空间图形的基本关系与公理[习题与答案].doc

空间图形的基本关系与公理　课后作业
一、选择题
1．下列四个命题：
①分别在两个平面内的两条直线是异面直线
②和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条
③和两条异面直线都相交的两条直线必异面
④若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c也是异面直线
其中是真命题的个数为(　　)
A．3　　　　B．2　　　　C．1　　　　D．0
2．以下命题中：①点A，B，C∈直线a，A，B∈平面α，则C∈α；②点A∈直线a，a⊄平面α，则A∈α；③α，β是不同的平面，a⊂α，b⊂β，则a，b异面；④三条直线两两相交，则这三条直线共面；⑤空间有四点不共面，则这四点中无三点共线．真命题的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
3．对于空间三条直线，有下列四个条件：
①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；
③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．
其中，使三条直线共面的充分条件有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，则A1B与D1E所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
5．已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
二、填空题
6．空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定________个平面．
7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，经过其对角线BD1的平面分别与棱AA1、CC1相交于E，F两点，则四边形EBFD1的形状为________．
8．P是直线a外一定点，经过P且与直线a成30°角的直线有________条．
三、解答题
9.如右图所示，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)若AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形；
(3)当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．

10.如右图所示，已知四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面AC，且PA＝AD＝AB＝1，BC＝2.
(1)求PC的长；
(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小．

参考答案
1．D
2．解析：只有①⑤为真命题．
答案：C
3．B
4．解析：连结D1C，EC，用余弦定理解三角形可以求得答案．
答案：B
5．解析：连接AC、BD交于O，连接OE，因OE∥SD.所以∠AEO为所求．设侧棱长与底面边长都等于2，则在△AEO中，OE＝1，AO＝，AE＝＝，
于是cos∠AEO＝＝＝.
答案：C
6．7　7.平行四边形
8．解析：无数条，它们组成一个以P为顶点的圆锥面．
答案：无数
9．解析：(1)证明：在△ABC中，E，F分别是边AB，BC中点，所以EF∥AC，且EF＝AC，同理有GH∥AC，且GH＝AC，
∴EF∥GH且EF＝GH，故四边形EFGH是平行四边形；
(2)证明：仿(1)中分析，EH∥BD且EH＝BD，若AC＝BD，则有EH＝EF，又因为四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
(3)由(2)知，AC＝BD(四边形EFGH是菱形，欲使EFGH是正方形，还要得到∠EFG＝90°，而∠EFG与异面直线AC，BD所成的角有关，故还要加上条件AC⊥BD.∴当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形．
10．解析：(1)因为PA⊥平面AC，AB⊥BC，∴PB⊥BC，即∠PBC＝90°，由勾股定理得PB＝＝.
∴PC＝＝.
(2)

如右图所示，过点C作CE∥BD交AD的延长线于E，连结PE，则∠PCE为异面直线PC与BD所成的角或它的补角．
∵CE＝BD＝，且PE＝＝.
∴由余弦定理得cos∠PCE＝＝－.
∴PC与BD所成角的余弦值为.

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