千万别恨数学.doc

《数学，千万别学过火》
卷首语
译者序
前言
这件事发生在我教过的一个讨厌数学的学生身上。那个初中二年级的学生各个方面的学习能力都不怎么好，但更大的问题是他甚至没有一点点的学习欲望。虽然我也曾挖空心思地用尽了各种方法，但他的数学成绩还是没有什么提高。给他布置作业，他也总是找完这个借口找那个，敷衍一番了事，根本就不好好去做，布置10次的话，他能做上3次就不错了。作为老师，我很是头疼。
有一天我趁他解题的时候暂时离开了一下自己的位子，结果回来后发现他根本没在解题，而是在做“黑纸”（纸上写得密密麻麻，弄得跟复写纸一样到处都是黑的）。如果因为个人学习能力的差异而学不好，那我也是可以理解的，但他在上课的时候竟然当着我的面把我的话当成耳旁风！我禁不住怒气横生。
“喂！‘黑纸’就那么重要吗？内容都没理解就在上面写什么写？连什么内容都不知道，就知道在那儿做‘黑纸’，这算什么学习！”我吼道。结果，这个学生回答说：“老师，我不这样写的话得挨打20下，要是写了也就挨打10下。”这又是什么理论，写了也得挨打10下！“胡扯！写了怎么还得挨打10下？”“老师在上课的时候会再让我做这些写过的题，我不会做，当然得挨打。”真是荒唐的事情。我把课抛在一边，听那个学生说。
交谈了一会儿方才得知，原来在他居住的城市里，中考竞争非常激烈，要是考不好的话，就只能去竞争不激烈的职高或者离家远的二流学校，所以学校对学生们要求都很严格。他所在的学校也是如此，尤其是数学占总分数的比例很高，所以学校对数学的要求也就更苛刻。数学课上，老师每次都要把题目当作业布置下去，让他们把解题步骤写成“黑纸”交上来，上课的时候顺便测验一下。而他呢，“黑纸”倒是能交上，题目却不知道怎么做。他在整整一年的时间里几乎每天都得去学校挨10下打。要是连那个“黑纸”也不做的话，就得挨20下打。他的朋友当中有一个人因为厌恶了这种挨打的生活而离家出走。这样的现实令我很是生气，心里隐隐作痛。即使不至于到这种程度，数学也绝对是令很多学生耿耿于怀的一个科目。哪怕是现在已经成年了的人，一提到数学就直摇头的也大有人在。看起来，他们也都有那么一两个与数学有关的“不堪回首的记忆”。
难道就没有学好数学的方法吗？
问老师的话，老师会这样回答：“多做题就是最好的方法。”介绍数学学习方法的书更煞有介事地说：“学习的时候要开动脑筋。”“运算能力一定要好。”“理解比死记硬背重要得多。”“务必打好基础。”
但一问道：“是吗？那以我的水平，用这本辅导书，应该怎么去学呢？”他们就立刻哑口无言了。
即使问数学学得不错的朋友，他们也只能支吾出一句：“嗯？好好努力就行了吧！”话倒是没错，但这个回答对现实却一点儿帮助也没有。在我们这个以考试为评价尺度的现实中，这样的回答能有什么作用呢？
在长期对学生进行单独辅导的过程中，我一直在努力寻求这些问题的答案。刚开始，我按照初、高中时学习的方式去教他们，结果失败了。于是我就对学习方法产生了兴趣，通过回忆当初我自己的学习方法，留心观察我教的学生们，以及多次的实践，渐渐地，我终于发现了一套学习数学行之有效的方法。此后我教的每个学生成绩都有了很大提高，实力迅速提升。我对这个方法进行研究的同时，也在教授学生的过程中不断加以完善。这个方法在很多学生身上都取得了良好的效果。
我所说的学习方法是指利用每个人手头上都有的教材（如教科书、辅导书、习题集）将数学实力提高一个层次的方法。
在高中的时候，我曾经把人手一本的数学辅导书反复学习了5遍，即便如此，仍像中了魔法一般，数学题看了又看结果还是落得个糊里糊涂。如果那时候就知道这种方法的话，恐怕就不会觉得数学那么难了。数学搞定了，也就能在其他科目上投入更多的时间了。不管是什么辅导书，只需学习两遍就能完全掌握；不管遇到什么题目，都能从容地解答出来。只要各位按照我说的学习方法去学习，具备这样的实力是指日可待的事情。
我在这本书里介绍了通过很多学生的失败和成功总结出来的宝贵经验，并以这些经验为基础，有针对性地进行了分类整理。这本书清晰地指明了把数学成绩从垫底提高到上游生水平的捷径，只要照着去做，成绩一定会有显著提高的。
现在该轮到大家下一个小小的决心去尝试一下了！
第一部分：数学越来越糟糕的原因
1.根基不实
如果谁胆敢说“数学真容易！”的话，恐怕会被周围的人痛殴一顿，也许还会被看做傲慢的人而受到孤立。我遇到的大部分学生都会感叹：“数学太难了！”在他们看来，就算自己尽力了，随着年级的升高，数学还是会变得越来越难。
“到底谁会觉得数学简单呀！”
不妨来思考一个问题。
如果问初中生“5+7等于多少？5×8等于多少？”的话，谁都可以轻而易举地回答是12和40。恐怕他们还会觉得问这个题目的人奇怪呢。这个题目为什么简单呢？在小学一二年级的时候也是简单的吗？不是。大家都有因为背不出九九口诀而在别人回家的时候被留在学校里继续背诵的记忆吧？在那时候这已经算是很难的题目了。还有，大家之中肯定有一些人上了高中后曾给初中生解答过一次方程式。
“喂！这个这样做不就可以了！你是木头脑袋呀？！”成了青蛙，就忘掉自己是蝌蚪的时候了，就知道一味地去斥责别人。然而，看自己现在学的数学辅导书时却还是长吁一声，叹道：“这个到底怎么做啊？”为什么自己学的题目总是那么难，一点儿解题的头绪都没有呢？如果找到了这个问题的答案，学起数学来就会容易多了。如果找不到，也就无从得知数学越学越难的理由了。
其实答案出奇的简单。
我们之所以在初中的时候会觉得小学的数学容易，是因为在初中学习的很多内容里，不
知不觉地又把小学的数学重新学习过了。
比如，小学时无法正确理解的负数概念，到了初中就能正确地理解了，加减法之类的题目也就简单多了。这也就意味着你已经确确实实具备了至少能解答小学题目的基本能力。要是能给初中生出小学的题目，给高中生出初中的题目该多好啊！然而，这是不现实的。作为高中生，如果只能很好地解答初中水平的题目是不行的，应该能从容地解答自己所在年级的题目才可以。
怎样才能解决这一问题呢？
初中生要对初中生必要的基础，高中生要对高中生必要的基础彻底地追根究底一番。这
就是我一直强调的追根究底式学习法。如果连四则运算(+，-，×，÷)都做不好的话，初、高中的数学是无论如何也不可能学好的。还有，如果连一次函数都不知道，就算学了二次函数、三次函数也不可能真正理解，要解答这类题目等于是在挑战绝不可能的事情。只有地基夯实了，上面的建筑才能牢固。如果没有一个坚实的地基，那建筑只能成为豆腐渣工程。
“哎！这谁不知道啊？当然要把基础彻底学好了！”有人可能如此反问。
“是吗？那该怎么学才好呢？”这样一问，他却说不出个所以然来了。
大家肯定都有认识到基础不足之后就把以前学过的东西再复习几遍，或者把以前学过的
东西再翻出来看看的经历，但仅仅做到这种程度，还是不够的。我要向大家介绍一种切实可行的方法，它是依据我所教过的学生们自己的经验总结而成的，大家很容易就能照着做，而且能看到实际成效，帮助大家切实打好基础。
在这儿我要介绍的追根究底式学习法是一种投入很少的时间就能打牢基础的方法。这种追根究底式的学习结束以后，大家的实力都能在不知不觉中提高一个层次，数学也就不在话下了。对基础追根究底，数学会变得越来越容易。如果对基础置之不理，只是一味地追求进度，搞题海战术，只会越学越糟糕。
2.贪多嚼不烂
在我认识的人中，曾经有一个人因为不遵医嘱服药过量而差点送了命。不管多好的药，如果服用过量就会成为毒药。运动员总是在对自己的运动量进行适当的调节。勉强熬夜训练，也许会被认为对实力的提高有所帮助，实际上对身体却是有百害而无一利。数学学习也是如此。自己学习的时候总有一个具有最佳效果的适当的量。如果超过了这个量，你就会抱怨“数学题怎么这么多啊！”，“哎，该死的数学题快把我逼疯了！”。如此一来，数学就会变得索然无味，无论怎么学习，实力也几乎不会有什么提高了。
实际上，初、高中时期学习的数学题多得惊人。初中时起码要学习二到三本习题集，每本各有近一千到一千五百道题左右。多的时候甚至要学习四到五本这样的习题集。高中时，会有怎么做都做不完的“魔法”辅导书在那儿等着你。如果把与此相关的习题集也算进去，需要做的题就达数千道之多。投入了这么多的时间，做了这么多的题，为什么水平却总是不见长进，而在那儿原地踏步甚至是一点一点地退步呢？为什么会产生做的题目越多，前面的东西就越容易忘记的现象呢？到底是哪儿出问题了呢？
可以从两方面的原因来考虑。
第一是由于错觉。
当我们所学的概念在题目中出现时，那些与重要概念直接相关的题目就是重要的题目。而那些与重要概念关系不大，只是需要特别的技巧才能解开的题目就是不那么重要的题目。因此，在每个单元中，那些应该做到融会贯通的题目才是真正重要的题目，这样的题目并不是太多。但我们却总是有一种倾向，就是不管什么样的题目，只要它在那个单元中出现了，即使只有一道题没做，心里也觉得不踏实。如果以这种方式去学习，实际上是在根本不重要的题目上浪费了大量的时间。要做的题过多会让人失去耐心。到做真正重要题目的时候反而容易混淆。只有靠题海战术才能提高实力的想法其实是一种错觉。应该把做题的量减下来，以便对那些重要的题目进行集中的学习。大部分的时间都应该投入到这些重要题目上面去。唯有如此，学过的东西才能如实地反映在自己的成绩上面。另外，大部分学生在学习的时候，总是把每单元的『练习』等难度较高的题目全都做完之后才会转入下一单元。进入高中以后更是如此。如果在『例题』上面花1个小时的话，在『练习』上面就要花掉三个小时。
而试题的百分之七十却出自这一个小时所学的内容之中。其余的百分之三十也不一定和这三个小时学习的『练习』有什么关系。但我们却在这些根本不重要的题目上面倾注了太多的时间和努力。所以才会觉得数学难，也才会觉得学习量越来越大。这也正是很多人半途而废的理由之所在。对占百分之七十的重要题目应该投入学习时间的百分之七十以上。要学会把那些不重要的题目果断地忽略过去。应该先把重要的题目掌握好之后，再去学习不重要的题目。这样学习的话，数学会变得更简单，学习的量也会大幅度减少。
第二是由于对自己的水平不清楚。
连基础都没打好的人去做难题，无异于提着自己根本提不动的行李去爬山。有的学生自以为只要能把难题解出来，实力自然而然就会得到提高。其实，这是一种错觉。如果以高于自己水平的题目为中心进行学习的话，由于不会做的题目要比会做的还要多得多，数学学习便会渐渐变得索然无味，成为一种负担。一旦对数学失去了兴趣，要想再把兴趣找回来就十分困难了。因此，应该以适合自己水平的教材和适合自己水平的题目为中心进行学习。能解答出来的题目越多越好。因为唯有如此，学习才会有兴趣，只有保持兴趣，面对难题时才能无所畏惧地鼓起勇气钻研下去。这样一来，实力才能有进一步的提高。总而言之，我想强调的是，做的题太多也会成问题。应该减少做题的量。减多少呢？应该按照自己的水平和能力，以重要的题目为中心酌情减少学习量。本书将会针对大家的水平和学习的阶段，就如何把握好适当的学习量提出具体的建议。哪怕只通过减少学习量这一点，也会使大家的数学学习产生可观的效果。
3.不加整理
学习数学的时候，会发生一些荒唐的事。
第一个就是学过的东西在考试中再次出现时还是不会做，把题给做错了。明明在考试前已经做过了，但到底该怎么做却怎么也记不起来，甚至连自己是否做过这样的题都搞不清楚了。
第二个就是自己不知道该怎么做，费了半天劲儿去做的题目，学习好的同学看了一眼就说道：“啊！是这道题！”不费吹灰之力就做出来了。更荒唐的是，看别人做出来之后才发现这是一道自己也做过的题。
“他怎么这么快就能想起来这道题应该用这种方法去做呢？要是我也知道的话，数学不就简单多了吗……”这样感叹的同时，恐怕就会觉得自己真的不是学数学的材料了。
为什么做过的题却想不起来呢？
大家去图书馆的时候，如果所有的书都不按照题目和主题等来分类，而是乱堆在一起的话，你还能很容易就找到哪本书吗？恐怕不是花了很长时间才侥幸找到，就是被迫放弃了吧。
数学也是一样的。数学题不管怎么减量，也还是有很多，而我们的记忆力却是有限的。可我们却在很长的时间里，一直在无规则、无方法地往自己脑子里塞入大量的数学题。一到考试的时候，要在脑子里再把某道题翻出来，简直就像海底捞针那样难。
为了解决这一问题，我们也曾经尝试过反复学习很多遍的方法。可是，就连那些一本辅导书学了7遍的学生也还是感叹“数学真是越学越糊涂了”。反复多遍并不等于就在脑子里整理好了，需要有一种比单纯的反复更好的方法。看到某道题之后，“啊！这道题是在哪个单元哪一种情况下出现的，它应该这样来做”。在脑子里很容易就能把学过的东西找出来，难道就没有这样的方法吗？这本书将会回答你这个问题。
原理很简单。
首先，把要记忆的重要题目分类列在纸上，就像对图书馆的书进行分类一样，然后把它原封不动地挪到脑子里去。这样一来，脑子里的东西就像在图书馆里一样井然有序了。
这就是我要强调的表格式学习法。
就像在拥挤的车棚中，不管有多少类似的自行车，你总是能很快找到属于自己的那一辆一样，这是一种能使你把题目与题目之间的相似点和不同点，题目独有的特征或解题方法等都一起记住的好方法。用这种方法学习的话，现在所做题目的解题方法立刻就能从你以前学过的海量题目中蹦出来。我利用这种表格教过很多学生，回过头来再学习第二遍的时候，他们就已经把我教过的内容全都吃透了。不管出哪个单元的题目，他们做起来都很得心应手。而且，时间大部分都被集中投入到了重要题目上，所以学习的时间也大大地缩减了。
使用表格学习法进行学习有三个好处：第一，将会加快你迈入上游生行列的步伐；第二，就像在轻车熟路的大道上，把旁边的胡同挨个钻一下也绝不会迷路一样，数学的支支干干也就无一不在你的掌握之中了；第三，学什么东西都能化为己有。这真是一种“一箭三雕”的好方法。
制作的表格等于是随身携带的地图。如果在没有表格的情况下去学习，等于是在没有地图和向导的情况下徒步攀登险峻的珠穆朗玛峰。
4.毫无计划
这是我从一名韩国前乒乓球国家队员那儿听来的故事。
有一个曾在鸡龙山上专攻乒乓球之道的人(人称“鸡龙山道士”)大声叫嚷“我要和刘南奎比赛”(刘南奎系奥运会金牌得主，当时乒乓球队里的老大哥)，开始遭到了拒绝，可是他坚持三天不回家，还爬到附近的大树上大声叫嚷，在他坚持不懈的请求下，国家队最终答应和他打一场比赛。从他热身时紧握乒乓球拍，挥起球拍来虎虎生风的架势来看，似乎不是一般人，“恐怕还真是个‘道士’”。队员们开始有了一点点的紧张，于是先派了一个年龄最小的选手和他比画一下。比赛结果为21∶1，“鸡龙山道士”大败，那1分还是看他太可怜故意让他的。失败后那个人却说：“我要和刘南奎交手！我是专门针对刘南奎进行训练的！”
如果一个人学习的是狗刨式游泳，就算他学的时间再长，恐怕都难以胜过一个曾在小学的校游泳队里训练过的人。如果不对呼吸的方法、手脚的动作等进行系统学习，不管怎样刻苦练习，也很难超出一定的水平。
数学学习也要系统地进行才会有好的效果。
当被问及采用何种学习方法时，很多学生都会异口同声地说“多做几本习题集”，或者“不管会不会，赶紧往下进行”，或者就是“要做有难度的习题集”等等，他们正是以这些事倍功半的方法去学习的。虽然学校也会根据每个人的能力把学生分为上、中、下几个层次来因材施教，但那样分出来的学生水平还是参差不齐的，要做到让他们能够根据自己的水平恰当地学习实际上还是不可能的。对于学校的老师们来说，即便明知道有学生理解不了自己的讲解，也得继续往下讲，这实在是无奈之举。这种不考虑个人能力和水平的学习方式，往往只能得到事倍功半的效果。如果按照这种方法学习，恐怕连一本教科书或一本习题集都难以真正地吃透。还有，即使下了很大的功夫，实力的提高也是很有限的。如果不根据自己的能力和水平制定合适的学习计划，即使在学习上投入了大量的时间，换来的也往往是微不足道的效果。适合自己水平和能力的、系统的学习方法，与不走弯路的、正确的学习方法是不可或缺的。
“以我现在的水平，该从哪儿开始学起呢？”
“应该集中学习什么呢？”
“学完这个之后该学什么呢？”
“到底该学多少才行呢？”
“我怎么检验自己的学习是不是对路呢？”
有必要制定一个包含所有这些疑问的确切答案的、系统的学习计划。即只有看清楚通往
目的地的路，学习起来才会更轻松一些。只有如此，才能迅速提高实力，不致浪费时间。
本书将这种学习计划按照大家的水平分成了5个阶段，并将就具体的学习阶段和方法向大家做出介绍。大家现在处在一个什么样的水平，今后还要再学习些什么，怎样才能达成自己的目标，都将是本书要回答的问题。
本书中所介绍的学习方法都是由我在教学生的过程中最行之有效的东西整理而成的。相信不管是谁，只要稍稍考虑一下，就会意识到只有那样去做才会有效果，同意我的观点。 　　没有一个符合个人水平的学习计划，或者不考虑学生水平和能力的学习计划，都会使学习越来越糟糕。
5. 慢吞吞、准确性差 
在我教过的学生中，有很多人明明平时可以得80分的，一到考试却总在60分左右晃荡，结果就变成了一副愁眉苦脸的样子。原因就是本来可以做对的题目做错了好几道。发生这种情况，大部分都是由于缺乏快速准确解题的能力导致的。在观看篮球或者足球比赛时，即使解说员在那儿说，“啊！今天的比赛实在是太精彩了！虽败犹荣！”赛场中失败的一方也绝不会笑，因为只有进了更多球而获胜的运动员们才能拥有胜利奖杯。数学也是如此。足球比赛中的射门就好比数学中的得分，不管解题步骤有多好，如果答案错了还是不能得分。因此，如果想得到与自己的实力相符的分数，在解题的时候能做到准确解答就是很重要的。另外，为了能在规定的时间内全部解答完毕，解题就一定要迅速。
观察一下学习好的学生，你就会发现他们解题大部分都相当快。另外，他们几乎不会有琐碎的运算，也很少在解题的过程中出错。这就是他们和学习不好的学生之间不易察觉的巨大差异。
“啊！我把这个减号错看成加号了！”
“只要还有时间的话，这两道题我肯定都能做出来。”
这些问题在很多时候足以导致考试成绩拉开近10分的差距。“准确、快速”是现在的初、高中生们必须具备的一种学习能力。
怎样才能既准确又快速地解题呢？
验算是准确解题的方法。验算是解题速度快的人独有的一份礼物，因为如果解题过慢，就没有时间去进行验算了。如果解题的时间不是很充足，与其再去做一道难题，还不如多验算几道简单的更为有利，本书将会对其理由进行说明。另外，考虑到那些把验算误以为是做第二遍的学生们，本书还将介绍一种只需解题时间的1/10~1/5、简单易行的验算方法。
默算和熟练是快速解题的方法。之所以说有必要进行默算，是因为脑子总是比手动得快。另外，所谓熟练，就是指对某道题目熟悉，能把它从头到尾快速解答出来。走过几次的路很容易就能找到，因为你对它已经熟悉了。只有把题目练习到熟练的程度，才可能在考试中奏效。刚做完一遍就觉得“嗯！我现在懂了”这种程度是远远不够的，至少也要做到能够把做过的题目从头到尾一气呵成写下来才行。
等熟悉了默算和熟练的方法之后，往往就会出现脑比手快的现象。如果到了那种程度，不仅做题的时间不会不够用，在进度推进上也会比以前快得多。明明学习过了却总是得不了分，还有比这更委屈的事情吗？只要把我在这儿介绍的方法吃透了，大家就一定能够得到一个与自己实力相符的分数，考试的时候心里也会轻松一些。起码也能得一个对得起自己的分数吧……
第二部分：分阶段跟上数学
第1阶段 了解你自己――追根究底学习法
几乎没有谁是从一开始就学不好数学的，因为大家都是站在同一个起跑线上出发的。 但不知从何时开始，有些人就渐渐地被别人甩在了后面，而且差距会越来越大，最主要的原因是什么呢？
用一句话来说，就是基础薄弱导致的。基础薄弱的学生们都有一些共同的特征。“觉得数学越学越难！” “老师讲的内容很多都听不懂！” “学过也还是糊里糊涂的！” “我讨厌数学！”“不管怎么学，分数还是原地踏步！”
初、高中的数学是台阶式的，所以，如果连前一年级的内容都搞不清楚，那么下一年级中学习的内容理解起来就比较困难。因此，学习数学的时候最重要的是对薄弱的基础进行追根究底式的学习。数学学习和建筑异曲同工。比起盖平房来，建造一幢数十层的高楼在地基工程上的要求自然要高得多。建筑物越高，地基工程的重要性就越是不言而喻。如果不懂比赛的规则，看起比赛来一点儿意思也没有。就算别人在那儿“嘘，嘘”或者“哎”地连声感叹，自己也还是一头雾水。要想看懂比赛就要先掌握比赛的规则，要想学好数学也要先把基础打牢。如果没有把数学的基础打好，当别人在课堂上发出“啊哈！原来如此！”的感叹时，你却在嘟哝：“咦？他明白什么了？这一步到底是怎么推出来的？”自然就不会觉得有什么意思了。这样一来，不懂的东西就像滚雪球一样越积越多，最后恐怕连学习的勇气都没了。这时不管你怎么努力，数学实力都不可能再有什么长进了。谁都知道基础很重要，但大家基本上都没接触过什么行之有效的解决方法，虽然也都曾以自己的方式努力过，但往往收效甚微。我将把在丰富的经验基础上总结出来的最有成效的方法详尽地介绍给大家，希望这能给那些基础薄弱的同学们带来一丝曙光。
我遇到过不少想努力摆脱下游生行列的学生，为了让他们使用这种方法来学习，我用尽心思进行劝诱和说服。刚开始的时候他们有些吃力，但按我说的一点一点照做下来之后，成绩终于有了显著的提高。看到父母宽慰的笑容，孩子们似乎也尝到了学习数学的小小乐趣。 打基础并没有想像的那么困难。夯实薄弱的基础吧，这是让数学容易起来的第一步。
1. SK逃脱下游生行列
初次遇到SK时，他刚刚过完寒假升入初中三年级。把孩子托付给我的时候，SK的父母所说的话不太寻常。“这孩子学习不是太好，虽然勉强也能算个中游水平，但还是有很多不会的东西，请老师您一定要忍耐，好好教教他。”
我一般在头一个月里都会留心观察一下这些学生的水平如何，在学习方面有没有什么问题等等。虽然在SK身上似乎存在着一些让我难以置信却又摸不着头脑的东西，但我还是继续讲下去了。过了一个多月之后，彼此也都熟悉了，但不知为何我总觉得自己讲课是在做无用功。于是便考了一次试，果不其然，SK竟然连30%的内容都没能掌握。从那时开始，SK和我受难的历程便开始了。有好几次我甚至想干脆不再教这一组(我是把SK和另一个学生放在一起教的)算了，上课简直成了考验我忍耐力的时间，但我还是不能就此放弃。这是因为他的父母，他们经常给我打电话：“我们的孩子让您受苦了吧，除了老师您这儿，现在也没有什么其他的地方可以去了。就算成绩没什么提高也没有关系，请您继续教他吧。” 他的父母与其他的很多父母不一样，他们对我是100%信任的。另外一个理由则是SK善良的微笑。即便因为学习不好批评了他，只要稍微安慰他两句，他立刻就会呵呵笑起来，有着对一个男孩子来说难能可贵的善良心地。虽然他和另一个学生总是理所当然地被拿来做比较，但看他和那个学生仍然相处融洽的样子就可以知道，他虽然学习不太好，却是一个很不错的孩子。我又想起了前面那个每天都去学校挨打的孩子，终于还是不忍心把他拒之门外。于是我便抱着“好吧！试一次！”的心态，开始了对他恩威并施的历程。“从现在开始，如果你有什么不懂的，哪怕是小学的内容你也一定要向老师提出来。”我的口气是不容置疑的。刚开始，他是一个在上课的时候沉默寡言的孩子，绝不会提什么问题，但渐渐地他的话匣子就打开了。“老师！，怎么就能推出来ad=bc呢？” “是不是等于()啊？” 偶尔被问到这样的问题时，我表面上虽然不露声色，内心却会觉得很是荒唐。SK都已经上初三了，怎么在数学方面连小学五六年级的内容都不会呢。怪不得刚给他讲完一道题，让他再把那道题做一遍的时候，他还是不会呢。实际上，这对与他一起学习的那个学生来说不是一件好事，但好像他们不是在一起上课一般，我对那个学生还是按照本来的进度和内容往下讲，对SK则把那些基础的低年级内容布置给他，让他回家单独补习。可是，SK的实力好像并没有什么进步，我也有些疲惫了。从开始教他到现在已经过了6个月，学校就要放假了。“看来是没有希望了，该到放弃的时候了。”我刚冒出这种想法，情况就起了变化。给他讲完一道题之后让他再去做类似的题目时，他便可以准确无误地解答出来。我不敢相信眼前的事实，便跳到另外一个单元来考他，可不管让他做什么题，他也还是能够轻而易举地做出来。我意识到终于成功了！别提有多高兴了，我至今都难以忘记当时SK如沐春风的笑脸。之后，他对讲课内容的理解已经和一起学习的另一个学生差不多了。他最终修完了所有初中的课程，顺利地升入了高中。虽然我还想继续一起教他们，但由于这两个学生分别进了不同的高中，再加上他的父母也承受不了经济上的负担，便只好中断了，但这名学生却一直留在了我的记忆中。此后，承蒙他的母亲大力宣扬，来自城市各个角落的、已经放弃数学的学生们竟然在我这儿排起了队，这实在是一件令人哭笑不得的事情。每次有人介绍学生给我的时候，我便想，要是多给我介绍一些学习好的、容易教的学生该多好啊。但现在回想起来，正是由于教了这么多水平参差不齐的学生，我才能够整理出这么一套学习方法来，所以对他的父母我也只能心存感激了。从此以后，我再遇到基础薄弱的学生时，在进行正式的课程之前，总是先让他们对基础进行追根究底式的学习。有时候干脆不往下讲，而是直接拿低年级的教材去教他们。只需以这种方式集中学习两三个月，效果便会凸现出来。让他们以这种方式去学习，学生们刚开始都会有“这样真的有效果吗？不会是在浪费时间吧？”之类的疑问。但后来十之八九的人都会常把微笑挂在嘴边，这是因为他们感觉到，自己对题目的理解能力和解答能力确实与以前不可同日而语了。如果学生觉得解题是件有趣的事情，成绩自然就会提高，而成绩提高所带来的快乐，又会促使他们加倍努力。这样一来，对原本完全放弃的数学又重新找回了自信，数学水平也就“天天向上”了。
至于数学的基础到底有多么重要，我们可以来看一下另一个学生的例子。
曾经有一位亲戚拜托我指导一下她刚上高中的女儿HA，于是我便教了HA6个多月。我是把HA和另一个学生放在一起教的，到初中为止这两个孩子都不怎么喜欢数学，成绩也不怎么好。为了让她们一开始就觉得数学绝不是一门多么难的科目，我就努力地把高中新接触到的概念尽可能简单和有趣地传授给她们。尤其是当遇到她们不太懂的部分时，我就会和初中的内容联系起来，以一问一答的方式解释给她们听，一直到她们真正听明白为止。幸运的是，这两个学生对初中的内容有一定程度的理解，所以当我把初、高中的内容联系起来讲给她们听的时候，她们在理解上并没有什么太大的困难。另外，由于她们生性活泼，所以也不害怕向老师提什么问题。HA渐渐地就不觉得数学难了，也开始相信只要自己肯学就一定能学好。这种自信在期中考试中便发挥出了作用，HA考了全班第一，很多同学都向她投去了钦佩的目光。这也就成了我那位亲戚家里振奋人心的一件幸事。之后我又教了她几个月的时间，HA已经变成了一个对数学课充满期待的学生。后来我搬到了别的地方去住，便无法继续教她了，但由于是亲戚，偶尔还会听说一些与她的学习有关的情况。每次碰面，HA的父母总会说一直到毕业为止HA的数学成绩都很优异，他们几乎没为此操什么心，真的很感激我之类的话。
牢固的“地基工程”随着年级的升高、学习的进行会日渐发挥出它的威力。同样多的学习时间，上游生却比下游生学得更多、更快，其中的一个原因便是彼此基础的不同。由此可见，在数学学习中最重要的是对基础概念的准确理解，做题也无非就是为了更准确地把握这些概念而已。惟有如此，才能做到不管题目以何种面目出现，我们都能对它的本来面目了如指掌，解答出来。
大家的数学基础是否也有待于追根究底呢？
2.该怎样追根究底？
总之一句话，要像小孩那样打破沙锅问到底。
小孩子总是爱问一些问题，一直问到自己烦了，父母也烦了为止。
“爸爸！那是什么呀？”
“是交通事故危险指示牌。”
“什么意思呀？”
“就是说如果跑得太快了就会出事故。”
“事故是什么？”
“车子撞了，人受伤了就叫事故！”
“嗯……是这样啊！那危险是什么呢？”
一直这样问下去的话，只能用一些5岁小孩能听懂的话去解释，甚至有时候根本就不会
结束。连续被问20个左右这样的问题之后，大人们恐怕就要说：“哎呀！小孩子不用知道那么多！长大以后就都知道了！”
但如果没有这种提问的过程，小孩子是无法健康成长的，没有一个小孩能略过这一过程
长大成人。
数学学习也是一样。
大部分学生在学习的时候，即使有不懂的东西也只是忽略过去，或者简单地问一下就算
了，更不会为了解决自己不懂的问题而去翻看低年级的教材。你很难看到一个初中生拿着小学的辅导书努力地练习加减法，而问题恰恰就在这儿。
数学是一门如果基础打不好，后面的内容就绝对无法学好的科目。如果基础不够坚实，
在上面建造什么样的房子都很容易就会倒塌。所以，一直要追到源头，弄明白不懂的地方到底在哪里。
不懂的东西就要打破沙锅问到底，直到把老师问烦了为止！这就是对基础追根究底式补
习的核心所在。
该怎样学？
我们来举一个例子。
用英英词典学英语的时候，不认识的单词都是用英语来解释的，而解释中又会有不认识
的单词。然后再用英英词典去查那个单词，它的解释中又会有不认识的单词……这样反复查下去的话，一定会遇到以最简单的、自己全都认识的单词组成的解释，然后就可以从那儿再一点点地逆推上去学习单词。
以这种方式学习单词一段时间以后，到一定的时候，用英语解释的句子中几乎就不会有
什么不认识的单词了。
所谓对基础追根究底式的补习，就是要像这样把自己不懂的基础内容的根源找出来进行
学习。
高中学习二次函数时，如果一次函数的内容还没有弄清楚(做几道初中水平的题目就可
以知道是否已经弄清楚了)，就要回头找到初中的一次函数那个单元。如果对一次函数中正比和反比的基本关系还搞不太清楚，就要再去找初一时学过的内容。就这样一直找下去，总会找到不懂的东西的根源。
之后就从那儿开始，整理内容，通过做一些例题，来重新掌握一下自己不懂部分的基本
概念。然后再解答一些相关的题目，一个阶段一个阶段地学下去。运算能力较弱的初中生要努力做一些小学的题目，可不要死充面子地光学些初中的东西，最后却落得个丢脸的下场……对基础追根究底式的补习可以与任何其他部分的学习一并进行。在学习教科书或者辅导书时，可以既追根究底地补习，同时又照顾进度。特别是自己一个人学习的时候，为了能够把根源找出来，不妨试着去自问自答。所以，要常常把低年级的教科书或辅导书放在身边，随时学习。如果自我感觉对小学阶段学习的内容较有自信，那就把初中的教科书(辅导书)放在身边，现在学习的内容中一旦有搞不懂的问题，就要去翻找查看。如果可以得到其他人的帮助，就要一直问到找出自己不懂的问题的根源为止，也就是直到连一点点的疑问也没有为止……
为了完成对基础追根究底式的补习，一定要具备以下心态：
l 坦率承认自己无知！
l 敢于厚着脸皮带上低年级的辅导书！
l 就算挨打，对不太清楚的问题也绝不马马虎虎一带而过，而要坚持追问到底！
l 即使是因为自己耽误了进度(当然一个人学习的话就无所谓了)，对朋友也毫无愧疚！
也许刚开始看低年级辅导书会有些不自在，怕被别人看见觉得不好意思，不仅如此，与其他部分的学习同时进行时，起初见效不是很快，就更容易产生想要放弃的念头。但以这种方式学习下去的话，随着进度的推进，你会感到不懂的东西在渐渐减少。之后没有多久，在学习中连基础的东西都不知道的情况就再也没有了。此后，进度也会加快，哪怕只学一点儿，对其理解的程度也会更深一些。如果到了这种程度，你就会觉得数学其实并不难，你也会由此发现自己更上一层楼。即便是以其他部分的学习为中心零星地进行追根究底式的基础补习，只要努力，不出三个月你也能看到它的效果。
该学什么？
在对基础追根究底式的补习中，最应该用心学习的就是基本概念、重要公式、基本题型。
这些都是必须准确掌握的。这儿所说的掌握绝不是用眼睛看一遍说一声“啊！原来如此”就行了的水平，而应该是，不看那些概念和公式也能够背诵出来，不管谁问都能用自己的话流畅地进行说明，碰到含有这些概念、公式的基本题目也能够熟练解答。由于是低年级的内容，所以一旦做起来的话，其实没那么难，也花不了多少时间。
追根究底式补习例题
我们来看一下初中二年级学习的一道方程组题目。
题目 解下面的方程组
　　……①
　　……②
这道题只有在掌握了下面的内容后才能够解出来。
初一课程方程组求解
初二课程方程组求解
最小公倍数，一次方程式
小学课程乘法和加法，分数运算
看一下这道题的解题过程。
第1步 两个方程的两边同时乘以分母的最小公倍数：
　　…… ①’
　　…… ②’
运算和整理后得：
3x+2y=18…… ①”
5x-2y= -4…… ②”
第2步 为了消去一个未知数，把上面两个等式的两边分别相加，整理成一元方程式：
3x+5x+2y+(-2y)=18+(-4)…… ③
(3+5)x+(2-2)y=14…… ③’未知数和等式，负数
8x=14, x=…… ③”一次方程式
∴ x=…… ④
第3步 把等式④代入等式①”，求y的值：
3+2y=18…… ⑤
2y=18-=…… ⑤’一次方程式
2y=, y=…… ⑤”
∴ y=…… ⑥
上面所用到的低年级的内容中，哪怕有一个不会，这道题都会解错。
看一下解这道题必需的东西都有什么呢？小学里学的运算，初一课程中学的负数运算、
最小公倍数、未知数和等式、一次方程式等若干概念。在初二的课程中，只需要把这道题的解题步骤记住就可以了，其余的所有解题过程都是运用低年级学过的内容来解答的。基础竟如此重要。用追根究底式的方法学习上面这道题时，如果对初一课程中解一次方程式这部分掌握得不是很好，那该怎么做呢？当然要去找初一课程中的一次方程式了。但在解一次方程式的过程中，突然发现对未知数的运算不是很了解，那就要重新去学习未知数和等式部分。如果总是把正数和有理数混为一谈，那就要对这一部分重新进行塌塌实实的学习。对一道题目中包含的所有不太理解(或者无法熟练解答)的内容依次去查找和学习，如果在第一次查找到的内容中又碰到了不太理解的部分就要继续往下查找和学习，这些都包含在追根究底式学习方法的概念之中。或许一个基础极为薄弱的学生为了解一道题要重新学习很多的内容。像这样追查到自己不懂的根源后再一点点赶上来，就是对基础追根究底式的学习。
用追根究底式学习法，虽然只是做了一道题，却是一边整理过去所学的所有东西一边解
出来的。虽然刚开始的时候进度会比较慢，也会花费大量的时间，但不用多久，就没有必要再去翻看低年级的内容了。慢慢地，就没有必要再向前追查已学过的内容了，那时，大家就通过了追根究底式的学习阶段。
3.一口气追根究底
假设有一个学生在学习的时候发现自己对一次函数不太了解，就回到初二的课程中去查看，结果还是几乎什么都不会。这时应该怎么办呢？如果只是大致把现在所需的东西快速学习一遍，然后就接着原来的进度继续往下进行的话，这几乎是起不到什么帮助作用的。像这种基础极不牢固的学生，还不如干脆对基础来个一口气的追根究底更好一些。这种学生在赶进度的同时，如果也是按照追根究底的方式去学习的话，要查的东西实在是太多了，很容易就会厌烦或半途而废。另外，在升入高年级的时候，如果对上个学年学过的内容没有自信，觉得应该好好整理一番的话，不妨也来用一下这种方法。升入初中时重新学习小学的课程，或者升入高中时重新学习初中的课程也包含在内。甚至有时候，升入了初三，也可以重新学习初二的内容。按照自己的年级或目标去赶进度并不是最佳的方法。
该怎样学习？
要对自己已经学过的一学年或者一学期，甚至是在小学、初中阶段学的内容进行整理。这并不是说在解答本年级的题目时去翻找低年级的东西，而是指干脆另找一块时间去把低年级的教材或