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阶段知能检测(一)
第Ⅰ卷　选择题(共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2011·安徽高考)集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,4,5}，T＝{2,3,4}，则S∩(∁UT)等于(　　)
A．{1,4,5,6}　　 B．{1,5}
C．{4} D．{1,2,3,4,5}
2．(2011·北京高考)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)
C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
3．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(　　)
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
4．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题：
①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.
其中正确的命题是(　　)
A．①与② B．①与③
C．②与④ D．③与④
6. (2011·广东高考)已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且y＝x}，则A∩B的元素个数为(　　)
A．0　　　B．1 C．2　　D．3
7．(2012·大连模拟)命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是(　　)
A．不存在x0∈R,2x0＞0　　　B．存在x0∈R,2x0≥0
C．对任意的x∈R,2x≤0 D．对任意的x∈R,2x＞0
8．(2011·湖南高考) “x＞1”是“|x|＞1”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
9．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题．
②“面积相等的三角形全等”的否命题；
③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
④“若A∩B＝B，则AB”的逆否命题．
其中真命题为(　　)
A．①② B．②③
C．④ D．①②③
10．(2012·杭州模拟)设0＜x＜，则“xsin2x＜1”是“xsin x＜1”的(　　)
A．充分而不必要条件　　B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
11．(2012·梅州模拟)已知命题p：∃a，b∈(0，＋∞)，当a＋b＝1时，＋＝3，命题q：∀x∈R，x2－x＋1≥0恒成立，则下列命题是假命题的是(　　)
A．p∨q B．p∧q
C．p∨q D．p∧q
12．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}．已知△ABC的三边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l＝max{，，}·min{，，}，则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
第Ⅱ卷　非选择题(共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)
13．命题“∃x∈R，x＝sin x”的否定是______．
14．(2012·佛山模拟)非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的________条件．
15．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，若P＝{1,2,3,4}，Q＝{x| ＜2，x∈R}，则P－Q＝________.
16．(2012·揭阳模拟)已知函数y＝lg(4－x)的定义域为A，集合B＝{x|x＜a}，若P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围________．
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)p：正数的对数都是正数；
(2)p：∀x∈Z，x2的个位数字不等于3.
18．(本小题满分12分)已知集合A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)＞0}，B＝{y|y＝x2－x＋，0≤x≤3}．
(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；
(2)当a取使不等式x2＋1≥ax恒成立的最小值时，求(∁RA)∩B.
19．(本小题满分12分)(2012·沈阳模拟)已知函数f(x)＝4sin2(＋x)－2cos 2x－1，x∈[，]．
(1)求f(x)的最大值及最小值；
(2)若条件p：f(x)的值域，条件q：“|f(x)－m|＜2”，且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
20．(本小题满分12分)已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．
21．(本小题满分12分)命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0.若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
22．(本小题满分14分)设命题甲：直线x＝y与圆(x－a)2＋y2＝1有公共点，命题乙：函数f(x)＝2－|x＋1|－a的图象与x轴有交点，试判断命题甲与命题乙的条件关系，并说明理由．
答案与解析
1【解析】　∁UT＝{1,5,6}，S∩(∁UT)＝{1,5}．
【答案】　B
2【解析】　由P＝{x|x2≤1}得P＝{x|－1≤x≤1}．
由P∪M＝P得M⊆P.又M＝{a}，∴－1≤a≤1.
【答案】　C
3【解析】　因为否命题是既否定题设，又否定结论，而“奇函数”的否定不是偶函数，而是“不是奇函数”，因此否命题应为“若函数f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”．
【答案】　B
4【解析】　a＝(4,3)，|a|＝＝5；当|a|＝5时，x＝±4.
【答案】　A
5【解析】　对于②，l与m可相交、平行、异面，不正确，对于④，α与β可相交，不正确．
【答案】　B
6【解析】　∵直线y＝x与单位圆x2＋y2＝1有两个交点，
∴A∩B的元素有2个．
【答案】　C
7【解析】　由特称命题和全称命题的否定可知，
命题“∃x0∈R,2x0≤0”的否定“∀x∈R,2x＞0”．
【答案】　D
8【解析】　|x|＞1⇔x＞1或x＜－1，故x＞1⇒|x|＞1，
但|x|＞1D/⇒x＞1(如x＝－2)，
∴x＞1是|x|＞1的充分不必要条件．
【答案】　A
9【解析】　①的逆命题为：“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；②的否命题为：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；命题③是真命题，所以它的逆否命题也是真命题．命题④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题．
【答案】　D
10【解析】　∵0＜x＜，
∴0＜sin x＜1，
由x·sin x＜1知xsin2x＜sin x＜1，因此必要性成立．
由xsin2x＜1得xsin x＜，而＞1，
因此充分性不成立．
【答案】　B
11【解析】　当a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1时，
＋＝(a＋b)(＋)＝2＋＋≥4≠3，
∴p为假命题．
对∀x∈R，x2－x＋1＝(x－)2＋≥≥0恒成立．
∴命题q是真命题，
∴p∧q是假命题．
【答案】　B
12【解析】　很显然，当△ABC为等边三角形时，＝＝＝1，此时l＝max{，，}·min{，，}＝1.由于a≤b≤c，故max{，，}＝，min{，，}＝min{，}，当≤，即ac≤b2时，只要×＝1，即b＝c，代入ac≤b2，得a≤b，也就是只要a≤b＝c且a，b，c能构成三角形的三边，都可以使l＝1；同理只要a＝b≤c，且a，b，c，能构成三角形的三边，都可以使l＝1，所以条件是不充分的．
综上可知“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要不充分条件．
【答案】　B
13【解析】　∵所给命题是特称命题，
∴它的否定应为全称命题．
【答案】　∀x∈R，x≠sin x
14【解析】　对于非零向量a，b，若a＋b＝0，则a＝－b，
∴a∥b.
但a∥b，有a＝λb(λ∈R)，不一定有a＋b＝0，
∴“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．
【答案】　充分不必要
15【解析】　因为x∉Q，所以x∈∁RQ，∵Q＝{x|－≤x＜}，∴∁RQ＝{x|x＜－或x≥}，则P－Q＝{4}．
【答案】　{4}
16【解析】　由4－x＞0，知A＝(－∞，4)．
又B＝{x|x＜a}，且“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．
∴AB，∴a＞4.
【答案】　(4，＋∞)
17【解】　(1) p：存在一个正数，它的对数不是正数．真命题．
(2) p：∃x∈Z，x2的个位数字等于3，假命题．
18【解】　A＝{y|y＜a或y＞a2＋1}，B＝{y|2≤y≤4}．
(1)当A∩B＝∅时，，
所以a≤－或≤a≤2.
(2)由x2＋1≥ax，得x2－ax＋1≥0，
依题意知，Δ＝a2－4≤0，则－2≤a≤2，
即a的最小值为－2.
当a＝－2时，A＝{y|y＜－2或y＞5}，
所以∁RA＝{y|－2≤y≤5}，
故(∁RA)∩B＝{y|2≤y≤4}．
19【解】　(1)∵f(x)＝2[1－cos(＋2x)]－2cos 2x－1
＝2sin 2x－2cos 2x＋1＝4sin(2x－)＋1.
又∵≤x≤，∴≤2x－≤，
即3≤4sin(2x－)＋1≤5，
∴f(x)max＝5，f(x)min＝3.
(2)∵|f(x)－m|＜2，∴m－2＜f(x)＜m＋2.
又∵p是q的充分条件，
∴，解之得3＜m＜5.
因此实数m的取值范围是(3,5)．
20【解】　由题意知a≠0，若命题p正确，
由于a2x2＋ax－2＝(ax＋2)(ax－1)＝0.
∴x＝或x＝－.
若方程在[－1,1]上有解，
满足－1≤≤1或－1≤－≤1，
解之得a≥1或a≤－1.
若q正确，即只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0.
则有Δ＝0，即a＝0或2.
若p或q是假命题．
则p和q都是假命题，有
所以a的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．
21【解】　由x2－4ax＋3a2＜0，且a＜0.得3a＜x＜a.
∴记p：对应集合A＝{x|3a＜x＜a，a＜0}．
又记B＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0}
＝{x|x＜－4或x≥－2}．
∵p是q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件．
因此AB.
∴a≤－4或3a≥－2(a＜0)，
解之得－≤a＜0或a≤－4.
22【解】　命题甲：若直线x＝y与圆(x－a)2＋y2＝1有公共点．
则≤1，－≤a≤.
命题乙：函数f(x)＝2－|x＋1|－a的图象与x轴有交点，等价于a＝2－|x＋1|有解．
∵|x＋1|≥0，－|x＋1|≤0，
∴0＜2－|x＋1|≤1，因此0＜a≤1.
∴命题乙⇒命题甲，但命题甲D⇒/命题乙．
故命题乙是命题甲的充分不必要条件．