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高二数学期中复习学案——概率
一、知识梳理
1、随机事件的概率（为随机事件）
， ，
2、古典概型的特征：
（1）事件
①基本事件：在一次随机试验中可能出现的每一个 ．
②等可能基本事件：在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为 事件．
（2）古典概型的特点
① 所有的基本事件只有 个．
②每个基本事件的发生都是 的．
（3）古典概型的计算公式
如果一次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是 ；如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率P(A)= ，即P(A)＝.
3、几何概型
（1）几何概型的定义：
对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这里的区域可以是 等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．
（2）概率计算公式：
在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝ ．
4、互斥事件与对立事件的概率
（1） 两个事件称为互斥事件； 两个事件称为对立事件．
（2）如果事件A、B互斥，则事件A＋B表示事件A、B至少有一个发生的概率等于 ，即 ．
（3）如果事件A、B为对立事件，则概率满足的关系为 ．
注：
1、有序地写出所有基本事件及某一事件A中所包含的基本事件是解古典概型问题的关键！
2、构建恰当的几何模型是解几何概型问题的关键！
3、求某些复杂事件（如“至多、至少”的概率时，通常有两种转化方法：
①将所求事件的概率化为若干互斥事件的概率的和；
②求此事件的对立事件的概率．
二、典型例题
题型1　古典概型的概率公式
例1　(必修3P95例3改编)将一枚骰子先后抛掷2次，观察向上的点数．
(1) 求两点数之和为5的概率；
(2) 求出现两个5点的概率；
(3) 求以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15内部的概率．

：
一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外其他特征完全相同，已知蓝色球3个．若从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是.
(1) 求红色球的个数；
(2) 若将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球、1号白色球、2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙大的概率．

题型2　几何概型的概率公式
例2　设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都为5cm.现用直径为2cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线有公共点的概率．

题型3 古典概型与几何概型的区别与联系
例3　设不等式组表示的区域为A，不等式组表示的区域为B.
(1) 在区域A中任取一点(x，y)，求点(x，y)∈B的概率；
(2) 若x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x，y)在区域B中的概率．

变式训练：已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)．
(1) 设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；
(2) 设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求复数z在复平面上对应的点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率．

题型4　互斥事件
例4　(2011·江西文)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
(1) 求此人被评为优秀的概率；
(2) 求此人被评为良好及以上的概率．

变式训练：
某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：
(1) 该队员只属于一支球队的概率；
(2) 该队员最多属于两支球队的概率．

三、课堂练习
1. (2011·福建)如图所示，矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于________．
2. 甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________．
3. (2011·江西理)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．

4. (2011·江苏)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．
5. (2011·全国)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为________．
6. (2011·福建理)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于______
7. (2011·广东)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为________．
8. 正四面体ABCD的体积为V，P是正四面体ABCD的内部的一个点．
(1) 设“VPABC≥V”的事件为X，求概率P(X)；
(2) 设“VPABC≥V”且“VPBCD≥V”的事件为Y，求概率P(Y)．

9．从3名男生和2名女生中任选了2人参加演讲比赛，计算：
(1) 所选2人都是男生的概率；
(2) 所选2人中恰有1名女生的概率；
(3) 所选2人中至少有1名女生的概率．

四、课后作业
1．下列事件：①射击运动员射击一次命中10环；②；③摸彩票时中奖；④水在标准大气压下，60℃时沸腾，其中随机事件的个数是
2．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么抛掷第999次时，出现正面朝上的概率是
3．某产品分一、二、三级，其中只有一级品是正品，若生产中出现正品的概率是0.97，二级品的概率为0.02，那么出现二级品或三级品的概率是
4．袋中装有白球和黑球各3个，从中任取2个，则“至多有一个黑球”的概率是
5．某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间不超过3分钟的概率是
6．在线段AB上任取三个点，则位于与之间的概率为
7．从1、2、3、4、5、6这六个数字中，不放回地任取两数，两数都是偶数的概率是
8．从一篮鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率是0.30，重量在克的概率是0.50，则重量不小于30克的概率是 11．根据多年气象统计资料，某地6月1日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该日晴天的概率为 ．
9．向边长为a的正三角形内任投一点，点落在三角形内切圆内的概率是 ．
10．从1，2，3，…，30中任意选一个数，求下列事件的概率：
（1）它是偶数；
（2）它能被3整除；
（3）它是偶数且能被3整除；
（4）它是偶数或能被3整除．
11．一个停车场有排成一排的3个车位，任意停放“红旗”“奔驰”“丰田”轿车各１辆，则“红旗”轿车停在“奔驰”轿车右边的概率是多少？“红旗”轿车停在最右边的概率是多少？

12．有一个等边三角形网格，其中每个最小等边三角形的边长都是cm，现用直径等于2cm的硬币投掷到此网格上，求硬币下落后与格线没有公共点的概率．

13．甲、乙两人进行压手指头游戏，游戏规则是：拇指胜食指，食指胜中指，中指胜无名指，无名指胜小指，小指胜拇指，若甲、乙两人随机地伸出一根手指，求甲胜的概率．