数学思想方法（整体思想、转化思想、分类讨论思想）（一）.doc

专题知识突破五 数学思想方法（一）
（整体思想、转化思想、分类讨论思想）
一、中考专题诠释
数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．
二、解题策略和解法精讲
数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲
考点一：整体思想
整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。
例1 （2014•德州）如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，以A、B、C三点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是 1
．
思路分析：观察发现，阴影部分的面积等于正三角形ABC的面积减去三个圆心角是60°，半径是2的扇形的面积．．
考点二：转化思想
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。
例2 （2014•潍坊）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 尺．

思路分析：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．
考点三：分类讨论思想
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．　
例3 （2014•潍坊）经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；
（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？
（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．
思路分析：（1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；
（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；
（3）设车流量y与x之间的关系式为y=vx，当x＜20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论．
四、中考真题演练
一、选择题
1．（2014•威海）已知x2－2=y，则x（x－3y）+y（3x－1）－2的值是（　　）
A．－2 B．0 C．2 D．4

2．（2014•临沂）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的侧面积为（　　）
A．2π B．4π C．8π D．16π
3．（2014•济南）如图，直线y=－x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB沿直线AB翻折后得到△AO′B，则点O′的坐标是（　　）
A． B． C． D．

4．（2014•青岛）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为（　　）

A．4 B． C．4.5 D．5
5．（2013•菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 ，则 的值为（　　）

A．16 B．17 C．18 D．19
6．（2014•临沂）在平面直角坐标系中，函数 （x≥0）的图象为 ，关于原点对称的图象为 ，则直线y=a（a为常数）与 的交点共有（　　）
A．1个 B．1个或2个 C．1个或2个或3个 D．1个或2个或3个或4个
7．（2014•天门）已知m，n是方程x2－x－1=0的两实数根，则
的值为（　　）
A．－1 B． C． D．1
8．（2014•东营）如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为 ，则图中弓形的面积为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题
9．（2014•枣庄）已知x、y是二元一次方程组的解，则代数式 的值为为 ．
10．（2014•枣庄）如图，将四个圆两两相切拼接在一起，它们的半径均为1cm，则中间阴影部分的面积为 5．
11．（2014•江西）若α、β是方程 的两个实数根，则 = 8或2．
12．（2014•吉林）若a＜＜b，且a，b为连续正整数，则 = ．
13．（2014•青岛）如图，在等腰梯形ABCD中，AD=2，∠BCD=60°，对角线AC平分∠BCD，E，F分别是底边AD，BC的中点，连接EF．点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为 ．

14．（2014•东营）若函数 的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为 ．
15．（2014•烟台）如图，∠AOB=45°，点 在OA上， ，⊙ 的半径为2，点 在射线OB上运动，且⊙始终与OA相切，当⊙和⊙相切时，⊙的半径等于 （0，2），（0，-2），（-3，0），（3，0）
．

16．（2014•济南）如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于 ，0）
．

17．（2014•济南）如图，
△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B．若 ，则k的值为 ．

18．（2014•东营）在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，
，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是 cm．
5
三、解答题
19．2014•台州）某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s=12+3t，平均销售价格为9万元/吨．

（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；
（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润=销售总收入－经营总成本）．
①求w关于x的函数关系式；
②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？
（3）第二次，该公司准备投入132万元，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．
20．（2014•德州）问题背景：
如图1：在四边形ABC中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　　；

探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
21．（2014•潍坊）如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°，然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°，求两海岛间的距离AB．
22．（2014•义乌市）受国内外复杂多变的经济环境影响，去年1至7月，原材料价格一路攀升，义乌市某服装厂每件衣服原材料的成本y1（元）与月份x（1≤x≤7，且x为整数）之间的函数关系如下表：
月份x
1
2
3
4
5
6
7
成本（元/件）
56
58
60
62
64
66
68
8至12月，随着经济环境的好转，原材料价格的涨势趋缓，每件原材料成本y2（元）与月份x的函数关系式为y2=x+62（8≤x≤12，且x为整数）．
（1）请观察表格中的数据，用学过的函数相关知识求y1与x的函数关系式．
（2）若去年该衣服每件的出厂价为100元，生产每件衣服的其他成本为8元，该衣服在1至7月的销售量p1（万件）与月份x满足关系式p1=0.1x+1.1（1≤x≤7，且x为整数）； 8至12月的销售量p2（万件）与月份x满足关系式p2=－0.1x+3（8≤x≤12，且x为整数），该厂去年哪个月利润最大？并求出最大利润．
23．（2014•宿迁）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）求证：∠DHF=∠DEF．

24. （2014•宿迁）如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；
（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；
（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．

25. （2014•北京）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足－M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．
（1）分别判断函数 y=（x＞0）和y=x+1（－4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；
（2）若函数y=－x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；
（3）将函数 （－1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？
专题五 数学思想方法（一）
（整体思想、转化思想、分类讨论思想）
【重点考点例析】
考点一：整体思想
例1
解：连接AD．
∵△ABC是正三角形，BD=CD=2，
∴∠BAC=∠B=∠C=60°，AD⊥BC．
∴AD= ．
∴阴影部分的面积=×2×－3× ．
故答案为： ．
考点二：转化思想
例2.
解：如图：
解：如图，

一条直角边（即枯木的高）长20尺，
另一条直角边长5×3=15（尺），
因此葛藤长为 ．
故答案为25．
考点三：分类讨论思想
例3
解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b，由题意，得
，
解得： ，
∴当20≤x≤220时，v=－x+88，
当x=100时，v=－×100+88=48（千米/小时）；
（2）由题意，得 ，
解得：70＜x＜120．
∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；
（3）设车流量y与x之间的关系式为y=vx，
当0≤x≤20时
y=80x，
∴k=80＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴x=20时，y最大=1600；
当20≤x≤220时
y=（－x+88）x=－（x－110）2+4840，
∴当x=110时，y最大=4840．
∵4840＞1600，
∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值时4840辆/小时．
【备考真题过关】
一、选择题
1．答案：B
2．答案：B
3．答案：A
4．答案：A
5．答案：B
6．答案：C
7．答案：A
8．答案：C
二、填空题
9．答案：
10．答案：4－π
11．答案：10
12．答案：7
13．答案：
14．答案：m=±2或m=0
15．答案：3或15°
16．答案：4或8
17. 答案：6
18. 答案：8
三、解答题
19. 答案：解：（1）①当2≤x＜8时，如图，
设直线AB解析式为：y=kx+b，将A（2，12）、B（8，6）代入得：
，解得 ，
∴y=－x+14；
②当x≥8时，y=6．
∴A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为：
y= ．
（2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20－x）吨．
①当2≤x＜8时，
wA=x（－x+14）－x= ；
wB=9（20－x）－[12+3（20－x）]=108－6x
∴w=wA+wB－3×20
=（－x2+13x）+（108－6x）－60
= ；
当x≥8时，
wA=6x－x=5x；
wB=9（20－x）－[12+3（20－x）]=108－6x
∴w=wA+wB－3×20
=（5x）+（108－6x）－60
=－x+48．
∴w关于x的函数关系式为：
w= ．
②当2≤x＜8时， ，解得x1=9，x2=－2，均不合题意；
当x≥8时，－x+48=30，解得x=18．
∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨．

（3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m－x）吨，
则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为[12+3（m－x）]万元，
∴3m+x+[12+3（m－x）]=132，化简得：x=3m－60．
①当2≤x＜8时，
wA=x（－x+14）－x= ；
wB=9（m－x）－[12+3（m－x）]=6m－6x－12
∴w=wA+wB－3×m
=（）+（6m－6x－12）－3m
= ．
将3m=x+60代入得：w=
∴当x=4时，有最大毛利润64万元，
此时m=，m－x= ；
②当x＞8时，
wA=6x－x=5x；
wB=9（m－x）－[12+3（m－x）]=6m－6x－12
∴w=wA+wB－3×m
=（5x）+（6m－6x－12）－3m
=－x+3m－12．
将3m=x+60代入得：w=48
∴当x＞8时，有最大毛利润48万元．
综上所述，购买杨梅共吨，其中A类杨梅4吨，B类吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．
20. 答案：解：问题背景：EF=BE+DF；
探索延伸：EF=BE+DF仍然成立．
证明如下：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD－∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△GAF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，
∵∠AOB=30°+90°+（90°－70°）=140°，
∠EOF=70°，
∴∠EOF=∠AOB，
又∵OA=OB，
∠OAC+∠OBC=（90°－30°）+（70°+50°）=180°，
∴符合探索延伸中的条件，
∴结论EF=AE+BF成立，
即EF=1.5×（60+80）=210海里．
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
21．答案：解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°，
∴四边形ABFE为矩形．
∴AB=EF，AE=BF．
由题意可知：AE=BF=1100－200=900米，CD=1.99×104米=19900米．
在Rt△AEC中，∠C=60°，AE=900米．
∴CE= （米）． 
在Rt△BFD中，∠BDF=45°，BF=900米．
∴DF= （米）．
∴AB=EF=CD+DF－CE=19900+300－900=19000+300（米）．  
答：两海岛间的距离AB为（19000+300）米．
22答案：解：（1）由表格中数据可猜测，y1是x的一次函数．
设y1=kx+b   
 则
解得：
∴ ，
经检验其它各点都符合该解析式，
∴ （1≤x≤7，且x为整数）．
（2）设去年第x月的利润为w万元．
当1≤x≤7，且x为整数时， =（0.1x+1.1）（92－2x－54）= ，
∴当x=4时，w最大=45万元；                         
当8≤x≤12，且x为整数时，
，
∴当x=8时，w最大=48.4万元．
∴该厂去年8月利润最大，最大利润为48.4万元．
23．答案：证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DE、EF都是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，DE∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）∵四边形ADEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠BAC，
∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，
∴DH=AD，FH=AF，
∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，
∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，
∠DHA+∠FHA=∠DHF，
∴∠DHF=∠BAC，
∴∠DHF=∠DEF．
24．答案：（1）

证明：如图1，
∵EN∥AD，
∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．
∵点M为DE的中点，
∴DM=EM．
在△ADM和△NEM中，
∴

∴△ADM≌△NEM．
∴AM=MN．
∴M为AN的中点．

（2）证明：如图2，

∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，
∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．
∵AD∥NE，
∴∠DAE+∠NEA=180°．
∵∠DAE=90°，
∴∠NEA=90°．
∴∠NEC=135°．
∵A，B，E三点在同一直线上，
∴∠ABC=180°－∠CBE=135°．
∴∠ABC=∠NEC．
∵△ADM≌△NEM（已证），
∴AD=NE．
∵AD=AB，
∴AB=NE．
在△ABC和△NEC中，

∴△ABC≌△NEC．
∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．
∴∠ACN=∠BCE=90°．
∴△ACN为等腰直角三角形．
（3）△ACN仍为等腰直角三角形．

证明：如图3，此时A、B、N三点在同一条直线上．
∵AD∥EN，∠DAB=90°，
∴∠ENA=∠DAN=90°．
∵∠BCE=90°，
∴∠CBN+∠CEN=360°－90°－90°=180°．
∵A、B、N三点在同一条直线上，
∴∠ABC+∠CBN=180°．
∴∠ABC=∠NEC．
∵△ADM≌△NEM（已证），
∴AD=NE．
∵AD=AB，
∴AB=NE．
在△ABC和△NEC中，

∴△ABC≌△NEC．
∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．
∴∠ACN=∠BCE=90°．
∴△ACN为等腰直角三角形．
25．答案：解：（1）根据有界函数的定义知，函数y=（x＞0）不是有界函数．
y=x+1（－4≤x≤2）是有界函数．边界值为：2+1=3；
（2）∵函数y=－x+1的图象是y随x的增大而减小，
∴当x=a时，y=－a+1=2，则a=－1
当x=b时，y=－b+1．则

∴－1＜b≤3；
（3）若m＞1，函数向下平移m个单位后，x=0时，函数值小于－1，此时函数的边界t≥1，与题意不符，故m≤1．
当x=－1时，y=1 即过点（－1，1）
当x=0时， ，即过点（0，0），
都向下平移m个单位，则
（－1，1－m）、（0，－m）

≤1－m≤1或－1≤－m≤－，
∴0≤m≤或≤m≤1．
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