应用微课教学、PPT课件展示
3.教学重难点：重点是几何概型的概念、概率计算公式及应用，难点是几何概型的概率计算公式的推导.
4.教学方法：讲授法、练习法、讨论法
二、教学准备:微课课前播放、导学案课前发放、课堂教学PPT制作
三、教学过程：
（一）情境引入
问题：思考下列两个试验的可能结果有何特点，它们是不是古典概型？
1. 一个人到单位的时间是8:00至9:00之间的任何一个时刻；
2.往如图所示的正方形区域内撒芝麻，芝麻落在阴影区域.
教师提出问题让学生思考：（1）这两个试验的所有可能结果有多少个？每一个结果出现的概率是否相等？（2）这个试验是古典概型吗？学生思考后得到：两个试验出现的可能结果有无限多个，每个结果出现的可能性是相等的.这两个试验都不是古典概型.
（二）新授
1.几何概型的概念
教师：我们把具有上面两个例子中特点的试验称为几何概型，请同学们结合古典概型的定义思考如何给几何概型定义.
学生：如果一个试验满足以下两个特征：（1）实验的所有可能结果（基本事件）有无限多个，每次试验只出现其中一个结果；（2）每个试验结果(基本事件)出现的可能性相同.那么这样的随机试验就称为几何概型.
教师：ppt展示几何概型的定义.
2.几何概型的概率计算
教师：对于几何概型，如何求试验中某事件所发生的概率呢？请看下列三个问题：
（1）向如图1所示的正方形区域内随机地撒一粒芝麻，芝麻落在阴影区域内的概率是多少？
（2）如图2所示，正方形的边长为1，阴影部分是圆心角为90o的扇形，向该正方形区域内随机地投掷一个点M，点M落在扇形区域的概率是多少？
（3）如图3，向平面区域G内随机地投掷点M，点M落在子区域G1内的概率是多少？
学生：（1）因为阴影正方形的面积是大正方形面积的，所以芝麻落在阴影区域的概率是.
（2）需要算出扇形的面积S1=和正方形的面积S=1，点M落在扇形内的概率.
（3）点M落在区域G1内的概率

教师：向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点M，子区域，记A=“点M落在G1”，则

拓展：如果G是空间中或直线上的有限区域， ，则P(A)等于什么？
问题1：在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放在显微镜下观察，求发现草履虫的概率.
问题2：取一根长为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不少于1m的概率有多大？
教法设计：留给学生思考，让学生展示他的思路,以此调动学生的积极性,同时也是对教学效果进行反馈.
解题思路：
（1）草履虫看做一个点，在500ml的空间中随机游动，停在每一个位置的可能性是相等的，所以该试验是几何概型，求2ml水中发现草履虫的概率就相当于草履虫落在200ml的子空间的概率，这个概率应该等于子空间的体积除以总空间的体积，即2/500=0.004.
（2）由于剪断位置可以在绳子的任意位置，每一个位置是等可能的，因此在任意位置剪断绳子这个试验是几何概型.所有剪断位置组成的区域长度是3米，记剪得两段长不少于1米为事件A，符合事件A的剪断位置组成的区域长度是3-1-1=1米，所以，P(A)=.
教师概括：从上面两个例题中可以看见，如果G是空间中或直线上的有限区域， ，则P(A)= ，由于G1是满足事件A的可能结果构成的区域，而G是试验的所有可能结果构成的区域，因此几何概型的概率计算公式可以统一为.
（三）例题：
已知地铁列车每10min一班，在车站停1min,求乘客到达站台立即上车的概率.
解：该试验是几何概型，实验的所有结果构成的区域长度为10min,的区域长度为1min,记A=“乘客到达站台立即上车”，则P(A)=.
总结利用几何概型的概率计算公式解决简单问题的步骤：
（1）利用几何概型的定义判断该试验是几何概型；
（2）确定实验的所有结果构成的区域测度；
（3）用字母标记所求事件，确定所求事件包含的结果组成的区域测度；
（4）套用公式得到所求事件概率.
简言之：一定(型)、二求（两个区域测度）、三相除.
（四）练习
1.

2.四边形ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到点O的距离大于1的概率为（　）

3. 某同学在早上7：00-7：30任意时刻到达学校，学校7：30开始上课，则他等待上课不多于10分钟的概率是_______.
4. 在棱长为a的正方体ABCD-ABCD内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率是（ ）

（五）课堂小结
本节课我们学习了几何概型的概念及概率计算公式，能利用公式解决简单的几何概型问题.
1.几何概型的随机试验满足哪两个特征？
（1）试验的所有可能结果（基本事件）有无限多个，每次试验只出现其中一个结果；
（2）每个试验结果(基本事件)出现的可能性相同.
2. 几何概型的概率计算公式是什么？

3.利用几何概型的概率计算公式解决简单问题的步骤是什么？
“一定型，二求（两个区域测度），三相除”
（六）课外作业
1.（面积型几何概型）
（1）如图为一半径为2的扇形（其中扇形圆心角为90o）,在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为（  ）

（2）在面积为S的ABC的边AB上任取一点P，则PBC的面积大于的概率是（ ）

2.（长度型几何概型）
（3）设m在[0,10]内随机地取值，则方程4x2+4mx+m+6=0有实根的概率是（ ）

（4）已知直线y=x+b,b[-2,3],则直线在y轴上的截距大于1的概率是（ ）

3.（体积型几何概型）
（5）已知一个球内切于棱长为2的正方体，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为________.
四、教学反思
本节课是一节新授课，但是所教学的内容在教材中体现的不是很完整，比如几何概型的定义和相应的例题，这给本节课的教学带来一些负面影响.因此教学中可以准备一节课前微课，利用微课促进学生对概念和公式的理解.本节课是一节较为抽象的课，要求学生能灵活地思维，因此教学中不应该苛求正确的书写步骤，而应把学生的思维培养放到第一步.本节课涉及的几何概型主要有三种：面积型、长度型、体积型，不要再增加其他型.关于时间长度的几何概型问题也可以研究，但是要简单易懂的.关于角度型和较为复杂的问题，以及需要自己画平面区域求概率的几何概型可以放到下节课重点讲授.
本节课的优点是层层递进，由具体的例子抽象出几何概型的概念，并通过具体问题的求解概括出几何概型概率计算公式，这样的设计较适合于学生的认知规律.分析问题时借助于图形对学生快速掌握知识也有很大的促进作用.ppt的利用可以减少过多的叙述时间，节省时间.
当然本课也有一些弊端，就是整节课使用ppt,不利于学生思维发展.以后教学中要注意课前思考好哪些问题用ppt,哪些问题不用ppt，坚决杜绝整节课使用ppt.比如本节课中的拓展性问题1和2就可以展示在ppt上，方便学生思考.几何概型的定义和公式以及4道练习题也一样ppt集中展示，效果好.本节课信息量大，教学环节要统筹安排，教学语言要简练，以便留给学生较多的练习时间,否则可能因为时间关系，完成不了教学任务.

7