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数学操作——让活动与思想共舞的重要载体
江苏省南通师范第一附属小学朝晖校区（226001） 冯桂群 电话：[phone]

关键词：数学操作 摆弄学具 操弄语言 意义重构 实施策略
内容摘要：将数学操作的意义重构为：摆弄学具的数学操作——实物操作、手势操作、肢体操作；书写语言的数学操作——画图、列表、标注、列举、摘录、列算式、写关系式、书面表述。借助有序性与提升性并举、多元性与适切性并重、灵活性与简约性相融、创新性与儿童性相济、操作与观察倾听想象表述等相结合的实施策略，数学操作一定会摆脱当下的“不给力”，在促进有效建模、积累活动经验、习得策略方法、磨砺数学思维、突破学习难点、学会多元表征、渗透数学思想等方面发挥一指千斤、一手通天的神奇功效。

苏霍姆林斯基曾说过：儿童的智慧在他的手指尖上。在新一轮的数学课程改革中，如何借助“数学操作”拨动学生智慧的琴弦，让学生充分地积累活动经验，感悟抽象、推理、建模等数学思想，培养创新意识和实践能力，成为一线教师迫切需要思考和研究的重要课题。“为了解除困惑，老师们常常把目光转向专家和理论，而他们常常又会发现，专家们的观点似乎并不一致，理论也似乎没有定论。于是，又形成了新的困惑。要改变这种现象，教师成为研究者至关重要”。 ①联系自己近几年的教学实践与反思，我觉得可以从数学操作的意义重构与实施策略上下功夫，让数学操作成为数学活动与数学思想共舞的重要平台，从而很好地落实基础知识、基本技能、基本活动经验和基本数学思想的四基教学目标。
一、 数学操作的意义重构
2011年版的《数学课程标准》中指出：认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。这里仍强调了“动手实践”的重要性。那动手实践,也就是我们常说的数学操作在实际课堂教学中的实施情况如何呢？《让操作真正成为理解算理的有效平台》（《小学数学教师》2012年第5期，孙婧）、《小学数学动手操作教学中的误区及对策》（《江苏教育研究》2012.3b,翁红梅）等文章都说明了数学操作在实际教学中的“不给力”。华东师范大学数学系的鲍建生教授认为：目前，数学应用与数学建模已经成为我国数学教学中的一种基本活动，但存在着不少“伪情境”、“伪应用”的现象，许多数学建模活动也都停留在低层次的、工匠式的操作上。②
究其主要原因，我们觉得有两点非常明显：一是缘于对数学操作的片面认识，多数一线教师狭隘地将数学操作等同为实物操作，“出现了过度甚至滥用实物操作活动的现象”③,使学生的思维水平大多停留在低层次的具象操作层面；二是缘于未掌握相应的实施策略，使操作活动游离于数学化活动和知识本质内核之外，使学生的思维不能实现由动作思维向表象思维、抽象思维的理性飞跃，使操作活动只有“操作味”，没有“数学味”。
布鲁纳关于儿童心智成长的研究表明：“儿童获得一个数学概念的过程是以线性方式从动作表征过渡到图象表征，最后到抽象思考。在动作表征中，儿童的思维必须借助于实物或具体物的实际操弄活动来达成；图像表征是当具体物消失时，在儿童的脑中能依据实物的影像，自己制作心像而进行内在的思维活动；而达到抽象思考的活动阶段的儿童则能直接对数学符号进行思维操作。”④因而对于中小学生而言，一般要经历从实物操作到表象操作再到符号操作的三个阶段。除表象操作是在大脑中借助想象完成的以外，实物操作和符号操作都是需要用手去完成的操作活动。
小学数学学习中的数学操作，是学生以动手摆弄、书写为主，同时伴有动眼观察、动耳倾听、动口表述等多种感官协调参与学习的外显行为操作活动，它总是与学生正在进行的内化建模活动或外化用模活动相呼应，是学生内隐的思维活动的外在行为表征。因而，我们觉得数学操作应包括两大类，即以动手摆弄学具为主的数学学具操作和以动手书写语言为主的数学语言操作。心理学家加里培林认为:智力技能的形成是一个从外部的物质活动向内部的智力活动转化的过程，一般要经历下述五个阶段：活动的定向阶段，物质化活动阶段，出声的外部言语阶段，无声的外部言语阶段，内部言语阶段。⑤我这里讲的数学操作就相当于物质化活动阶段——即借助实物、模型、图表等进行的操作活动。当然，无论是智力技能的内化或外化，都是要通过外部的物质化活动——数学操作等来实现与表征的。
1、摆弄学具的数学操作——实物操作、手势操作、肢体操作。
著名心理学家皮亚杰说：“儿童的思维是从动作开始的，切断动作与思维的联系，思维就不能得到发展。”借助于摆弄实物、比划手势、活动肢体等的数学操作，可以帮助学生积累相应的活动经验和感性认识，加速学生头脑中相应表象的生成，培养学生的动作性思维，为之后的表象操作与符号操作做好铺垫，同时也能激活学生主体参与意识，在亲历亲为中体验“生命在场”的探索历程。
苏教版四年级下册的《图形的旋转》一直是学习中的难点。在教学的第一板块——研究生活中风车、指针和纸片等物体的旋转从而明确旋转三要素（定点、方向、角度）中，我就适时地运用了以上的三种操作方式，为之后学生顺利地画出旋转90度后的简单图形做好了表象、概念、技巧等多方面的准备工作，很好地突破了学习的难点，让学生感受到学习的轻松、愉悦与美好。在引导学生观察风车的旋转方向之后，我让学生分别用手势比划出风车的两种旋转方向——顺时针旋转与逆时针旋转，并通过食指书空，与老师同步板书出表示旋转方向的记号，从而及时沟通了感性经验与抽象符号之间的实质性联系。之后又组织学生在举手臂的游戏中进一步巩固了旋转方向，学生的参与热情非常高，效果很好。我觉得身体与平举的手臂正好构成了一个十字坐标的生活原型，坐标中四个象限的8种旋转情况正好在手臂的运动中地得到了活灵活现的巩固。所以，人的双手与身体真是绝好的学具，能在瞬间打通抽象与直观之间的壁垒。在研究时钟、转盘、台秤等物体的指针旋转时，我适时地引导学生在观察、想象之后用手臂比划指针按一定方向旋转90度的位置，让学生在手势操作中感悟到旋转的规律：横着的指针旋转90度后会竖起来，竖着的指针旋转90度后会横过来。最后组织学生边想象边玩旋转三角形纸片的实物操作游戏，让学生从整体上感知旋转前后纸片的位置情况。这些就为后面研究一条线段、两条线段及封闭图形的旋转位置积累了很好的活动经验与感性认识。
实际教学表明，在引导学生动手摆弄学具的过程中，应积极地引导学生边操作边动口表述操作过程，或先想象再操作验证，或先操作再让学生闭眼想象出刚才的操作过程，从而很好地强化感知信息，为学生顺利地由学具操作过渡到表象操作再到语言操作铺路搭桥。
2、书写语言的数学操作——画图、列表、标注、列举、摘录、列算式、写关系式、书面表述。
“数学语言”指的是用于表达数学内容的语言，包括符号语言、文字语言和图表语言等三方面。“借助于符号、文字和图表等数学语言，学生可以进行相关的画图、列表、标注、列举、摘录、列算式、写关系式等逐步抽象化的书写操作活动，实现对内隐数学思维活动的直观可视化和具体流程化的表达，使学生的思维由模糊到清晰、由局部到整体、从无序到有序，从而发展学生的心智技能，增强解决问题的策略意识和实践能力。”⑥
在教学苏教版一年级下册第61页的相差问题时，我先与孩子玩石头、剪子、布的手势游戏，如果师生出的都是剪刀， 伸出的手指数就是2和2，两数相等；如果是剪刀和布（石头），就是2和5（0）。两数不相等，必然一大一小，那相差多少呢？于是引导学生先将2和5用自己喜欢的符号画下来，然后让学生在观察、对比中将相差的3个圈出来，同时在旁边标注大数、小数、差数，同时引发思考：怎样由已知的2和5求出相差数3？列出算式5-2=3后，让孩子边说边写出5-2=3的含义：5比2多3，2比5少3，5和2相差3，2和5相差3。之后再组织孩子在同座合作中按做手势、画图、圈圈、标注、列式、写含义的过程进行变式学习。最后让学生反思学习的过程，发现并写出求相差数的关系式：大数-小数=相差数。至此，数学模型的建立与内化已经在轻松、流畅的玩玩、写写中高效地达成了。而这些，都源于教者自然无痕地引领学生展开了比划、画图、标注、列算式、写关系式、书面表述等数学学具和数学语言的多元化操作活动，使学生的思维自然由动作思维提升到表象思维再到抽象思维，突显了思维活动的梯度和深度，使思维能力和实践能力的培养得到落实。
特级教师唐彩斌老师认为：“在头脑中能够进行操作，能够用准确的语言表达，那是更理想、更高层次、更高效的教学追求。”引领学生进行摆弄学具和操弄语言的数学操作活动，目标就是为了让学生最终摆脱外在的学具与工具的束缚，在大脑中进行内隐、无形、自动化、压缩化、直觉化的高级思维操作，发展较强的抽象思维能力和创造思维能力。
二、数学操作的实施策略
从实际教学的反馈情况来看，要使数学操作的学习效益最大化，避免有热度无深度、有操作味无数学味、有活动无思考的无奈，教师在引领学生进行操作活动时要做到以下几点：
1、有序性与提升性并举
从数学学习心理学的角度看，教师要科学地遵循学生的认知规律，有意识地引领学生经历由学具操作到表象操作再到语言操作的内化建模过程，使学生的思维水平顺利地沿着具象到表象再抽象的阶梯逐步上升，体现操作活动的有序性和提升性。如在教学苏教版四年级下册的《搭配规律》时，我就有序、详尽地引领学生经历摆弄搭配图片并说搭配思路的学具操作过程，闭眼回想搭配思路的表象操作过程，以及表征搭配思路（用数字、字母、文字、画图、列举，连线等表示）、在3次变化搭配物体个数的情境中建立乘法模型（几个几，几乘几）、抽象出数量关系式的语言操作过程，从而让学生充分经历由具体到抽象的建模过程，使学生深刻理解了选配机会的均等性和选配种数的计算方法，培养了不完全归纳的合情推理能力，感悟了凝聚其中的建模思想和摆、画、算等逐步抽象化的数学方法。
实际教学中，部分一线教师常常只重视让学生进行数学学具操作（实物的，手势的，肢体的），而对数学表象操作、数学语言操作关注不够，常常在优生的带领下直接由学具操作跳跃到抽象数学模型。正是由于后2个数学操作活动的缺失，也就在建模过程中缺少了多次逐步的抽象与推理，这样就容易形成思维的断层，使大多数学生常常处于口欲言而心未达的状态，对知识的内涵领会不深，对模型的意义理解不透，留在脑海中的模型与其说是建的，不如说是机械地记下来和贴上去的，建模成了“贴模”。 这样学到的模型就缺少了迁移性和融通性，建模过程失去了担当学生“成长载体” 的作用。所以，开展数学操作活动一定要做到有序性与提升性并举。
2、多元性与适切性并重
让维耶等研究指出，多元表征是数学学习的内在组成部分。恰当应用多元表征，可以多角度地使数学学习对象具体化，可以使数学问题解决变得更加容易，可以使得数学更有趣味性和吸引力，不恰当的设计还会对学习起反作用。⑦借助学具操作的3种操作方式和语言操作的8种操作方式，可以灵活地引领学生对学习对象进行多元化的数学操作活动，实现对学习对象的多元表征，使学生找到最适合自己同时又最适合所学内容的操作方式，从而真正提高学习效率。
在教学苏教版一年级下册80页的《两位数减一位数的口算》教学中，我通过引领学生进行多元性的操作活动，很好地解决了孙婧老师提出来的《让操作真正成为理解算理的有效平台》的问题，同时让学生自主选择最易理解和掌握的方法进行口算练习，取得了很好的教学效果。教学“33-8”时，我先引导学生在头脑中想象出33根小棒是几捆几根，然后让学生边书空边看老师在黑板上画出3捆棒和3根棒。之后让学生看着小棒图思考：从3捆3根里去掉8根小棒，该怎么办？由于在平时教学中注意培养学生的发散思维能力，孩子们想到了四种方法：13-8+20，33-3-5，30-8+3，10-8+23。借助黑板上的小棒图动态演示每种算法的过程之后，我带领学生着重将第一种算法的摆棒过程进行了符号标注和列出算式的语言操作，算式为：13-8=5，20+5=25。之后练习想想做做的第一题，让学生在画图、标注、写算式的语言操作中进一步明白算理、巩固算法。而当想想做做的2-4题中不再出现小棒图与算式时，我启发学生借助想象、联想及符号标注，将口算思路简洁地表示出来，交流时再让学生看着自己写的符号标注说出口算的两个步骤，教学效果非常好。而简约的符号标注是我在教学预设中的学法创新，它成了学生摆脱小棒图、掌握口算步骤的工具性脚手架。不过，我班上却有2个孩子对这样的简约标记置之不理，崔洺恺仍乐此不疲地拨弄着他的小手指，在手舞口念中找到得数，而王陈倩总要借助画小棒图或摆小棒图才能算出来。对他们来说，直观地做手势、摆小棒或画小棒要比抽象的符号操作更容易、更方便。我尊重他们的选择，并静心等待他们思维水平的逐步提升。
3、灵活性与简约性相融
在组织学生进行操作活动时，教师一定要遵循“效益最大化原则”，让学生以最少的投入换来最大最好的发展。所以选择操作方式时要删繁就简，在简单中求丰富。如在学具操作中，能用手势操作的就不要用实物操作。毕竟十指连心、一指千斤、心灵手巧，能 “使学生把注意力放在最主要、最本质的东西上”（ 苏霍姆林斯基语）。
我在教学“认识人民币”时，课前布置孩子们事先在家里与父母一起玩换钱的游戏，上课时，我启发孩子借助10个手指来记住一元等于10角，一角等于10分。一元可以换成几张1角，或几张5角或几张2角呢？我同样引导孩子边看手指边思考。由于有了直观物象的支撑，孩子们很快就理解并记住了一元等于10个1角，或等于2个5角，或等于5个2角。即使以后忘了也没关系，手一伸一看就解决问题了。手势操作方便快捷地突破了“换钱”的学习难点。
同时，在引导学生进行由学具操作提升到语言操作的过程中，不要机械地按照实物操作、手势操作、肢体操作、闭眼想象、画图、列表、列式、写关系式等刻板的流程来进行，而要灵活地优化组合多种操作方式，以求操作活动与思维活动的优质高效。如果学生原先积累的感性经验比较丰富，就可以跳过摆弄学具的数学操作，直接进入操弄语言的数学操作。如上面提到的教学“33-8”时，我就没有让学生去摆小棒，而是直接让学生通过画小棒图来进行探究。如果借助丰富的学具操作能直接建立数学模型的，就无需再引导学生通过画图或繁琐的语言表述穷究算理。如在教学苏教版二年级下册第33-34页的“求大小数的实际问题”时，我让学生通过手指游戏合作比划 “比10多几是几”和“比5多几是几”， 同时边看边想边说边听：比（ ）多( )是( ),算式是：( )+( )，从而借助丰富的感性认识直接建构数学模型----比几多几的数是大数，用加法算；通过分组比划“比10少几是几”和开展“我做你猜”的游戏，让学生直接建构数学模型“比几少几的数是小数，用减法算。”数学模型的建构过程流畅简洁而富有变化，学生始终全身心地投入其中，乐此不疲！然后指导学生正确画批比字句和口头表述比字句的含义，使学生准确理解和掌握比多比少应用题的数量结构和数量关系，同时引导概括出解题的三个步骤：找出比字句，画批比字句，确定加减法，从而扎实地提高了学生解决问题的能力，发展了学生初步的数学思考，培养了学生的语言表达能力。
4、创新性与儿童性相济
操作方式的预设与创新只有紧扣数学知识的内核，同时拥有“儿童的立场”，符合儿童
身心发展的规律，融入儿童喜闻乐见的因子，才能达到预期的操作效果。
如在教学苏教版二年级下册90-91页的《认识几时几分》时，我引导孩子借助观察、手势操作、口语表述等学习方式，找到了认读时刻的巧妙办法。认读时刻时，学生先用食指按顺时针方向从12起比划出时针走过的轨迹，边说：短时针走过了几大格，再用食指按顺时针方向从12起比划出分针走过的轨迹，边说：长分针走了几小格，所以是几时几分。这里，手势操作尤如庖丁手中的小刀，对付《认识几时几分》这头众人眼中的“犟牛”，可谓游刃有余、举重若轻！
再如教学苏教版数学第十一册第89-90页的《解决问题的策略---替换》例1时，大多数老师是借助图片操作或画图操作直接引入列式操作的。但替换思路较复杂，替换步骤较多，有关相差关系的替换更是如此，所以当学生面对纯文字或数目较大的替换问题时，常常是无从下手、束手无策。我通过用心钻研教材并通过多次试教，最终找到了“画图、列表、列式、表述”的最佳操作流程，教学效果极佳。教学例1时，我先借助学生各自的画图展示和交流时电脑的动态演示，让学生在头脑中清晰地建立了利用倍数关系进行替换的直观表象，初步感受了替换前后数量之间的关系。之后，及时地引入用列表的方式整理替换思路，从而架起了图形语言与符号语言之间的桥梁，使学生的感性认识逐步抽象化和形式化，使得列式解答的模型刻画呼之欲出，使得替换过程中变与不变的规律一目了然，同时也为学生之后尝试用列表展示相差关系的替换思路和学习假设的策略打下了伏笔，并提供了可迁移的工具性思维支架——列表。
寻找最佳操作方式的过程是教师不断深研教本与生本的过程，也是在大胆尝试后需要不断反馈反思、反复调整的创新过程，是提升教学水平与教学智慧的成长过程。
5、操作与观察、倾听、想象、表述等相结合
心理学家皮亚杰认为：“智慧从动作开始，学生的多种感官参与认知活动，可以使信息不断地刺激细胞，促使思维活跃，便于储存和提取信息，同时易于激发学生的好奇心和求知欲，产生学习的内驱力。”古书《学记》中说：学无当于五官，五官弗得不治。意思就是说，学习时如果不能让多种感官协同参与进来，是不能优质高效地学习的。实际的教学实践也很好地证明了数学操作要与动眼观察、动耳倾听、动口表述、动脑想象等多种操作活动和思维活动有机结合起来，使数学学习真正走向体验性、活动性、参与性、思考性，使学生在数学学具操作、数学表象操作、数学语言操作的有序过渡和整合提升中，自然实现由动作思维到表象思维再到抽象思维和创造思维的提升，从而增加实践活动的智慧含金量，使创新精神和实践能力的培养真正得以实现。
视界决定境界。有了对数学操作的意义重构，掌握了数学操作的实施策略，数学操作一定会摆脱当下的“不给力”，使摆弄学具和操弄语言的数学操作成为舞动学生思维灵感和思想火花的一对翅膀，并在促进有效建模、积累活动经验、习得策略方法、磨砺数学思维、突破学习难点、学会多元表征、渗透数学思想等方面发挥一指千斤、一手通天的神奇功效。
[1] [2][3] [4] 数学学习的心理基础与过程：鲍建生 周超[M]．北京师范大学出版社，2012·（1）：7，115，231，113
[5]普通心理学：叶奕乾 何存道 梁宁建308[M]．华东师范大学出版社，2004：308
[6]数学操作——突显数学思考的过程：冯桂群[J]．江西教育，2012·（6）：15-16
[7]数学多元表征学习及教学：唐剑岚[M]．南京师范大学出版社，2009：6
作者简介：冯桂群，女，1970年生，汉族，文学学士，中学高级教师，江苏省南通市学科带头人，曾获南通市优课评比一等奖。在多年的小学数学教学中，始终践行全感皆动、全员互动、全程跃动的“三动”教学模式，注重对教材内涵的挖掘与把握，关注儿童的学习现实与学习需求，致力于建构有趣、有序、有思、有创的理想课堂，有近六十篇论文在省级以上报刊发表。手机：[phone]，E-mail: fgq_70@ , 邮编：226001，联系地址：江苏省南通师范学校第一附属小学朝晖校区。
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