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河北北方学院本科生毕业论文
数学期望在经济决策中的应用

摘 要 数学期望是研究随机变量总体取值平均水平的重要数字特征,经济生活中的许多问题都可以直接或间接地利用数学期望来解决,是人们做出经济决策的重要依据.
第一章主要介绍数学期望的定义,包括离散型随机变量、连续型随机变量和随机变量函数三种期望.
第二章对于数学期望在经济决策中的作用方式和方法进行介绍.
第三章介绍数学期望在单级决策中的应用,通过几个实例将数学期望的应用方法具体化.
第四章对于非简单单级决策,即需要多级决策的运用问题进行举例介绍.

关键词 数学期望;经济决策;期望值决策;利润最大.

The Application of Mathematical expectation of the role in economic decision-making
Abstract The mathematical expectation of a significant number is the average of the overall value of the random variable features, many of the problems of economic life can be direct or indirect use of the mathematical expectations, is an important basis for people to make economic decisions.
The first chapter introduces mathematical definition of expectations, including discrete random variables, continuous random variables and random variable function.
Chapter II described the ways and means of the mathematical expectation of the role in economic decision-making.
The third chapter is devoted to the mathematical expectation of the single-stage decision-making, through several examples of application of the mathematical expectation of.
Chapter IV is non-simple single-stage decision-making require the use of multi-level decision-making issues and provide examples.

Key words Mathematical expectation; economic decision-making; expectations of decision-making; the most profitable.

II

目 录
引 言 1
1 数学期望的定义 2
1.1 离散型随机变量的期望 2
1.2 连续型随机变量的数学期望 2
1.3 随机变量函数的数学期望 2
2 经济决策分析 3
2.1 经济决策的定义 3
2.2 决策问题的三要素 3
2.3 期望值决策法选择方案的基本步骤 3
2.4 经济决策的基本公理 3
3 数学期望在单级决策中的运用 5
3.1 最佳进货量问题 5
3.2 利润最大问题 6
3.3 委托——代理问题 7
3.4 超市抽奖问题 8
3.5 资金投资问题 9
3.6 决定生产批量问题 10
3.7 减少工作量问题 11
4 数学期望在多级决策中的运用 13
小 结 16
参考文献 17
致 谢 18

III

引 言
概率论是一门研究事情发生的可能性的学问,但是最初概率论的起源与赌博问题有关.16世纪,意大利的学者开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题.17世纪中叶,法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏,游戏规则是玩家连续掷 4次骰子,如果其中没有 6点出现,玩家赢,如果出现一次 6点,则庄家（相当于现在的赌场）赢.按照这一游戏规则,从长期来看,庄家扮演赢家的角色,而玩家大部分时间是输家,因为庄家总是要靠此为生的,因此当时人们也就接受了这种现象.
随着18、19世纪科学的发展,人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性,从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中;同时这也大大推动了概率论本身的发展.使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家j.伯努利,他建立了概率论中第一个极限定理,即伯努利大数定律,阐明了事件的频率稳定于它的概率.随后棣莫弗和p.s.拉普拉斯又导出了第二个基本极限定理（中心极限定理）的原始形式.拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了《分析的概率理论》,明确给出了概率的古典定义,并在概率论中引入了更有力的分析工具,将概率论推向一个新的发展阶段.19世纪末,俄国数学家p.l.切比雪夫、a.a.马尔可夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式,科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布.20世纪初受物理学的刺激,人们开始研究随机过程.这方面a·n·柯尔莫哥洛夫、n.维纳、a·a·马尔可夫、a·r·辛钦、p·莱维及w·费勒等人作了杰出的贡献.
虽然概率论最早产生于17世纪,然而其公理体系只在20世纪的20至30年代才建立起来并得到迅速发展,在过去的半个世纪里概率论在越来越多的新兴领域显示了它的应用性和实用性,例如：物理、化学、生物、医学、心理学、社会学、政治学、教育学,经济学以及几乎所有的工程学等领域.
概率论作为从数量上研究随机现象统计规律性的学科,而随机变量的分布函数能够全面地反映随机变量的统计规律性．随着经济社会的不断发展,竞争越来越激烈,企业所面临的风险是越来越大,为了在这残酷的竞争中能立于不败之地,必须的降低风险,降低成本,减少损失,获取较高收益.从而决策者们必须采用科学的方法来做出正确的经济决策.然而现实的经济社会是多面性和复杂性的有太多的不确定性因素,比如外界因素,管理者们的主观因素等.而数学期望正好能综合这些因素从中筛选出最优的方案.

1 数学期望的定义
1.1 离散型随机变量的期望
设离散型随机变量的分布律为,若级数绝对收敛,则称的值为的数学期望（或均值）,记作,即.
1.2 连续型随机变量的数学期望
设为连续型随机变量,其概率密度为,若绝对收敛,称为的数学期望（或均值）,记作,即
1.3 随机变量函数的数学期望
设是随机变量,是函数,是连续实函数.
当离散型随机变量的分布律为,当级数绝对收敛,随机变量的数学期望为

当为连续型随机变量,其概率密度为,若绝对收敛,随机变量的数学期望为

2 经济决策分析
2.1 经济决策的定义
经济决策是指经济管理部门或企业为了达到某种特定的目标,在经济调查、经济预测和经济发展、管理活动等规律性认识的基础上,运用科学的方法,在几种可供选择的行动方案中,选择一个令人满意的方案并予以实施.
2.2 决策问题的三要素
（1） 状态集：把决策的对象称为一个系统,系统所处的不同情况称为状态.将其数量化后得到状态变量.所有状态构成的集合称为状态集,记为:,其中是第种状态的状态变量;表示各种状态出现的概率,其中表示第种状态发生的概率.
（2） 决策集：为达到某种目的而选择的行为方案称为方案;将其数量化后称为决策变量,记为决策变量的集合称为决策集,记为.
（3） 效益函数：定义在上的一个二元函数,他表示状态出现时,决策者采取方案得到的收益或损益值,即称为效益.对所有的状态和所有可能的方案所对应效益的全体构成的集合称为效益函数,记为.
对于实际问题,如果决策的三要素确定了,则相应的决策模型也就确定了,在这里记为.
2.3 期望值决策法选择方案的基本步骤
（1）在确定决策目标的基础上,设计各种可行的备选方案;
（2）分析判断各种可行的备选方案实施后可能遇到的决策者无法控制的自然状态,并预测各种自然状态可能出现的概率;
（3）估计、预测各种方案在各种不同的自然状态下可能取得的收益值（或损失值）;
（4）根据以上数据列出收益或损失矩阵表;
（5）以收益或损失矩阵表为依据,分别计算各方案的期望收益值或期望损失值,并根据收益期望值或期望损失值选择最优方案.
2.4 经济决策的基本公理
（1）方案之间的优劣是可以比较的,且比较结果不能相互矛盾;
（2）各被选方案应有独立存在的价值.若其中有一方案在各方面均显著劣于另一方案,则这一方案就可以被第二方案所替代,即其没有存在的价值,应从被选方案中删除;
（3）分析方案时只有不同的结果才有比较.若多个方案某一方面均是相同的,那么在进行比较时这一方面则可以不用比较;
（4）主观概率与方案结果之间不存在联系.决策者估计某种状态出现的主观概率不受方案结果的影响,两者是相互独立的,对自然状态出现的可能性大小的主观概率估计只与决策者主观上对自然状态发展趋势估计的乐观程度有关;
（5）效用的等同性及替换性.
然而由于心理、环境等多种因素的影响使人们常常处于不理智的状态,因而很多时候不能保证完全遵循以上公理.
3 数学期望在单级决策中的运用
经济决策是指企业以及个人在确定行动政策或方案以及选择实施这些政策或方案的有效方法时所进行的一系列活动.经济决策类型按其影响范围分为宏观决策与微观决策.宏观经济决策是指对国民经济和社会的发展目标、战略重点、战略步骤、战略措施等重大经济问题所做的决定或选择.宏观经济决策是国民经济最高层次的决策.微观决策是指对带有局部性的某一具体问题的决策.微观决策包括企业根据市场确定产量,进行人、财、物的合理分配; 消费者根据自己的有限收入决定其对各种商品的需求量, 我们在这里研究数学期望在微观决策中的作用.
事物的进展情况和信息往往受随机因素的影响,使得决策带有风险性.因此,在实际问题中为了最大限度地降低风险,人们常把数学期望作为决策参考的重要依据.离散型随机变量的数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平,正是因为它具备这样的特点,使得数学期望能够从最大程度上刻画、反映出各种随机因素的影响, 从而成为风险决策的重要数字特征.下面举几个例子来说明.
3.1 最佳进货量问题
商场要进某种商品, 作为商场而言, 必定要考虑准备多少货源, 既能满足市场需求, 又不会产生积压, 使资金使用最佳、收益最优.
例1 设某一超市经销的某种商品, 每周的需求量是在10至30范围内等可能取值, 该商品的进货量也在10至30范围内等可能取值（每周只在周前进一次货）,超市每销售一单位的商品可获利500元,若供大于求,则削价处理,每处理一单位商品亏损100元;若供不应求,可从外单位调拨,此时一单位商品可获利300元,试测算进货量多少时,超市可获得最佳利润?并求出最大利润的期望值.
解 由于该商品需求量(销售量)是一个随机变量,它在区间上均匀分布,而销售利润值也是随机变量,它是的函数,称为随机变量的函数.因此,本问题的解算过程是,先确认与的函数关系,再求出y的期望,最后利用极值方法求出极大值点及最大值.
先假设每周的进货量为,则

利润的数学期望为

3.2 利润最大问题
下面这个例子是重庆两路的百乐自助烤吧老板经过多年的经验得出的相关数据：
例2 百乐自助烧烤吧每天腌制牛肉的多少问题,由于牛肉不易于保存,今晚腌制的明天必须卖完,如有剩余就会变质不能食用.每斤牛肉进价17元,能卖到60元.由以前的经验可知每天卖5斤的概率是0.2,卖10斤的概率0.4,卖15斤的概率0.3,卖20斤的概率0.1.问百乐烤吧每天腌制多少斤牛肉能获得最大利润.
解 第一步：由题意我们获得了四个备选方案：1、每天腌制5斤;2、每天腌制10斤;3、每天腌制15斤;4、每天腌制20斤;
第二步：由于天气、工作日、周末、人们消费意识等因素使得每天卖出的牛肉是不定的,由以往经验可以获知每天卖5斤、10斤、15斤、20斤的概率分别为：0.2、0.4、0.3、0.1;分别求出四个方案的预期收益值.
表1 预期方案收益值表
自然状态
5斤
10斤
15斤
20斤
概率
0.2
0.4
0.3
0.1

腌制5斤
215元
215元
215元
215元
方 案
腌制10斤
130元
430元
430元
430元
腌制15斤
45元
345元
645元
645元
腌制20斤
-40元
260元
560元
860元
第三步：由以上收益表可以求得个方案的期望收益值：

第四步：从期望值计算结果可以看出每天腌制15斤时收益最大,即为最优行动方案.
3.3 委托——代理问题
在经济生活中．委托——代理是非常普遍的．
例3 例如老板和员工、股东和经理等等,老板希望在给员工支付工资的同时确保员工能恪尽职守地工作,而员工则希望在拿到薪酬的同时尽量少工作,那么,应采取怎样的策略来确保两方面的平衡呢？我们可以用双方利润的数学期望来分析这一问题.
首先,如果不考虑外界因素的影响,老板的利润会随着员工的努力程度而增加;另一方面 如果员工的努力程度不变,老板的利润也会受到外界因素的影响.简单综合为运气好和运气差.假设这两方面的影响可概括如下.
表2 老板的利润表（单位万元)

运气差
运气好
员工努力工作
20
40
员工不努力工作
10
20
由上表数据知．当利润为最小(10万)和最大(40万)时．老板可确定员工是否努力工作 .在其他情况下无法确定.因此,员工可能会偷懒.另一方面,员工工作只是为了工资收入,努力工作会增加他的劳动成本,简单起见,记其努力工作的劳动成本为10万元而不努力工作的劳动成本为0万元.
因此,对于老板来说 最有利的结果当然是员工努力工作．这是因为老板的期望利润为：当员工努力工作时万,当员工不努力工作时万 .那么如何能保证员工能够努力工作呢?我们可以考虑不同的报酬形式:
固定工资12万元,对员工的努力作出奖励,假设老板可制定报酬计划如下：若利润不超过20万,工资为0,若利润达到40万,工资为24万,分享利润.假设老板可制定另一报酬计划如下：当利润少于18万时,工资为0.当利润高于18万时,超过部分作为工资奖励给员工：在这三种报酬形势下,我们分别考虑老板和员工双方的利益.
第一种情况员工无论努力与否,工资均为12万．但若努力工作会增加劳动成本10万元,因此员工一定选择不努力工作.对于老板而言这种情况下得到的净利润只能为万,而员工努力工作时老板可获得的利润收入可以高达万.因此．固定工资必然会导致效率低下．同时,期望利润也很低.
第二种情况：对员工而言,当努力工作时．期望工资收入为12万减去劳动成本1万．净收入为2万.而如果不努力工作．工资只能为0.所以员工一定会选择努力工作.在这种情况下,老板的期望利润为万,较之第一种情况大为增加.
第三种情况相对于员工来说,当员工努力工作时.此时员工期望获得的工资收入为：万,减去劳动成本10万,净收入为2万.而如果不努力工作．期望工资收入为万,没有劳动成本．净收入为1万.所以员工也会选择努力工作.在这种情况下．老板的期望利润总可以确保为18万,较之第一种情况也是非常有利的.
由此可知．在这种委托——代理关系中引进一定的激励机制,委托人把自己的利益有效地融入代理人的利益之中,有利于解决双方的矛盾,且可以使自己的利益最大化.
3.4 超市抽奖问题
例4 某百货超市现有一批快到期的日用产品急需处理,超市老板设计了免费抽奖活动来处理掉了这些商品.纸箱中装有大小相同的20个球,10个10分,10个5分,从中摸出10个球,摸出的10个球的分数之和即为中奖分数,获奖如下：
一等奖 100分,冰柜一个, 价值2500元;
二等奖 50分, 电视机一个,价值1000元;
三等奖 95分, 洗发精8瓶,价值178元;
四等奖 55分, 洗发精4瓶,价值88元;
五等奖 60分, 洗发精2瓶,价值44元;
六等奖 65分, 牙膏一盒, 价值8元;
七等奖 70分, 洗衣粉一袋,价值5元;
八等奖 85分, 香皂一块, 价值3元;
九等奖 90分, 牙刷一把, 价值2元;
十等奖 75分与80分为优惠奖,仅收成本价22元,将获得洗发精一瓶;
解 表面上看整个活动对顾客都是有利的,一等奖到就等奖都是白得的,只有十等奖收取一点成本价.但经过分析可以知道商家真的就亏损了吗？顾客就真能从中获得抽取大奖的机会吗？用以上方法分析一下并求得其期望值真相就可大白了.摸出10个球的分值只有11种情况,用X表示摸奖者获得的奖励金额数,一等奖等分100分,其对应事件,取值为2500、1000、176、88、44、8、5、3、2、-22,概率可以类似求出,其概率分布为：
表3 超市抽奖时间概率分布

2500
1000
176
88
44

0.000 005
0.000 005
0.000 541
0.000 541
0.010 96

8
5
3
2

0.077 941
0.238 693
0.077 941
0.010 96
0.582 411

表明商家在平均每一次的抽奖中将获得10.098元钱,而平均每个抽奖者将花10.098元钱来享受这种免费的抽奖.从而可以看出顾客真的就站到大便宜了吗？相反,商家采用这种方法不仅把快要到期的商品处理出去了,而且还为超市大量集聚了人气,不愧为一举多得.此百货超市老板运用数学期望估计出了他不会亏损而做了这个免费抽奖活动,最后一举多得,从中也看出了数学期望这一科学的方法在经济决策中的重要性.
3.5 资金投资问题
例5某投资者有10万元,现有两种投资方案：一是购买股票,二是存人银行获取利息．买股票的收益主要取决于经济形势,假设可分三种状态：形势好、形势中等、形势不好(即经济衰退).若形势好可获利40000元;若形势中等可获利10000元;若形势不好要损失20000元．如果是存人银行,假设年利率为,即可得利息8000元.又设年经济形势好、中等、不好的概率分别为, 和.试问该投资者应选择哪一种投资方案?分析：购买股票的收益与经济形势有关,存入银行的收益与经济形势无关．因此,要确定选择哪一种方案,就必须通过计算这两种投资方案对应的收益期望值来进行判断．
解 由题设可知,一年中两种投资方式在不同的经济形势下对应的收益与概率如下表所示购买股票
表4 收益与概率统计表
状态
经济形势好
经济形势中等
经济形势不好
收益
40000
10000
20000
概率
0.3
0.5
0.2

表5 存入银行收益
状态
经济形势好
经济形势中等
经济形势不好
收益
8000
8000
8000
概率
0．3
0.5
0.2
从上表可以初步看出,如果购买股票在经济形势好和经济形势中等的情况下是合算的,但如果经济形势不好,则采取存人银行的方案比较好下面通过计算加以分析．如果购买股票,其收益的期望值=40000×0.3+10000×0.5+(-20000)×0.2=13000(元);如果存人银行,其收益的期望值=8000×0.3+8000×0.5+8000×0.2=8000(元)．因此,购买股票的收益比存入银行的收益大,按期望收益最大原则,应选择购买股票．该题是按风险决策中的期望收益最大准则选择方案,这种作法有风险存在.
3.6 决定生产批量问题
决定生产批量问题是风险型经济决策问题.这种经济决策问题是物流企业进行生产决策经常遇到的.选择何种方案,多少产量直接关系到企业成本的控制,收益的高低,这些问题都是关系到企业管理和运营的重大问题,同时也困扰很多管理者.简易可行的解决方法就是利用期望收益最大的原则进行方案选择：即进行备选方案的收益(或损失)比较,选择收益(或损失)最大(最小)的方案.
例6 某厂决定今后5年内生产某电子产品的生产批量,以便及早做好生产前的各项准备工作.根据以往销售统计资料及市场调查和预测得知：未来市场出现销路好、销路一般、销路差三种状态的概率分别为0.3、0.5和0.2,若按大、中、小三种不同生产批量投产,今后5年不同销售状态下的益损值如下表所示：试作出分析,以确定最佳生产批量.
表6 生产方案决策问题损益表
行动方案
销路好
销路一般
销路差
0.3
0.5
0.2
大批量生产益损
20
14
-2
中批量生产益损
12
17
12
小批量生产益损
8
10
10
解 比较期望益损法是常用的决策方法之一,下面算出每一方案的期望益损：

比和均大,所以认为选择中批量生产方案为优.
3.7 减少工作量问题
例7 某商场对员工(人)进行体检．其中普查某种疾病需要逐个验血,一般来说,若血样呈阳性,则有此种疾病,呈阴性则无此疾病逐个验血需要次,若很大验血的工作量也很大,为了能减少验血的工作量,有人提出想法：把个人的血样混合后再检验,若呈阴性则个人都无此疾病,这时个人只需作一次检验,若呈阳性,则对个人再分别检验,这时为弄清谁有此种疾病共需检验次;若该商场员工中患此疾病的概率为．且各人得此病相互独立．那么此种方法能否减少验血次数？若能减少．那么能减少多少工作量？
解 个人的血呈阴性的概率为,因而个人的混合血呈阴性反应的概率为,个人的混合血呈阳性反应的概率为设以个人为一组时,组内每人化验的次数为,则是一个随机变量,其分布率为
表7 商场体检化验分辨率分布

1-

的数学期望为

个人平均化验的次数为

由此可知,只要选择使

则个人平均需化验的次数小于.当固定时,我们选取使得

小于1且取到最小值,这时就能得到最好的分组方法.
例如,,,当时,取到最小值.此时得到最好的分组方法.若,此时以分组,平均只需化验

这样平均可以的工作量.
4 数学期望在多级决策中的运用
有些决策问题,当进行决策后又会产生一些新情况,并需要进行新的决策,接着又有一些新情况,又需要进行新的决策.这样决策、情况、决策、情况……构成一个序列,这就成了序列决策.这种情况我们采用决策点,事件点及结果构成的树形图来描绘,用最大收益期望值来作为决策准则.下面以一个例子来加以说明：
例8 设有某石油钻探队,在一片估计能出油的荒田钻探,可以先做地震试验,然后决定钻井与否,或不做地震试验,只凭经验决定钻井与否.做地震试验的费用每次3000元,钻井费用为10000元.若钻井后出油,这井队可收入40000元,若不出油就没有任何收入.各种情况下估计出油的概率：
（1）试验的到好的结果为0.6,不好的结果为0.4.
（2）试验好的结果钻井出油概率为0.85,不出油的概率为0.15.
（3）试验结果不好的结果钻井出油的概率为0.1,不出油的概率为0.9.
（4）不试验直接钻井出油的概率为0.55,不出油的概率为0.45.
解 以上问题属于决策、情况、决策这种决策序列问题.首先建立结构树形图：
收入
[1]
(2)
[2]
试验
好
钻井
(1)
出油
-10000
不出油
[3]
(3)
钻井
不钻井
不好
0.15
出油
-10000
0.85
0.4
0.1
0.9
-3000
0.6
不出油
0
0
0
40000
40000
[4]
(4)
不出油
不钻井
钻井
出油
不试验
-10000
0.55
0.45
0
0
40000
[]表示决策点；（）表示事件点； 表示收益点；负值表示支付.

多级随机决策问题采用逆决策顺序方法求解;
第一步,计算事件点（2）（3）（4）的收入期望值

将收入期望值标在相应的决策点处,可得简化后的决策图：
期望收益
[1]
[2]
试验
好
钻井
(1)
-10000
[3]
钻井
不好
-10000
0.4
-3000
0.6
0
0
34000
4000
[4]
钻井
不试验
-10000
0
22000
[]表示决策点；（）表示事件点； 表示收益点；负值表示支付.

第二步,最大收益期望值决策在决策点[2]有：

对应的策略为应选策略,即钻井;在决策点[3]有：

对应的策略为应选策略,即不钻井;在决策点[4]有：

对应的策略为应选策略,即钻井;
第三步,在决策图形中保留各决策点的应选方案,把淘汰策略去掉,得到下图形：
[]表示决策点；（）表示事件点； 表示收益点；负值表示支付.
期望收益
[1]
试验
好
(1)
0.4
-3000
0.6
0
12000
24000

事件点（1）的期望值为

从而可以看到决策点[1]有两个方案了;做地震试验和不做地震试验,各自的收益期为和12000. 有最大期望值

所对应的决策为应选决策,即不做地震试验.
这个问题最终决策为：不选择做地震试验,直接判断钻井,其收入期望值为12000元.
小 结
本文旨在通过介绍数学期望在现实经济生活中的决策作用和相关实例,希望能在今后的生活中,在经济决策中能起到一定的指导作用.在文章的开始,即第一章和第二章中,对数学期望的定义和经济决策的定义分别作介绍.为接下来的举例中提供相应的理论依据和问题解决步骤.当然,此依据和解决方案是在非特殊状态下实现,即不考虑个人心理因素或者特殊的环境变化下做出的决策,就像在第二章结尾说道的:由于心理环境等多种因素的影响使人们常常处于不理智的状态,因而很多时候不能保证完全遵循公理.在接下来的两章,通过最佳进货,利润最大,委托代理,超市抽奖,资金投资,批量生产,减少工作量,以及类似于石油钻探等单级和多级决策问题进行相应举例说明.这些事例完全取自于现实生活.
在现实社会中由于不确定因素太多,加上商业竞争太严重,因此人们在做经济决策时就会相当谨慎,常常会在多个决策中找出最好的一个方案.数学期望则成为了决策者们首选的一个帮助决策的科学方法.通过举例来说明了数学期望在经济决策中的重要作用,他作为一个数学工具被我们的管通过以上的举例还总结出了数学期望在经济决策中运用的一般方法.然而现实的社会中往往不是简单的一次决策就能选出最优方案的,而是有多个决策点环环相扣的,我们称之为多级决策,本文对多级决策问题也加以了阐述并总结出了数学期望在多级决策中运用的一般方法供决策者们参考.

18

参考文献
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致 谢
大学生活一晃而过,回首走过的岁月,心中倍感充实,当我写完这篇毕业论文的时候,有一种如释重负的感觉,感慨良多.
写毕业论文的这段时间是我学生生涯中最有价值的一段时光.这里有治学严谨而不失亲切的老师,有互相帮助的同学,更有向上、融洽的学校生活氛围.借此论文之际,我想向所有人表示我的谢意.
首先感谢我的指导老师——郑秀亮老师.本论文是在老师的指导下和同学们的帮助下修改完成的.在此,我要向他们的细心帮助和指导表示由衷的感谢.在这段时间里,我从他们身上不仅学到了许多的专业知识,更感受到他们工作中的兢兢业业,生活中的平易近人.此外,他们严谨的治学态度和忘我的工作精神值得我去学习.
非常感谢大家在我的毕业设计中,给予我极大的帮助,使我对整个毕业设计的思路有了总体的把握,并耐心的帮我解决了许多实际问题,使我有了很大的收获.同时,他们在整个论文整理过程中提出了许多建设性意见,并给我解决了一些学术性问题.
感谢多年来传授我知识的老师们,更要感谢那些对我学习上支持和鼓励的人.同时感谢所有关心帮助过我的同学、老师和学校.
总之,在以后的学习生活中我将以加倍的努力对给予我帮助的学校、老师及同学们以回报.