上海高考数学易错题讲义.pdf

第一部分 集合1.在集合运算中一定要分清代表元的含义.例 1、已知集 P=y I y=X e R,。=y I y=2,x e R,求 P Pl Q.【分析：集合P、Q分别表示函数 =?与y=2”在定义域R上的值域，所以P=0,+oo）,Q=(0,+8)，p n Q=(0,+oo).例2、设集合 4=y卜=,x e R1=yjx 1,x e Rj,则/n =.【分析：集合p、Q分别表示函数y=/与y=2在定义域R上的值域，所以P=0,+oo）,q=（o,+8）,。n。=（。,+8）.】2.对于空集0的讨论不要遗漏.例3、若 4=x I J 2且 A。8=0，求 a 的取值范围.【分析：集合A有可能是空集.当a W 0时，A=0,此时A。B=0成立；当。0时，4=（一75,、5），若AC B=0,则2,有0 a 4.综上知，a 0,a,b,c,和2X-+b2x+C2 0的解集分别为集合 M和N,那么“=，”是“M=N”的a2 h2 c2)A.充分非必要条件.B.必要非充分条件.C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【分析：不要忘记两个不等式均无解】【答案：D3.区间端点的取舍讨论.例6、【长宁区（文）】已知集合A=x log2x 2,B=（-0 0,a）,若A旦B则实数a的 取值范围是_【答案：（4,+8）】例7、闵行2011 一模第12题】已知条件p:x+1 2；条件q:x a,若p是q的充 分不必要条件，则a的取值范围是.【答案：）例8、【2009年上海秋季高考】已知集合A=%I尤 a,且AR，则实数a的取值范围是_.【答案：a）4.充分必要条件的判断例10、2010年春季高考】若者均为单位向量，则=中，当）是1+7+23=（G,下）的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件【答案：BD.既不充分又不必要条件例11、【松江区15】设a,be R,则“+2且 1”是“a 1且 1”的A.充分不必要条件C.充要条件【答案：BB.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件例12、【10年一模宝山区1 5以下四个命题中的假命题是()(A)“直线a、b是异面直线”的必要不充分条件是“直线a、b不相交”；(B)直线“a _L b”的充分不必要条件是“a垂直于b所在的平面”；(C)两直线“a/b,f的充要条件是“直线a、b与同一平面a所成角相等”；(。)“直线a平面a”的必要不充分条件是“直线a平行于平面a内的一条直线”.【答案：C第二部分 不等式1.解分式不等式时注意等价变形例1、不等式X+120的解集是.尤+4【答案：(4,1 1例2、不等式 X 2的解集是.x+4【答案：(-4,-2例3、【2008学年青浦区一模第11题)设函数/(x)的定义域为-4,4,其图像如下图,那么不等式 小0的解集为.sin x【答案：-4,-ti)U-2,0)U1,k)U4 2.注意对不等式最高次项系数的讨论(是不是为0,判断正负号)例1、若关于x的不等式kx2-kx-2 0,其中k g R.(1)求上述不等式的解；(2)是否存在实数k，使得上述不等式的解集A中只有有限个整数？若存在，求出使 得A中整数个数最少的k的值；若不存在，请说明理由。【答案:21.M：(1)当k=0 时，A=(8,4);.2 分,2当 k 0 且攵。2 时，k-4.4 分k4 八A-(-0 0,4)U(攵+,+8)；.5 分 当上=2时，A=（-oo,4）IJ（4,+oo）；（不单独分析k=2时的情况不扣分）4当左 0 时，4=（%+-,4）.7 分k（2）由（1）知：当攵20时，A中整数的个数为无限个；.9分当上0时，A中整数的个数为有限个，.11分4因为攵+一4一4,当且仅当A=-2时取等号，.12分k所以当左=-2时，4中整数的个数最少。.1 4分例3、【2011闸北区一模理第9题】若不等式 以2+法+6?0的解集为x|1%2,则不等式 上心+cix i的解集 X为【答案：x l-V2-lx 0 3.不等式证明题利用特殊值法只能排除错的选项！；例1、20 0 7年上海秋季高考第13题】已知为非零实数，且a。，则下列命题成立的是2 2 2 2 1 1 b ClA、q。B、ab a b C、尸 -D、一 一ab a b a h【答案：C 例2、【2008年南汇一模第13题】若ab h B.C.a2+b2 2ab D.a+b -2yjab a b【答案：D 例3、【2006年春季高考第14题】若、b、cgR,a，则下列不等式成立的是()/、11/、22/、。6/、(A)b.(C)；-.(D)a c b c.a b c+1 c+1【答案：c 4.利用基本不等式求最值时注意“一正、二定(定积定和原理)、三相等；若基 本不等式求最值时无法取得等号，应考虑利用函数单调性(还会用定义法证 明)不等式证明题一；例1、函数 y=arccos x+的最小值为.arccos x【答案：71+例2、【2011年杨浦区二模文理第 11题】已知函数f(x)=lg(x+l),若a h)且f(a)=f(b),则a+b的取值范围是.【答案】(0,+oo)l例3、/+5的最小值为函数y3+4【答案：-1 2第三部分 函数与方程1.函数定义域与限制条件，并注意答案写成集合或区间的形式例1、不等式log 3(51-8x+3)4 1的解集为.【答案：-2,1)U(1,3 1例2、20 0 8年秋季理科3函数/(#=M+二+6的定义域是.x-1Q Q【答案：0,-)Ud,-1 5 5例3、20 1 0年二模长宁第18题】如果函数f(x)=llg l2%-l II在定义域的某个子区间(%-1,&+1)上不存在反函数，则的取值范围是()1 3 1 3A.-,2)C.-l,2)-u-,2)2 2 2 2【答案：D2.奇函数若在=处有意义，则奇函数的图像不一定过原点；函数具 有奇偶性，首先其定义域应关于原点对称；不具有奇偶性应举反例加以否定.2例1、设=-a是奇函数，求a2,-1【答案：-1】例2、(2010年杨浦一模)设函数/(%)=+为奇函数，则实数【答案：-1 k-2例3、(2011年嘉定一模)若函数/(%)=-(%为实常数)在其定义域上是奇函1+攵2数，则k的值为.【答案：1 3.正确使用计算器求解根的范围例1、20 1 0秋季高考理科】若x。是方程=#的解，则X。属于区间().1 22 3【答案：C例2、20 1 0秋季高考文科】若劭是方程l“x=2的解，则沏属于区间()A.(0,1)B.(1,1.25)C.(1.25,1.75)D.(1.75,2)【答案：C例3、2011年闵行区二模理第17题】设函数/1(x)=log4x-(i)x./2(x)=log 1 x-(A、的零点分别为朴 超，则()4 4(A)0 cx i/1 (B)x,x2=1.(C)1 2.【答案：A-14.反函数的本质是x,y交换，比如函数，=八2%)反函数不是y=/(2x).比如 函数y=八+1)反函数不是y=+例1、已知函数y=/(x)的反函数是y=/T(x),则函数y=2广3%+4)的反函数的 表达式是.【分析：求函数的反函数是解方程的过程，即用 y表示不然后将互换即得反函数的表达式.由 y=2f 1(3x+4)可得 f(3x+4)=3x+4=f()n 尤=(二)一 4.所2 2 3 2以函数y-2/-l(3x+4)的反函数为y=/()-4 3 2例2、20 1 0年一模长宁】已知函数/(%)定义在R上，存在反函数，且/(9)=18，若y=f(x+l)的反函数是=f(x+l)，则/(2008)=【答案：-1981 g（X）=yjx-1（X 1）,例3、【2009年高考理科22】已知函数y=/T(%)是y=/(x)的反函数。定义：若对给定的实数Q(a W0),函数y=/(%+。)与y=/7(x+a)互为反函数，则称y=f(x)满足%和性质”；若函数y=/(以)与)；=/T(ar)互为反函数，则称y=/(x)满足“a积性 质”，(1)判断函数g(x)=/+l(x 0),而 g(x+l)=(x+l)2+l(x l),其反函数为故函数g(x)=x2+l(x o)不满足“1和性质”(2)设函数/*)=区+b(x e R)满足“2和性质”,-1 x-b m _i x+_ _,f(X)=-(X R),：.f(X+2)=.6 4k ky b 2 k而/(%+2)=%(%+2)+/?(%g R),得反函数 y=-,.8 分k由“2和性质”定义可知 二二2=匚生对(x e R)恒成立。k k%=-1/e R,即所求一次函数/(%)=-+c R).10 分y=yjx-1-1（X 1）.4分%H 0 o2-5.判断函数的单调性可用有关单调性的性质(如复合函数的单调性)，但证明 函数单调性只能用定义！不能用关于单调性的任何性质，用定义证明函数 b单调性的关键步骤往往是因式分解.记住并会证明：函数y=依+，(a，b 0)X的单调性.例1、已知函数/(X)=X3-ox在区间18)上是增函数，则实数a的取值范围是【答案：Q G 3,+8)1例2、20 1 0年嘉定区二模第21题】已知a e R,函数/(x)=x+(x e 0,+oo),求函数/(%)的最小值.x+1【答案：解 设朴/是0，+?)内任意两个实数，且为X2,贝I/(%)-f(x=X+|-X-X+1 x2+1_/、a(x2-x,)3 _ x2)+-区+1)(%+1)(M-)(1-)(再+1)(x2+1)4分当a 1时,1-=(X+1)(x2+1)即/(%)-fM 0,(为-x2)(1-(%1+1)(/+1)a-)0，(M+1)(x2+1)7分因此，/(%)在0,+)上是单调增函数，故(加皿财 a=9分(ii)当1 时,a a l/(x)=x+-=(x+1)+-1?2Ja 1.x+1 x+1当且仅当 x+1=-，BP x=a-1(5/0-1?|0,x+1)时，等号成立.14分于是，(/(%)*=于(口 1)=26-1.15分g、i|a(a 1)所以(小杀“2。1(一)16分1例3、2007年上海秋季图考第19题】已知函数f(x)=/+(x w 0,q R)x(1)判断/(x)的奇偶性(2)若/(x)在2,+00)是增函数，求实数a的范围【答案：(1)当。=0 时，f(x)=x2 9对任意 x e(-oo,0)U(0,+oo),f(-x)=(-x)2=x2=f(x),?./(x)为偶函数.当q w 0 时，/(x)=J+2(w 0,X w 0),X取=1,得/(1)+/(1)=2。0,/(1)-,f(l)=一2。0,/(-1)/(.1)/+1裾，二 函数既不是奇函数，也不是偶函数.(2)解法一：设2 W为 匕，2 a 2 a(2)/(%,)-/(x2)=x；+-X2-=-3+%2)-a，X|X2 Xj x2要使函数/(x)在x e2,+8)上为增函数，必须/(&)-/(%2)0恒成立.再一尤2，可彳4,艮|J a 4,Jt,x2(X+x2)16.a 的取值范围是(-oo,16.解法二：当a=0时，/(%)=/,显然在2,+8)为增函数.当a 0时，同解法一.】第四部分 三角函数1.三角函数的最小正周期，计算公式少掉绝对值；例1、【2011年黄浦区二模文理第5题】若函数/(%)=2 Z辎 2例5、2010 模宝山101方程sin 4 x=sin 2x在(0,兀)上的解集是3.三角函数的图象平移问题JT 一例6、【2011年徐汇区二模理科第17题】函数y=2cos(2%+)2的图象按向量a平6移后的函数解析式为y=/(x)。当函数/(%)为奇函数时，向量:可以等于()71 71 1I 7(A)(-,2)(B)(-,2)(C)(,2)(D)(,2)6 6 6 6【答案：B例7、2011 一模闵行7】将函数y=3t an2x的图像向右平移1个单位，得到的图像对应的函数解析式是.【答案】：y=3 t an(2 x-2)例8、将函数丁=4011(一2%+：1+1的图象横坐标拉伸为原来的2倍，再向左平移?个 单位，得到的图象对应的函数解析式是 【答案：y=-4 sin j+1 14.通过化简三角比判断三角形形状例9、【2011年奉贤区二模文理第15题】在AABC中，“ccos 8=cos C”是“AABC是等腰三角形”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【答案：A例 10、20 1 1 奉贤一模 15】在 AABC 中，“cos A+sin A=cos B+sin B”是“C=9。”的()(A).充分非必要条件(B).必要非充分条件(C).充要条件(D).非充分非必要条件【答案】：【B】例11、【2010二模闵行16】已知A8C中，4 C=2b，8c=2,则角A的取值范围是)(A)7C 7T6 3(B)(0,:(C)714712(D)f 0,:.【答案：D5.三角函数值域问题:例12、20 1 0二模虹口 6函数y=2sin 2 X _ 3sin 2x的最大值是【答案：2+JTT】例13、20 1 0二模长宁71函数/(%)=2 sin 2 x+6 cos x+3的最大值为【答案:9例14、“sin x+2函数y=-2-sin x的值域为【答案:1,3兀X G 0,-2例15、“，sin x+2函数y=-2-cos x的值域为【答案:2/1-1,2衣+1 6.反三角函数的求值问题例16、20 1 1 一模金山 4 计算:sin I arct an【答案:12例17、(n20 1 1 一模闸北 1 2函数 y=arccos(sin x)l-y 2兀X-I6)【答案：D例 18、2010 一模普陀 5已知 cos(it+a)=-a g f-,0 J 则 a=:(用反三角函数表示)【答案：-arccos】3例19、2010 一模静安8函数y=arccos x+的最小值是.arccos x【答案：兀+7C7.诱导公式、三角和差公式、二倍角公式应用出错例20、20 1 1年崇明县二模文理第2题】函数y=cos4兀x-sin 的最小正周期T=_【答案：2例21、2010 二模闸北 13 已知 cos(尤-)=机，则 cos x+cos(x-)=()6 3A.2m B.2m C.yfim D.y/3m【答案：C第五部分 数列1.数列的通项公式例1 20 1 1年虹口区二模文理第2题】数列%的前项和S,=/+鹿-3，则通项公式an=.，依冷 1(=1)-【答案：12n(n 2)【例2】【2011年嘉定区一模文理第23题】已知数列册的前八项和为S1t,对任意n e N*，2点(，S“)都在函数/(%)=2%-%的图像上.(1)求数列*的通项公式；例3数列*满足一a1+a=2n+5,则。“二2.等比数列的证明与性质4 r-2【例1 X20 1 1年黄浦区二模理第21题】已知函数/()=-(XH-1,尤/?),数列”X+1满足 Q1=a(aw-1,a&R),an+=f(an&N).(1)若数列%是常数列，求a的值；n-2*(2)当为=4时，记=一neN)，证明数列出“是等比数列，并求出通项公式.【答案：(1)实数。的值是1或2.2 (-)-22 2 2 *3(2)bn=(-)=(-)(e N).an=-.(n w N)】3 3 3 2.【例2】【2010年上海高考第20题】已知数列a.的前项和为S“，且S”=-5a“-85,e N*,证明：a“-1是等比数歹U；【答案：略】例3 20 1 1年上海卢湾区二模第22题】已知数列a,b,c是各项均为正数的等差数列，公差为d(d 0).在明力之间和仇c之间共插入“个实数，使得这+3个数构成等比数 列，其公比为q.(1)求证：lq 1 1;(2)若 a=l,=1,求 d 的值；(3)若插入的个数中，有s个位于a力之间，/个位于之间，且s,t都为奇数，试 比较s与t的大小，并求插入的n个数的乘积(用a,c,n表示)【答案：(1)由题意知q+2-,c=a+2d,a又 a()()，可得/+2=+巴1,a a即lq+2|i,故|8+2,又+2是正数，故|外1.(2)由明氏。是首项为1、公差为d的等差数列，故8=l+a,c=l+2d,若插入的这一个数位于之间，则l+d=/，i+2d=/，消去4可得(l+2d)2=(l+d)3,即屋d=0,其正根为d+”.2若插入的这一个数位于8,c之间，则1+d=4,1+21=/,消去q可得1+2d=(1+d),即/+3/+d=0,此方程无正根.故所求公差4 卫.2(3)由题意得乡用=+,/=+2”,又a o,d(),a a b a+d2,a+d q+2d d-r,口 a+d a+2d a+2d故-=-0,可得-,又-0,a a+d a(a+d)a a+d a+d故即1 4产 lq产.又 I 4 l 1,故有 s+1 r+1,M|J s t.设+3个数所构成的等比数列为%,则%=*+2由做。“+4_=。陷+3=ac（攵=2,3,4,，+2）,可得（a2a 3 +2）2=（。2%+2）（。3。+1）（。”+1。3）（。+2。2）=，T7 s+l b t+l Cq 0,q 0，a h由S,f都为奇数，则4既可为正数，也可为负数，n+1若q为正数，则a2a 3。+2=（ac）2,插入几个数的乘积为一-（ac）a+c若q为负数,。2,。3,，。+2中共有+1个负数，2n 71+1 一”（-+D 2（一+D故。2。3%+2=（-1）2（ac）2,所插入的数的乘积为-（-1）2（ac）a+cn+19 _所以当=4%-2（%eN*）时，所插入个数的积为-（ac）2;a+c当=4女（左eN*）时，所插入个数的积为土-（改）丁.1a+c3.数列求和【例 11 求和 S“=L+3+：+.+2.2 3 nXX X X1 9 1n+ny当几为偶数时；【答案：sn=2 2 2（分类讨论求和）】I-2卫，当为奇数时.I 22r+3【例2X2010年上海六校联考第23题】已知：函数/(%)=-，数列a.对22,w N3x总有 an=f(-),a,=1；(1)求a.的通项公式。(2)求和：Sn=axa2-a2a3+a34-a4a5+(-1)a,an+l2n+1【答案：(1)a=-(c N)3o o-n2-n 为偶数 S=9 3 1 2产+6+7 为奇数I 9X【例3】【2011年徐汇区二模理科第14题】设函数%)=+一,。为坐标原点,I 2 J x+1A“为函数y=/(%)图象上横坐标为(e N*)的点，向量贰与向量7=(1,0)的夹角为0,则满足t an 0 +t an 0,+t an 0 的最大整数n的值为。3【答案：301814.最大、最小项思想【例1】【2011年闵行区二模文理第8题】已知数列%是以-15为首项，2为公差的等差数列，S,是其前n项和，则数列5,的最小项为第 项.【答案：8【例2】【2011年杨浦区二模文理第23题】设二次函数/1(%)=(攵一 4)+丘(k w R),对任意实数x,有/(%)(11)(-1 21-a,12 n)【答案：(1)k=2,所以/(x)=2/+2x,其值域为(-8,匕.2(2)数列七在区间(0,上)上是递增数列.2注：本题的区间也可以是L,L)、L,L)、J/)等无穷多个】5 2 4 2 3 2【例3H20 I0年嘉定区一模第23题】已知函数/(x)=iog?lr,(/，力)、P2(x2,y2)-X是“X)图像上两点.若占+%2=1,求证：月+丁2为定值；(2)设，其中 e N*口 2 2,求丁“关于的解析式；对(2)中的北，设数列伊“满足处=2,当 2 2时，%=4北+2,问是否存在角a,使不等式八一 1 Y1-1 1-1 :n 01对一切 e N*都成立？若存在，求出角、a1人 a2)(an)yjln+1a的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案：(1)当/+3=1时，力+乃为定值1.n-1T=-(2)“2(e N*,2 2).氏(71 2兀、y(1)=2kn+,2kn+-(3)八)的最大值为 2,a的取值范围为I 3 3 J%e Z】【例4】【2010年上海高考第20题】已知数列%的前项和为鼠，且S,=-5a“-85,n&N(1)证明：*是等比数列;(2)求数列S,的通项公式，并求出n为何值时，S”取得最小值，并说明理由。5.数列中的数列问题【例1】【2010年金山区一模第22题】已知等差数列%中，%=7,%+%+即=12,令hn=anan+i,数列的前n项和为Tn.n e N*b”(1)求a”的通项公式；，=3 一 2.e N*(2)求证：r -；3(3)通过对数列T“的探究，写出“.，T,“，7；成等比数列”的一个真命题并说明理由(1机，加，gN*).当且仅当正整数m=2,n=1 6时，T,Tm,Tn成等比数列.a+c,anian a”33当0 1=1,c=1,d=3时，求数列aj的通项公式当0田1,c=l,d=3时，试用ai表示数列斯的前100项的和S1Oo当 OV(m 是正整数)，c=,，d 23m 时，求证：数列 a2,a3m+2,，a6m+2一,，m m m m ma9m+2-工成等比数列当且仅当d=3m ml,n=3k-2【答案：(1)由题意得a.=2 a【答案：2,a a=1,Z?=-1 例2【2010年静安区一模文理第3题】若复数z满足z-(l+i)=2(其中，为虚数单位)，则 Re z=.【答案：设 z=a+bi(a,b e R),原式化为(a+bi)(1+z)=2,得 a-。+(a+b)i=2,求得Re z=a=1.7+2例3【2011年闸北区二模文理第1题】已知和二二都是纯虚数，那么z=.1-i【答案：设%=尻(底R),原式化为竺二是纯虚数，得b=-2,得z=2i1-i3.实系数一元二次方程说明：实系数一元二次方程根的情况可通过判别式判断。若存在虚根，则此两虚根互为 共辗.若虚系数一元二次方程存在实根不能用判别式判断.例1【2010年崇明县二模文理第8题】复数z=(l-6i)2是实系数方程办2+弘+1=02 2的根，则ab=.G 1 0.2 1 6.e 1 后.答案：Z=(-z)=-i,则 z2=-1-i,2 2 2 2 2 2得Zi+Z2=-2=-1且舄2=1，求得a=l,b=1.所得即为1】a a例2 20 1 0年杨浦区二模文理第17题】若z是实系数方程x2-2x+p=0的一个虚根，且 1 z=2,则 p=【答案：实系数一元二次方程若有虚根，则两根必互为共辄，=1 z=P=4例32011年黄浦区二模理第8题】已知0相1(66尺)，。是方程/+如+1=0的根，则 I a I=.【答案：根据判别式可知，实系数一元二次方程有 2个虚根，则z.z2=la P=1 例4 若方程/+法+2=0(/2 G R)的两根a,。满足la-B 1=2,求实数b的值.【答案：在复数范围内la-p I2=(a-p)2不一定成立，但I(a-(3)1=1 a-p一定成立.fa+B=h对于二次方程，韦达定理在复数范围内是成立的，ap=2I(a-P)-1=1 Z?-8 1=4,则。=4 或。=1 2,所以 b=2 或。=2 /T.例5 20 1 1年杨浦区二模文理第10022题】设虚数z满足z?一加7+机=0（m为实常 4数，根0且mW 1,1为实数）.（1）求z的值；（2）当t g N”,求所有虚数z的实部和:【答案:100 50(I)zz=|z|2=.,)4 2(2)z 是虚数，则 m10 0：.m m5 1,Nn：.S 3-4-m-,2 2 2 2 z 2?u m-15151 532 51当QOm渤t出糅秣寓0 ffi蜂颉.三加？卅一)=22 22 11imi4.复平面轨迹方程说明：IZ|-Z2l的儿何意义是复平面上Z,Z2对应点之间的距离，lz-Zl=的儿何意义是复平面上以Z。对应点为圆心，厂为半径的圆.例1若12-2泪+1%-2。1=4表示的动点的轨迹是椭圆，则lzl的取值范围是【答案：首先要理解数学符号的意义：I Z-2i I+I z-Zo 1=4表示，复数Z对应的动点到复数2i与Zo对应的两定点之间的距离之和等于4.而根据椭圆的定义知，两定点之间的距离要小于定值 4,所以有I z。-2/1 4,而此式又表示zo对应的点在以2i对应点为圆心，4为半径的圆内，由模的几何意义知I Zo Ie 0,6）.例2【2010年普陀区二模文理第7题】在复平面上，已知直线/上的点所对应的复数z满足z+i=Z-3-i,则直线/的倾斜角为 L（结果反三角函数值表示）【答案：首先根据复数模的概念，可以看出原式表示复数z所对应的点到（0,-1）与其到（3,1）的距离相等，那么复数z即为（0,-1）与（3,1）所在线段的中垂线上一点，3所以直线/的斜率即为-一，转化为倾斜角，注意在第二象限，2-3所以。-兀-arct an。】2例32011年卢湾区二模文理第17题】已知复数z满足z-1-2i-z+2+i|=3jT Q是虚数单位），若在复平面内复数z对应的点为Z,则点Z的轨迹为（）A.双曲线的一支 B.双曲线 C.一条射线 D.两条射线【答案：复数z至4（1,2）的距离减去其到（-2,-1）的距离之差等于,根据双曲线定义，由于两定点之间距离也等于3/，所以其轨迹为射线，可以看到原式表示的线段中，复数z到（1,2）的距离显然大于其到（-2,-1）的距离,所以点z的轨迹为一条射线。】第七部分 向量易错点1.向量的数量积运算相关概念性问题【例1】【2011年闸北区二模文理第5题】下列三个命题：若|1+万1=1I,则 H=0;若。了0,a-b=a-c,贝ij/?=c；若laZ?l=lalll,贝ija 人.其中真命题 有.（写出所有真命题的序号）【答案：】【例2】【2011年长宁区二模文第16题】设向量I=（1,0）,b=（1,-），则下列结论中正确 2 2的是（）_ _ _ _ 2 _ _ _ _A.a=b.B.Cl b=-.C.a/h.D.a b 与 b 垂直.2【答案：D2.投影的概念及计算方式【例1】【2011年奉贤区二模文理第6题】已知1*=1却=2,1与分的夹角为上，则万在1上的 3投影为【答案：11【例2】【2010二模闵行区15】如图，已知正六边形A B CDEF,下列向量的数量积中最大的是（）A B(A)A B A C.(B)A B A D.(C)A B A E.(D)AB AF.【答案：A3.向量夹角为钝角忽略平行的情况(其他忽略平行的情况)例1 20 1 1年普陀区二模理科第17题】已知向量a=(2 cos(p,2 sin t p),3w向量3=(0,-1),则向量1与3的夹角为()兀B.+(p；2兀(p-2【答案：C【例2】已知向量=(1,2),g=(-2,相)的夹角为钝角，则根的取值范围为【答案：(,4)U(4,1)【例3】已知直角坐标系中，A(l,x),B(2,0),C(-l,l),DABC为锐角三角形，贝ij x的 取值范围为_【答兼HMr2)14.向量的分解定理【例1】【2011年徐汇区二模文科第15题】已知0,4,3是平面上不共线的三点，若点C满足k=EF,则向量3W等于()(A)0A-OB(B)0A+OB(C)-OA-OB)(D)-OA+OB)【答案：D例2 20 1 0二模普陀11】如图，平行四边形A B CD的两条对角线相交于点M,点P是MD 的中点.若 布=2，TB=,且 NBA。=60。，贝 lj 而而=;【答案：16例3 20 1 1 一模浦东18】点O在AA5C所在平面内，给出下列关系式:(1)OA+OB+OC 0；(3)A CA CA BA BOA-、7(2)OA OB=OB OC=OC OA 、B C B A C网网J(4)(OA+OB)-A B=(OB+OC)-B C=0.则点O依次为A4 8C的()A.内心、外心、重心、垂心 B.重心、外心、内心、垂心C.重心、垂心、内心、外心 D.外心、内心、垂心、重心【答案】：c第八部分 立体几何1.点、线、面的关系例12011年杨浦区二模理第7题】已知直线m 1平面a,直线在平面p内，给出下列四个命题：aBn/77l；a_l_p n 机；/77-LnaB；JL p,其中真命题的序号是；.【分析：熟悉点线面的的一些常用定理，直线垂直平面，则垂直于平面内任意一条直线。若两平面平行，则该直线也垂直于此平面。】例2 20 1 1年闵行区二模文理第15题】给定空间中的直线I及平面a,条件“直线I与平面a垂直”是“直线/与平面a内无数条直线垂直”的（）A.充要条件 乩充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件【分析：直线与平面垂直，则该直线垂直平面内任意一条直线，“无数条”不是“任意”】例3 20 1 0年浦东新区二模理第15题】“直线a与平面M没有公共点”是“直线a与平 面平行”的（）A,充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【分析：直线与平面平行的定义即为直线与平面没有公共点】2.常见空间图形的面积，体积公式例1 20 1 0年闵行区二模第6题】已知球。的半径为R,一平面截球所得的截面面积为4兀，球心到该截面的距离为下,则球。的体积等于.【分析：平面截球所得的截面即为平面圆，所以该圆半径即为 2,又由于球心到该截面距离为下,而球体半径，截面半径与球心到截面距离正好构成一个直角三角形,由勾股定理可得球体半径为3,根据球的体积公式V=36ti o3例2【2010年松江区二模第4题】一个与球心距离为1的平面截球所得的圆的面积为兀，则球的表面积为_.【分析：球体半径，截面半径与球心到截面距离正好构成一个直角三角形，计算可得球体半径为，根据球的表面积公式S=4tiR2=8兀】例3 20 1 1年闸北区二模文理第7题】设一个正方体的各个顶点都在一个表面积为1 2k 的球面上，则该正方体的体积为.【分析：由于正方体的各个顶点都在球面上，可知，该正方体的中心和球的球心为同一点，则正方体体对角线等于该球的直径，又由于球的表面积为1 2n,所以根据球的表面积计算公式可得半径为邪,所以正方体的边长为2,体积即得，等于83.异面直线的角度范围说明：直线与平面所成角的范围是0,2;两异面直线所成角的范围是（0,2.特别要 2 2注意的是两异面直线所成角的范围.当求出的余弦值为Q时，其所成角的大小应为arccos a.例1【2011年杨浦区二模理第9题】在平行四边形ABCD中，AB=1,AC=/22-116.球面距离的计算例12011年普陀区二模文理第6题】在球心为。，体积为4 G 的球体表面上两点A、8之间的球面距离为 正兀，则NA0 8的大小为 L4【分析：-14例2【2010年长宁区一模文理第11题】如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，A A B C=90,B A=B C,球心0到平面ABC的距离是，则3、。两点的球面距离 2是_。【分析：弧长即为71 例3 20 1 0年杨浦区一模文理第13题】在体积为4岳的球的表面上有A、8、C三点、，A B=1,B C=&,A、C两点的球面距离为 6371.（文科考生做）贝I A B B C=.（理科考生做）则球心到平面ABC的距离为.3【分析：文科0；理科一】2第九部分 圆锥曲线1、常见直线方程的儿种形式及适用范围要熟悉：（1）点斜式y-0=攵（%-人），过定点（%0，0）与x轴不垂直；（2）斜截式y=kx+b 在y轴上的截距为b与x轴不垂直；（3）一般式 a%+c=0适用于所有直线，它的其中一个法向量可表示为（a,b）,方向向量为（b,-a）or（-b,a）.20 0 9年普陀区一模第5题）】已知两直线方程分别为ll:2x-y-l=Q.l2:ax+y+2=Q,若则直线。的一个法向量为=.【答案】（1,2）2、求直线的方程时要特别注意直线的斜率是否存在的情况，不确定时要注意分类讨论，漏 解肯定是斜率不存在的情况.要明确解析儿何是“用代数方法解决儿何问题”的道理，所以 做解析几何问题不要“忘形”.【例】过点P（2,3）与坐标原点距离为2的直线方程是.分析：若仅用点斜式设出直线方程，再用点到直线的距离来求解，则会漏解，这是因为在设 立方程的时候就排除了斜率存在的情况.考虑到直线x=2满足题义，故所求直线有两条，其方程为：5x-12 y+26=0与=2.【例】过点尸（2,3）与圆x2+y2=4相切的直线方程为【答案】x=2 o 6 比 12 于 263、圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=Q,表示圆的充要条件是E2+E2-4 F 0.【例】二次方程A x2+B xy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是；分析：注意到圆的一般方程中没有 个这样的项，且二次项系数都为 1.则必有8=0,且2 2 D E FA=C。0,此时方程可以化成：%+y2+x+y+=0.与圆的一般方程比较可以A A Adef得出：（）2+（）2 一 4 0.其充要条件为：A=C Q,B=0,D2+E2-4 AF 0.AAA4、直线与圆的位置关系的判断主要是利用点（圆心）到直线的距离来判断.设圆C的半径 是r,圆心到直线L的距离是d,当d /时，直线L与圆C相离；当d=;时，直线L 与圆C相切；当d 1 招尸2 1=10,所以 I PF2=13.8、抛物线有四种不同的形式，要注意开口方向与标准方程的关系.不要将抛物线的标准方程 与二次函数的表达式相混淆.【例】抛物线y=4/的焦点坐标是；准线方程是.分析：注意到方程y=4 1不是抛物线的标准方程，其标准形式为 一=1 y.所以此抛物线 4的焦点坐标为（0,2），准线方程为y=-.16 169、直线与圆锥曲线之间的位置关系的讨论主要是转化为方程根的个数的讨论，联立直线与 圆锥曲线方程得方程组，消去其中一个量得到关于另一个变量的一元二次方程，利用根的 判别式进行讨论，但要注意二方面：一是直线的斜率是否存在，二是所得方程是否为一元 二次方程.直线与双曲线或抛物线联立得到的方程二次项可能为零（双曲线中二次项系数为 零时，得到的是两条与渐近线平行的直线；抛物线中二次项为零时，得到的是与对称轴平 行的一条直线）2【例】已知直线/过点（1,1），双曲线C：X2-=1.3（1）若直线/与双曲线有且仅有一个公共点，求直线/的方程；（2）若直线与双曲线的右支有两个不同的交点，求直线/斜率的取值范围；（3）是否存在直线/使其与双曲线的有两个不同的交点 A、B,且以AB为直径的圆过坐标 原点？若存在求出此直线的斜率，不存在说明理由.分析：（1）当直线/与x轴垂直时，直线x=1满足题义.当直线/与x轴不垂直时，设直线方程为 y-1=%(%-1),联立得方程：(3-攵 2)/一 2左(1左)-(/一 2攵+4)=0 (*)当3一%2=。时，方程(*)是一次方程，直线/与双曲线有一个公共点，此时直线/方程为 y-l=-1).当3-攵2。0时，由=48-24&=0,得k=2,所以满足题义的直线/为：x=l,2x y 1=0,1=-/3(x 1).(2)直线/与双曲线的右支有两个不同的交点，则方程(*)有两不等的正根.由=48-24 k f 2k(1-k)x1+x2=-0 0,知攵2且1 3k，得后 k 2或k 0-3(3)若以 AB为直径的圆过 坐标原点，则。4=。d=0,设4(修，力),3(%22)，即 XXX2+=。(%一+1)%1%2+k(l-%)(X+X2)+(1-k)2=0,将 X,X2,X1+x2 代入化简得：/+4 k+l=0,k=-2 土也(满足&0(求值问题中检验即可).2 220 1 1年虹口区二模文第22题】已知：椭圆二+2_=1(。60),过点A(-%0),cT b h B(0,的直线倾斜角为原点到该直线的距离为.6 2(1)求椭圆的方程；(2)略(3)对于。(-1,0),是否存在实数k，直线y=区+2交椭圆于P,Q两点，且 DP=DQ 2若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.2【答案】(1)匚+/=1 32(3)文科：记尸(1,)，。(2，乃)，将丁=入+2代入+y =1，3得(3/+1)/+12入+9=0(*),孙，人是此方程的两个相