矩阵与变换和坐标系与.doc

“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块(10分)
在极坐标系中，极点为Ａ，已知“葫芦”型封闭曲线由圆弧ＡＣＢ和圆弧ＢＤＡ组成．已知
（１）求圆弧ＡＣＢ和圆弧ＢＤＡ的极坐标方程；
（２）求曲线围成的区域面积．

“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块（10分）
曲线与极轴交于点和极点，由点引曲线的弦（与不重合），延长至，使，
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若轨迹上恰有三个点到曲线的距离为,求实数的取值范围．
“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块 (10分)
在极坐标系中，极点为，已知曲线：与曲线：
交于不同的两点．
（1）求的值；
（2）求过点且与直线平行的直线的极坐标方程．
3．(2011·深圳卷)已知点P是曲线C：(θ为参数，0≤θ≤π)上一点，O为原点．若直线OP的倾斜角为，则点P坐标为________．
4．(2011·佛山卷)在极坐标系中，和极轴垂直且相交的直线l与圆ρ＝4相交于A、B两点，若|AB|＝4，则直线l的极坐标方程为________．
7．已知直线l：与抛物线y＝x2交于A，B两点，求线段AB的长．
解：把代入y＝x2，得t2＋t－2＝0，
∴t1＋t2＝－，t1t2＝－2.由参数的几何意义，得
|AB|＝＝.
10．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝.圆O的参数方程为(θ为参数，r>0)．
(1)求圆心的极坐标；
(2)当r为何值时，圆O上的点到直线l的最大距离为3?
13．已知圆C的参数方程为(θ为参数)，P是圆与y轴的交点，若以圆心C为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点P的圆的切线的极坐标方程．
11．(12分)(2011·天津)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝.[来源:学科网]

(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；
(2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；
(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．
解：方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，

点B为坐标原点，依题意得A(2，0,0)，B(0,0,0)，C(，－，)，A1(2，2，0)，B1(0,2，0)，C1(，，)
(1)易得＝(－，－，)，[来源:Z,xx,k.Com]
＝(－2，0,0)．
于是cos〈，〉＝＝＝.
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为.
(2)易知＝(0,2，0)，＝(－，－，)，
设平面AA1C1的法向量m＝(x′，y′，z′)，
则即
不妨令x′＝，可得m＝(，0，)，同样地，设平面A1B1C1的法向量n＝(x，y，z)，则即不妨令y＝，可得n＝(0，，)，于是cos〈m，n〉＝＝＝.从而sin〈m，n〉＝.

所以二面角A－A1C1－B1的正弦值为.
(3)由N为棱B1C1的中点，得N，设M(a，b,0)，则＝，由MN⊥平面A1B1C1，
得
即
解得故M，因此＝，所以线段BM的长||＝.
方法二：(1)由于AC∥A1C1.故∠C1A1B1是异面直线AC与A1B1所成的角．
[来源:学科网]
因为C1H⊥平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心，AA1＝2，C1H＝，可得A1C1＝B1C1＝3.
因此cos∠C1A1B1＝＝.
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为.
(2)连接AC1，易知AC1＝B1C1，又由于AA1＝B1A1，A1C1＝A1C1，所以△AC1A1≌△B1C1A1，过点A作AR⊥A1C1于点R，连接B1R，于是B1R⊥A1C1，故∠ARB1为二面角A－A1C1－B1的平面角．
在Rt△A1RB1中，B1R＝A1B1·sin∠RA1B1＝2·＝.连接AB1，在△ARB1中，AB1＝4，AR＝B1R，cos∠ARB1＝＝－，从而sin∠ARB1＝.
所以二面角A－A1C1－B1的正弦值为.
(3)因为MN⊥平面A1B1C1，所以MN⊥A1B1，取HB1中点D，连接ND.由于N是棱B1C1的中点，所以ND∥C1H且ND＝C1H＝.又C1H⊥平面AA1B1B，所以ND⊥平面AA1B1B，故ND⊥A1B1.又MN∩ND＝N，所以A1B1⊥平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，则ME⊥A1B1，故ME∥AA1.
由＝＝＝，得DE＝B1E＝，延长EM交AB于点F，可得BF＝B1E＝，连接NE.在Rt△ENM中，ND⊥ME，故ND2＝DE·DM，所以DM＝＝，可得FM＝，连接BM，在Rt△BFM中，

BM＝＝.
11．(12分)(2011·天津)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)
(1)求在1次游戏中：
①摸出3个白球的概率；[来源:学科网ZXXK]
②获奖的概率；
(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．
解：(1)①设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i＝0,1,2,3)，则
P(A3)＝·＝.
②设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3.又P(A2)＝·＋·＝.[来源:学,科,网Z,X,X,K]
且A2，A3互斥，所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.
(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝2＝.
P(X＝1)＝C＝.
P(X＝2)＝2＝.
所以X的分布列是
X
0
1
2
P

X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.