初高中数学衔接教案含答案.pdf
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1、第一讲数与式1.1 数与式的运算1.1.1.绝对值绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即f a,a 0,I 1=0,a=0,-,a 4.解法一:由x-l=0,得 x=l;由 x-3=0,得 x=3;若x 4,即-2x+4 4,解得 xVO,又 XVI,.*.x0;若1J4,即 14,.不存在满足条件的X;若X23,不等式可变为(x l)+(x 3)4,即 2x-44,解得 x4.又近3,*.x4.综上所述,原不等式的解为x4.解法二:如图1.1 1,卜-1|表示X轴上坐标为X的点尸到坐标为1的点/之间的距离I 口 I,即以I=x-1|;归一3|
2、表示“轴上点尸到坐标为2的点B之间的距离|尸8|,即I?8|=一一3|.所以,不等式卜-1|+卜-3|4的几何意义即为|一|+|尸用4.由|/3|=2,可知点P在点。(坐标为0)的左侧、或点。在点。(坐标为4)的 右侧.x4.练习1.填空:(1)若卜|=5,则=;若卜|,贝ljX=.(2)如果且a=-l,2.选择题:下列叙述正确的是(A)若同=|“,则 a=6(C)若a b,则同 5).则 b=;若|1 一 c|=2,则 c=.()(B)若同,贝lj a b(D)若,则 a=b11.1.2.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:(1)平方差公式(2)完全平方公式2 2(a+b)(a-
3、h)-a-h;2 2 2a h)=c T 2ab+b.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:(1)立方和公式(2)立方差公式(3)三数和平方公式(4)两数和立方公式(5)两数差立方公式对上面列出的五个公式,2 2 3 3a+b)(a-ab+h-a+h;2 2 3 3a-b)(a+ah+h)-a-b;a+h+c j=a+3+c-2(a b+h e-;(0,b 0);而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式,然后通过分母有理化进行 运算;二次根式的加减法与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2.二次根式行的意义47=a=a,-0,-a,a 0);(3)14 y(x 0
4、);(3)77=2|x3|77=-2x377(o)-3,例2计算:石十(3-JT).5例31a/T-1_ vr+1(VT-i)(VT+i)6+12试比较下列各组数的大小:(1)屈而和而-而;(2)-和2-&.J6+4解:而J(l-i/-1又 y/i2+而 VTTT 而,.*.y/l2-VTT 2a,.,.V6+4.*.-V 2.6+4化简:(JT+石)2g-(JT-J7)2056例 5 化简:(1),9 一 46;(2)x2+2(0 x 03.若公2 T+求a+6 的值.a+14.比较大小:2一小_事一木(填“K+1-X-1()(C)x 2(D)0 x 2,或71.1.4.分式1.分式的意义A
5、 A形如一的式子,若8中含有字母,且则称一为分式.当M却时,B BA分式一具有下列性质:BA A x MB B x MA 4+B B+M上述性质被称为分式的基本性质.2.繁分式a像 丝土?土土这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.c+d 2m+pS r 4-4 A R例1若三=2+,求常数48的值.x(x+2)x x+2的 A B J(x+2)+Bx(Z+8)x+2Z 5 x+4 nH-+x x+2 x(x+2)x(x+2)x(x+2)A+B=5,2A=4,解得 A=2,B=:.例2(1)试证:一!一=-(其中是正整数);n(n+1)n +1人 1 1 1(2)计算:-+-+.-;1
6、x 2 2 x 3 9 x 10(3)证明:对任意大于1的正整数,有_1_+_+2x3 3x41 1-(+1)-2/、-1 1(+1)1(1)证明:-=-=-9n n 4-1(+1)n(n 4-1)!=-(其中是正整数)成立.(+1)n n+1(2)解:由(1)可知1 1 11=1-109 10-+-+1 X 2 2x 3 臾 11 1 1 1 1=(1 一一)+寸)-7.、一2 2 3 9 18(3)证明:.一+2x3 3x4n(n+1)11 11 1 1=(一 一)+()+、-)2 3 3 4 n +11 12 n+1又论2,且是正整数,义7 一定为正数,n+11 1 1 1-+-+.l,
7、2c之一5 ac+2a2=0,求 e 的值.a解:在2c25 ac+2“2=0两边同除以得2。25+2=0,(2el)(e2)=0,Ae=|3;(2),+3|+卜_2|6.2.已知x+y=l,求工3+/+3盯的值.3.填空:(1)(2+77)。2一6)|9=;(2)若,(1 4)2+&+4)2=2,则。的取值范围是;9B组填空:2/、1 1 r 3a-ah(1)a=,b=,贝-=_2 3 3a2+5ah-(2)若 x?+盯一2d=o,则*+y2.1.1 1已知:x=一,y=一,2 32 c 2c组选择题:(A)a b(C)a b 0(2)计算(A)J-a(B)(C)-J-a(D)b a 0(D
8、)-f a)2.3.4.解方程 2(1+)-3(x+)-1=0.x x1 1 1 i计算:+,+.1 X 3 2 x 4 3 x 5 9 x 1 1试证:对任意的正整数小 有-+-+.-3;(3)x2 2x1;(4)4(x-y+l)-i-y(y-2x).习题1.21.分解因式:(1)6/3+1;(2)4 x4-13%2+9;(3)b+c?+Zab+Zac+2bc;(4)3x2+5xj/-22+x+9-4.2.在实数范围内因式分解:(1)x2-5x+3;(2)x2-2 ylx-3;(3)3 x2+4 xy-y;(4)(%2-2x)2-7(x2-2x)+12.3.AABC 二边a b y c 满足
9、(7 2+ft2+c2=ab+he+c a,试判定 A4 B C 的形状.4.分解因式:f+x(tz2a).12第二讲函数与方程2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式我们知道,对于一元二次方程办2+法+C=()(a/),用配方法可以将其变形为2 a 4 a因为存0,所以,4 a20.于是(1)当后-4加0时,方程的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根-b yjb2-4ac孙 2=-;2 a(2)当/一4比=0时,方程的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根bX=X2=-;2 a(3)当4 acV0时,方程的右端是一个负数,而方程的左边(x+2)2一定大于或等于零,因 2 a此,
10、原方程没有实数根.由此可知,一元二次方程ax+bx-Vc (a/)的根的情况可以由b2-4ac来判定,我们把b2-4ac叫做一元二次方程a/+法+c=0(a/)的根的判别式,通常用符号A来表示.综上所述,对于一元二次方程+取+c=o(“#),有(1)当A0时,方程有两个不相等的实数根-b yjb2-4ac修,2=-;2 a(2)当A=0时,方程有两个相等的实数根bX=X2=一;2a(3)当AV0时,方程没有实数根.例1判定下列关于的方程的根的情况(其中a为常数),如果方程有实数根,写出方程的实数根.(1)x23x+3=0;(2)X2ax1=0;(3)x2x+(a1)=0;(4)x22x+a=0
11、.解:(1).A=324 xlx3=-3V0,.,.方程没有实数根.(2)该方程的根的判别式=函4 x1x(1)=/十40,所以方程一定有两个不等的实数根a+y/a2+4 a-Ja、+4X ,X 2 2 2(3)由于该方程的根的判别式为_4 x1x(“-1)=2-4 a+4=(a-2),所以,当a=2时,A=0,所以方程有两个相等的实数根X=:X2=1;当a#2时-,A0,所以方程有两个不相等的实数根X1 1 9 X2 Cl 1(3)由于该方程的根的判别式为=224 xlxa=4-4 a=4(l a),所以当A0,即4(1a)0,即aVl时,方程有两个不相等的实数根x,=1+Jl-a,x,=1
12、-yj-a;当A=0,即a=l时-,方程有两个相等的实数根13X=%2=1;当AV。,即al时,方程没有实数根.说明:在第3,4小题中,方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化,于是,在解题过程 中,需要对a的取值情况进行讨论,这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非 常重要的方法,在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.2.1.2根与系数的关系(韦达定理)若一元二次方程*2+6x+c=0(a邦)有两个实数根-b+yjb1-4ac-b-b2-4acX1=-,X2=-,2 a 2 a则有 _ _-b+飞b2-4ac-b-yb2-4ac-2b bX+%=-+-=-=
13、-;2 a 2 a 2 a a-h+Jb2-4ac-b-yb 2-4ac b-(b 2 4 ac)4ac cx2=-:-:-=-=2 a 2a 4 a 4 a a所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:如果/+以+。=0(#0)的两根分别是对X2,那么的+、2=-一,xrx2=.这一关系也被称为 a a韦达定理.特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程f+px+q=0,若修,切是其两根,由韦达定理可知X 必=-P,X*X2=q,即 夕=一(修+应),q=Xi*X2,所以,方程f+px+qu。可化为?一(x1+%2)%+%2=0,由于X”12是一元二次方程f+px+qu。的两根,所以,%1
14、,%2也是一元二次方程f(%+%2)%+%/%2=0.因此有以两个数X1,必为根的一元二次方程(二次项系数为1)是X2(X1+x2)x+xfX2=0.例2已知方程5 1+一 6=0的一个根是2,求它的另一个根及左的值.分析:由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出左的值,再由方程解出另一个根.但 由于我们学习了韦达定理,又可以利用韦达定理来解题,即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数 和常数项,于是可以利用两根之积求出方程的另一个根,再由两根之和求出人的值.解法一:是方程的一个根,.,.5 x22+左 x2 6=0,:.k=7.3所以,方程就为5 f7x6=0,解得修=2,必=.
15、53所以,方程的另一个根为一一,女的值为一7.5解法二:设方程的另一个根为修,则2n=-,=5 53 k由(一一)+2=,得 k=l.5 53所以,方程的另一个根为一一,左的值为-7.5例3 已知关于X的方程?+2(m 2)x+/+4=0有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求相的值.分析:本题可以利用韦达定理,由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于加的方程,从而解得加的值.但在解题中需要特别注意的是,由于所给的方程有两个实数根,因此,其根的判别式应大于零.14解:设修,乃是方程的两根,由韦达定理,得修+%2=2(m2),%12=/+4.,.*12+22%/2=21,+
16、必)2 一 3 为 2=2 1,即 2(加一2)23(/+4)=21,化简,得 m216m17=0,解得 m=,或加=17.当机=1时,方程为12+6x+5=0,A0,满足题意;当机=17时,方程为?+3(k+293=0,A=302-4 xlx2930.由得 a4,17由得 aZ.a的取值范围是a4.练 习1.选择题:(1)方程?一 2-f ikx+3 k2=0的根的情况是()(A)有一个实数根(B)有两个不相等的实数根(C)有两个相等的实数根(D)没有实数根(2)若关于x的方程mx2+(2加+l)x+加=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是()(A)m 4 4(C)m ,且 m#O4
17、 42.填空:(1)若方程3x1=0的两根分别是X和X2,则L+L=./X2(2)方程2z=0(m#O)的根的情况是.(3)以一3和1为根的一元二次方程是.3.已知J/+8a+i 6+|b 1|=0,当左取何值时,方程依2+6+6=0有两个不相等的实数根?4.已知方程3x1=0的两根为和X2,求(%13)(%23)的值.16习题2.1A组1.选择题:(1)已知关于%的方程f+去一2=0的一个根是1,则它的另一个根是()(A)-3(B)3(C)-2(D)2(2)下列四个说法:方程?+2%7=0的两根之和为一2,两根之积为一7;方程2x+7=0的两根之和为一2,两根之积为7;方程3%27=0的两根
18、之和为0,两根之积为-一;3方程3/+2%=0的两根之和为一2,两根之积为0.其中正确说法的个数是()(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个(3)关于x的一元二次方程办2一5%+“2+4=0的一个根是0,则q的值是()(A)0(B)1(C)-1(D)0,或一 12.填空:(1)方程kx+Ax-1=0的两根之和为一2,则k=.(2)方程 2?-%4=0 的两根为 a,P,则(?+1=.(3)已知关于x的方程f办一3a=0的一个根是一2,则它的另一个根是(4)方程Zr?+Zx1=0的两根为修和必,贝山修一切|=3.试判定当2取何值时,关于X的一元二次方程加2*2(2加+1)工+1=0有两
19、个不相等的实数根?有两个 相等的实数根?没有实数根?4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程f7x1=0各根的相反数.B组1.选择题:若关于x的方程X2(k2 1)%+攵+1=0(A)1,或一1(B)1(C)-1的两根互为相反数,则k的值为()(D)02.填空:(1)若相,”是方程2+2005%1=0的两个实数根,则J”+相/一加”的值等于(2)如果a,6是方程f+x1=0的两个实数根,那么代数式。3+/6+仍2+、的值是3.已知关于的方程f左%2=0.(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)设方程的两根为力和12,如果2(%1+%2)%1%2,求实数一的取值范围.4.一元二次方程-(
20、B)a+pl(D)a+p 与的图象之间存在怎样的关系?为了研究这一问题,我们可以先画出_y=2?,y=-x2,y=2?的图象,通过这些函数图象与函数y 2的图象之间的关系,推导出函数歹=af与、=/的图象之间所存在的关系.先画出函数y=2y2的图象.先列表:X-3-210123X294101492x2188202818x2从表中不难看出,要得到2?的值,只要把相应的 倍就可以了.再描点、连线,就分别得到了函数=?,y=2x2 2-1所示),从图21我们可以得到这两个函数图象 函数歹=2f的图象可以由函数歹的图象各点的纵坐 的两倍得到.同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y=的图象,并研究这两
21、个函数图象与函数的图 系.通过上面的研究,我们可以得到以下结论:二次函数=/(存0)的图象可以由的图象 yx2yo2.Oy26+I)2=2x图 2.2-2-h4)2+i的值扩大两的图象(如图 之间的关系:标变为原来X2,y=2象之间的关各点的纵坐18标变为原来的倍得到.在二次函数夕=依25#)中,二次项系数。决定了图象的开口方向和在同一个坐 标系中的开口的大小.问题2函数y=Q(x+/)2+攵与歹=2的图象之间存在怎样的关系?同样地,我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系.同学们可以作出函数 _y=2(x+l)2+l与歹=2?的图象(如图22所示),从函数的同学我们不难发
22、现,只要把函数y=2f的图 象向左平移一个单位,再向上平移一个单位,就可以得到函数y=2(x+l)2+l的图象.这两个函数图象之 间具有“形状相同,位置不同”的特点.类似地,还可以通过画函数y=3f,=3(x1)2+1的图象,研究它们图象之间的相互关系.通过上面的研究,我们可以得到以下结论:二次函数y=q(x+)2+A5#)中,“决定了二次函数图象的开口大小及方向;决定了二次函数图象 的左右平移,而且“正左移,4负右移”;A决定了二次函数图象的上下平移,而且“正上移,无负下移”.由上面的结论,我们可以得到研究二次函数歹=数2+法十3邦)的图象的方法:一 2 2 b 2b b2 b2由于 yax
23、 hxc=a(x+x)+c=q(x+x+)+c a a 4。4a7 7 2)b 2 b 4 qc=q(x+-)+-,2a 4a所以,y=2+乐+&4却)的图象可以看作是将函数y=Qx2的图象作左右平移、上下平移得到的,于 是,二次函数yjf+bx+c(存0)具有下列性质:,._,2(1)当。0时,函数夕=依2+乐+c图象开口向上;顶点坐标为(-一-),对称轴为直线X2 a 4。=当XV-2时一,y随着x的增大而减小;当x-2时-,y随着x的增大而增大;当工=-上-2a 2a 2 a 2 a4 ci c-b 时一,函数取最小值y=-.4 a(2)当4V0时,函数夕=依2+以+。图象开口向下;顶点
24、坐标为(上-J对称轴为 2a 4 a直线X=一上-;当XV-2时,y随着x的增大而增大;当*-上-时,7随着x的增大而减小;当x 2 a 2 a 2 a,.,2n 4 Cl c b=时,函数取最大值=.2a 4。上述二次函数的性质可以分别通过图2.2 3和图2.24直观地表示出来.因此,在今后解决二次 函数问题时,可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.bh y.,.,2.数空=4.冢2立.+1图象的开口力同、顶点坐标、最大值(或2最力、值”并指出当X取何值时,J随例1求二次而增大(或减d阂它画出该函数的图象.解:,y=-3x6x+l=-3(%+1)2+4,.函数图象的开口向下;
25、对称轴是直线=-1;顶点坐标为(-1,4);当=1时一,函数y取最大值y=4;=bX=2a19.2b 4ac-b,-)2a 4 ax力小,4)”图 2.2-4。1)%=1 图 2.2 5O B x对称轴、X的增大当xV l时-,y随着x的增大而增大;当%1时-,y随着x的增大而减小;采用描点法画图,选顶点4(1,4),与一轴交于点3-3,0)和。(_ 2立1 3),与歹轴的 3 3交点为。(0,1),过这五点画出图象(如图2 5所示).说明:从这个例题可以看出,根据配方后得到的性质画函数的图象,可以直接选出关键点,减少了选 点的盲目性,使画图更简便、图象更精确.例2某种产品的成本是120元/件
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