【素材】《正方形》能力培优(人教版).doc

第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
专题一 开放类题目
1. 在四边形中，顺次连接四边中点E、F、G、H，构成一个新的四边形，请你对四边形填加一个条件，使四边形成为一个矩形．这个条件是 　 .

2. (2013湖北仙桃) 如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动．要使四边形CBFE为菱形，还需添加的一个条件是 （写出一个即可）．

3. 如图，在△ABC中，D为BC边的中点，过D点分别作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F．
（1）证明：△BDF≌△DCE；
（2）如果给△ABC添加一个条件，使四边形AFDE成为菱形，则该条是　 　；如果给△ABC添加一个条件，使四边形AFDE成为矩形，则该条件是　 　．（均不再增添辅助线）请选择一个结论进行证明．

专题二 规律探索题
4.（2013广东深圳）如下图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；…按这样的规律下去，第6幅图中有 个正方形．

5. （2013浙江衢州）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°，… 按此规律所作的第n个菱形的边长是 ．

6. 如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°. 顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连接四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；…按此规律继续下去…，则四边形A2B2C2D2的周长是 ；四边形A2013B2013C2013D2013的周长是 .

专题三 综合应用题
7. 如图，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN⊥DM，且交
∠CBE的平分线于N．
（1）求证：MD=MN；
（2）若将上述条件中的“M为AB边的中点”改为“M为AB边上任意一点”，其余条件不变，则结论“MD=MN”成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．

8. 在□ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连接EG、GF、FH、HE．

（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是　 　；
（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是　 　；
（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．

【方法技巧】
1. 开放性题目是中考中常见的题目，此类题答案往往不唯一，常见的类型有条件开放性题目和结论开放性题目.解题时一定要弄清题目中的语言意思或图形意思，然后根据已知条件或结论进行选择.
2. 对于含有特殊平行四边形的规律探索题，应先观察图案的变化趋势，从增加（减少）、倍数、平方（立方）、前后两数的关系等方面去思考，解题的关键是仔细观察图形的变化并找到规律．

参考答案
1. AC⊥BD 【分析】由三角形中位线性质易得四边形EFGH是平行四边形，当添加AC⊥BD时，可得到四边形EFGH为矩形.
2. 答案不唯一，如CB=BF，BE⊥CF；∠EBF=，BD=BF等 【分析】∵两个三角尺ABC和DEF完全相同，∴CB∥EF，CB=EF， ∴四边形CBFE是平行四边形. ∴可以添加CB=BF，BE⊥CF，∠EBF=，BD=BF等，都能说明四边形ABFE是菱形.
3. 证明：（1）∵DE∥AB，∴∠EDC=∠FBD．
∵DF∥AC，∴∠FDB=∠ECD．
又∵BD=DC，∴△BDF≌△DCE．
（2）AB=AC ∠A=90°，
①证明：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE为平行四边形，∴∠B=∠EDC．
又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EDC=∠C，∴ED=EC．
由△BDF≌△DCE可得FD=EC．∴ED=FD，
∴四边形AFDE为菱形．
②证明：同理可证四边形AFDE为平行四边形．
∵∠A=90°，
∴四边形AFDE为矩形．
4. 91 【分析】第①幅图中含有1个正方形，第②幅图中含有5个正方形；第③幅图中含有14个正方形…，所以第①幅图中正方形的个数可以表示为，第②幅图中正方形的个数可以表示为，第③幅图中正方形的个数可以表示为，…，则第⑥幅图中正方形的个数可以表示为个正方形.
5. 【分析】如图，在菱形ABCD中，取AC的中点M，连接BM，由菱形的性质可得BM⊥AC，且∠BAC=30°．在Rt△ABM中，AB＝1，∴AM＝，∴AC＝；同理，在菱形ACEF中，可得到AN＝，AE＝3；可猜想得其一般规律为第二个菱形边长是第一个菱形边长的倍，第三个菱形边长是第二个菱形边长的倍，…因此第n个菱形的边长是．

6. 20 【分析】连接AC、BD，根据菱形和矩形及三角形的中位线定理可得矩形A1B1C1D1的周长为2（5＋5），菱形A2B2C2D2的周长为20，
矩形A3B3C3D3的周长为，菱形A4B4C4D4的周长为10，
矩形A5B5C5D5的周长为，菱形A4B4C4D4的周长为5，
…
四边形A2013B2013C2013D2013的周长即为第1006个矩形的周长，．
7. 解：（1）证明：取AD的中点F，连接FM．
∵∠FDM+∠DMA=∠BMN+∠DMA=90°，∴∠FDM=∠BMN.
∵BN平分∠CBE，
∴∠DFM=∠MBN=135°．
又∵AF=AD=AB=AM=MB=DF，
∴△DFM≌△MBN．
∴DM=MN．

（2）结论“DM=MN”仍成立．
证明如下：
在AD上截取AF=AM，连接FM．
∵DF=AD-AF，MB=AB-AM，AD=AB，AF=AM，
∴DF=MB．
∵∠FDM+∠DMA=∠BMN+∠DMA=90°，
∴∠FDM=∠BMN．
又∠DFM=∠MBN=135°，
∴△DFM≌△MBN．
∴DM=MN．

8. 解：（1）四边形EGFH是平行四边形；
证明：∵□ABCD的对角线AC、BD交于点O，
∴EO=FO，GO=HO，
∴四边形EGFH是平行四边形，
（2）菱形
（3）菱形
（4）四边形EGFH是正方形.
证明：∵AC=BD，∴□ABCD是矩形.
又∵AC⊥BD，∴□ABCD是菱形.
∴□ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC.
∵EF⊥GH，
∴∠GOF=90°，∴∠BOG=∠COF.
∴△BOG≌△COF，
∴OG=OF，∴GH=EF.
由（1）知四边形EGFH是平行四边形，又∵EF⊥GH，EF=GH,
∴四边形EGFH是正方形．
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