专题八第一讲函数与方程思想、数形结合思想.doc

第一讲　函数与方程思想、数形结合思想

1．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于(　　)
A．18　　　　　　　　　　 B．24
C．60 D．90
2．若a>1，则双曲线－＝1的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1，)　　　　　　 B．(，)
C．[，] D．(，)
3．(2013·湖北省八校高三第二次联考)已知f(x)＝x2＋sin(＋x)，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是(　　)

4．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知命题p：∀x∈R，2x<3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是(　　)
A．p∧q B．￢p∧q
C．p∧￢q D．￢p∧￢q
5．若关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1、x2满足－1≤x1<0<x2<2，则k的取值范围是(　　)
A.　 B.
C. D.
6．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．
7．使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是________．
8．长度都为2的向量，的夹角为，点C在以O为圆心的圆弧AB(劣弧)上，＝m＋n，则m＋n的最大值是________．
9．已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x，若在区间[－1，3]内关于x的方程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R但k≠－1)有四个根，试确定k的范围．

10．(2013·高考北京卷)设L为曲线C：y＝在点(1，0)处的切线．
(1)求L的方程；
(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方．

11．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点P在椭圆上．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点，若点Q在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ的斜率的值．

答案：
1．【解析】选C.设数列{an}的公差为d.
则
∴
解得：a1＝－3，d＝2，
∴S10＝10×(－3)＋×2＝60.
2．【解析】选B.e2＝()2＝＝1＋(1＋)2，因为是减函数，所以当a>1时，0<<1，所以2<e2<5，即<e<.
3．【解析】选A.由f′(x)＝x＋cos(＋x)＝x－sin x是奇函数，可排除B，D，而当0<x<时，(x－sin x)′＝－cos x<0，即f′(x)在(0，)上是减函数，从而排除C，故选A.
4．【解析】选B.

当x＝0时，有2x＝3x，不满足2x<3x，
∴p：∀x∈R，2x<3x是假命题．
如图，函数y＝x3与y＝1－x2有交点，即方程x3＝1－x2有解，
∴q：∃x∈R，x3＝1－x2是真命题．
∴p∧q为假命题，排除A.
∵綈p为真命题，∴綈p∧q是真命题．故选B.
5．【解析】选B.构造函数f(x)＝x2＋2kx－1，∵关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1、x2满足－1≤x1<0<x2<2，
∴即
∴－<k≤0.
6．【解析】

如图所示，M为图中阴影部分区域上的一个动点，由于点到直线的距离最短，所以|OM|的最小值＝＝.
【答案】
7．【解析】在同一坐标系中，分别作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，由图可知，x的取值范围是(－1，0)．

【答案】(－1，0)
8．【解析】建立平面直角坐标系，设向量＝(2，0)，向量＝(1，)．设向量＝(2cos α，2sin α)，0≤α≤.由＝m＋n，得(2cos α，2sin α)＝(2m＋n，n)，
即2cos α＝2m＋n，2sin α＝n，解得m＝cos α－sin α，n＝ sin α.故m＋n＝cos α＋sin α＝sin (α＋)≤.
【答案】

9．【解】由于y＝kx＋k＋1过定点A(－1，1)，结合y＝f(x)的图象可知，当kAB<k<kAC时，方程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R，但k≠－1)有四个根，因为B(2，0)，C(1，1)，于是，得－<k<0.
10．【解】(1)设f(x)＝，则f′(x)＝.
所以f′(1)＝1，所以L的方程为y＝x－1.
(2)证明：令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0，x≠1)．
g(x)满足g(1)＝0，且
g′(x)＝1－f′(x)＝.
当0<x<1时，x2－1<0，ln x<0，所以g′(x)<0，
故g(x)单调递减；
当x>1时，x2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，
故g(x)单调递增．
所以，g(x)>g(1)＝0(∀x>0，x≠1)．
所以除切点之外，曲线C在直线L的下方．
11．【解】(1)因为点P在椭圆上，
故＋＝1，可得＝.
于是e2＝＝1－＝，所以椭圆的离心率e＝.
(2)设直线OQ的斜率为k，则其方程为y＝kx，
设点Q的坐标为(x0，y0)．
由条件得
消去y0并整理得x＝.①
由|AQ|＝|AO|，A(－a，0)及y0＝kx0，得
(x0＋a)2＋k2x＝a2，
整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.
而x0≠0，故x0＝.
代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2·＋4.
由(1)知＝，故(1＋k2)2＝k2＋4，
即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5.
所以直线OQ的斜率k＝±.