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对数学实验教学的认识与思考
宜城三中 丁宁
【摘要】新的课程理念告诉我们：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实验、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。数学实验为学生提供了主体参与、积极探索、大胆实践、勇于创新的学习机会。运用数学实验开展教学是提高数学课堂有效性的一条全新的思路。本文拟从数学实验教学的实施背景、基本类型及运用等方面谈一些粗浅的看法。
【关键词】数学实验教学 教学模式 基本类型 创新思维 应用意识
一、问题的提出
波利亚曾指出：数学有两个侧面，一方面它是欧几里德式的严谨科学，从这个方面看数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学看起来都像一门试验性的归纳科学。大数学家欧拉说：“数学这门科学需要观察，也需要实验”。过去学生的数学活动只是“智力活动”， 缺少探究发现的数学实验活动。计算机的出现便于学生更有效地开展数学实验，通过信息技术与数学课程的整合，能使学生进入主动探究状态、变被动的接受学习主动的建构过程，同时培养学生创新精神、意识和能力。
二、数学实验教学的概念
数学实验是指为研究与获得某种数学理论、验证某种数学猜想、解决某种数学问题，实验者运用一定的物质手段，在典型的实验环境中或特定的实验条件下所进行的一种数学探索活动。数学实验教学是指恰当运用数学实验，引导学生参与实践，自主探索，合作交流，从而发现问题，提出猜想，验证猜想的数学活动。数学实验与物理、化学实验相比不仅需要动手，更需要动脑，思维量大是数学实验的基本特征。
三、开展数学实验教学的理论依据
（一）建构主义的学习观和教学观
建构主义认为认识不是主体对客观实在的简单、被动的反应，而是主体以自己已有的知识经验为依托所进行的积极主动的建构过程．因此，在学习过程中已有的认知结构和主体对建构过程的积极参与是非常重要的．即学生不是被动的知识接受者，而是主动的信息加工者．学生在已有的知识结构的基础上，对信息进行主动地选择、加工和处理．不断地同化和顺应，从而构建新的认识结构．建构主义学习观清楚地阐明了学习者积极参与、主动探求，对新知识构建的重要作用．
（二）主体教育的理论
主体教育实验自２０世纪９０年代产生以来，至今已有近１０年，它对我国的中小学教育教学改革产生了广泛而深刻的影响，它认为人的主体性素质是现代化社会人的核心素质，在教育中应该注重培养和发展人的主体性．“学生既是教育的客体，又是教育的主体．”教育者应当为学生主体性的发展提供适当的环境和一切便利的条件，并在教育过程中充分调动他们学习和自我发展的积极主动性．“活动”是主体性的具体体现，只有在活动中，人的特征才得以形成和发展，人格的各种要素才得以产生并结合成一个整体．人的活动越丰富，人的发展就越充分、越全面；人的活动越深入，人的研究意识就越强，越有创造力．
四、数学实验教学的模式例举
(一)实物操作型实验模式
该教学模式是通过对一些工具，模型的动手操作，创设问题情境，引导学生自主探索数学知识，检验数学结论（或假设）的教学活动。
该教学模式由以下环节组成：1、实物准备；２、创设情境；３、实验操作；４、观察猜想；５、归纳结论。
案例1：椭圆概念的形成：
先明确要求，让学生拿出课前准备好的一块纸板，一段细绳和两枚图钉，按课本的要求画椭圆，使他们亲身体验到椭圆的画法，品尝到成功的喜悦，在此基础上再提出如下问题，让学生思考：
（1）纸板上的作图说明了什么？
（2）在绳长不变的前提下，改变两个图钉间的距离，画出的椭圆有何变化？当两个图钉合在一起时，画出的图形是什么？当两个图钉间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？当两个图钉固定，能使绳长小于两图钉之间的距离吗？能画出图形吗？
经过以上实践，学生自然能很快得出结论，当2a＞2c时是椭圆；当2a＝2c时是线段；当c＝0时是圆；当2a＜2c时轨迹不存在。
（3）根据以上作图实验回答：椭圆是满足什么条件的点的轨迹？（由学生归纳椭圆的定义）
通过上述实验的演示与操作，问题情境的创设以及学生的讨论回答，使学生对椭圆的概念会有一个清晰准确的认识，全面深刻的理解，不仅使他们知其然，更能知其所以然，切实体现素质教育之要求。
(二)思想型实验模式
所谓思想实验是指根据研究目的，人为地创设、改变和控制某种数学情景，在有利的条件下经过思想活动，来探究数学知识，发现数学规律的教学活动。
该教学模式由以下环节组成：１、构建基本情境；２、想象变化过程；３、猜想规律；４、检验结论。
比如：我们研究“平面上若干条（n条）直线相交，其中任何两条不相交，任何三条不过同一点，求交点个数”的问题。如果n很大，很难实际画出，故往往要靠思想实验。这时，需要对较小的n（n=1，2，3，4，5）进行具体操作，以弄清直线间相关的机制；相交时交点的构成、相互关系，特别是相互间的数量关系；尤其重要的是，要弄清当在原有的基础上增加一条直线时，交点将会怎样变化；进而通过思想实验，弄清n由k变到k+1时，交点发生的情况。
(三)计算机模拟型实验模式
计算机模拟实验教学指借助于计算机的快速运算功能和图处理能力，模拟再现问题情境，引导学生自主探究数学知识、检验数学结论（或假设）的教学活动。
该教学模式包括以下环节：１、创设问题情景；２、实验探索；３、提出猜想；４、验证猜想；５、问题的拓展。
案例2：直线与双曲线交点个数问题
１、创设问题情景
创设问题情景是指教师在学生动手实验之间，给学生提供新的问题情境，营造一个良好的学习氛围。在这情境中，学生原有的数学认识结构与新学习的内容之间发生冲突，学习者在心理产生学生需要。在本例中，教师创设以下问题情境，启发学生进行思考：
已知双曲线x2－y2＝4，直线L：y＝kx+2，问当实数k取何值时，直线L与双曲线只有一个公共点？（代数上解决）
学生一般借助前面已学过的直线与椭圆的位置关系判别方法，联立方程组，消去y，得（1－k2）x2―4kx―8＝0，再由△＝0，得k＝±
这时教师启发学生：是否仅有这两条直线与双曲线只有一个公共点？引发新知与旧知的冲突，激发学生学习新知的欲望。
２、实验探索
实验探索是指学生借助教师制作的课件，在计算机上进行自主探究或协作探究实验。它是整个计算机模拟实验过程中的核心环节，也是整个实验过程中最精彩的一个环节。
在本例中，直线L过定点P（0，2），学生在计算机上绕P（0，2）旋转直线L，发现当直线L与双曲线的渐近线平行时，直线L与双曲线也只有一个交点。这个规律是否带有普遍性呢？教师再提出问题：若点P在平面内的其它位置，过该点并且与双曲线只有一个公共点的直线有几条？学生再实验探索点P在各种不同位置时只有一个公共点的直线条数。
３、提出猜想
提出猜想是指学生通过实验探索，观摩发现，实验分析等各种途径和方式，根据已有的信息或新得到的信息，提出解决课题的假说。本环节是整个数学实验过程中的高潮阶段，也是至关重要的一个环节。
在本例中，学生通过实验探索，大胆提出猜想：直线只要与浙近线平行，那么直线与双曲线只有一个交点。
４、验证猜想
验证猜想是指在提出猜想之后，通过演译推理来验证猜想的正确性或通过举例来否定猜想，这是数学实验中不可缺少的环节，是我们获得正确结论的关键步骤。
在本例中，教师可引导学生再审视在（1）中的解答，为何会漏掉与渐近线平行的直线。学生通过仔细观察发现用△＝0时，忽略了方程：（1－k2）x2―4kx―8＝0的二次项系数1－k2＝0的情形，当1－k2＝0时k＝±1，这正是渐近线的斜率，此时直线L与渐近线平行。还有，当1－k2＝0时，上述方程就是一次方程，只有一解，这样就验证了当直线与双曲线的渐近线平行时，与双曲线只有一个公共点的猜想，于是学生对这个结论的印象就更深刻了。
５、问题的拓展
问题的拓展是指在验证猜想之一，将问题作进一步的引申、拓展，旨在培养学生的发散性思维和探索能力，使知识和能力得到进一步的升华。
在本例中，教师可进一步提出以下问题，让学生做更深入的研究。
①当k为何值时，直线L与双曲线没有交点；
②当k为何值时，直线L与双曲线有两个交点；
③当k为何值时，直线L与双曲线的右支有两个交点；
④给定双曲线和定点，过定点与双曲线有两个交点的直线有几条：
⑤对于上面讨论的问题，若把双曲线换成其它圆锥曲线结果又如何？
五、数学实验教学的功用和价值
（一）数学实验创设了良好的教学情境，使学生有兴趣地、有信心地学习数学．
教学既是一门科学，又是一门艺术。教学过程是在特有的情境中产生和发展的，良好的情境会产生良好的情趣，良好的情趣可以使人有兴趣地、有信心地学习。教学实践表明，数学实验教学能创设良好的教学情境，使学生有兴趣地、有信心地学习数学．
（二）数学实验为学生提供了探究学习的平台，使学生积极主动地学习数学。
建构主义理论认为，学生不是被动的知识接受者，而是主动的信息加工者．如何改变传统教学中学生的被动学习方式，其关键取决于教师教学方式的变革。在“数学实验”的活动中，教师的角色得到改变，教师为学生设置实验题目，引导学生进行实验，组织学生的小组学习，引导学生将实验结果进行归纳证明。学生们通过实验、操作进行观察、分析、探索、猜想和归纳，从而亲身体验数学、理解数学，学生的学习已由接受性学习转变为探索性学习。
（三）数学实验教学拓展了学生探究问题的空间，使学生富有创造性地学习数学。
创造性思维是指人脑中发现客观事物之间的本质及内在联系，在此基础上产生新颖的思维成果．在数学实验的活动中，学生们以小数学家的身份去观察、实验、分析、猜想、归纳、发现数学，使数学教学成为再创造、再发现的教学．在这一过程中，学生的创造性思维能力得到了提高．
六、数学实验教学存在的问题与对策
（一）教师认识上的不足
在教育的理论上，传统的数学讲解式课堂模式，大容量、高强度、多反复的课堂训练模式在大多数教师身上留下了深深的烙印，表现在担心数学实验教学花时很多，怕影响其教学的进度与质量。而数学实验与此则迥然不同，事实上，恰当的数学实验不仅能够提高学生学习数学的兴趣，激发学生的热情，而且能提高教学深度和广度，有利于学生的分析和解决问题能力的培养。因此，解决这些问题的对策是每位教师都要建立正确的人才观，即什么是学生最重要的、最需要的，什么是学生必须在基础教育阶段形成的且将来可迁移性的能力。
（二）学生数学实验的能力较差
由于数学实验是个“年轻”的课题，以前的学习中很少涉及此类问题，现在要求让学生自己进行数学实验（教师指导下），学生往往表现出不知所措：第一是学生难以设计出一套完整的实验方案，实验的过程中也提不出问题，完成不了必要的归纳和总结；第二是学生基本技能不足或遭遇挫折后容易夭折等一系列现象。因此，针对这些可能的问题，教师的教学设计中可循序渐进、因材施教。首先是积极倡导数学实验，教学中无论是演示实验还是操作实验，尽可能给予学生设计、提问、猜想、操作、交流、评估的机会，创设问题情境，突出数学实验在能力培养上的载体功能。其次对突出数学实验的设计思想、实验内容、实验的演示操作过程、实验的归纳和总结都要有意识地增加学生参与的程度。再次将课堂问题的“问，答”变换为问题的“设计，解决，应用，再设计，再解决，再应用”的不断总结提高的过程。
（三）数学实验的“软硬件”跟不上
所谓“硬件”是指计算机（包括图形计算器）、测量工具等，由于长期以来没有数学实验的意识，计算机房只是供上计算机课使用，数学课中不能方便地使用，计算机辅助教学难以开展，就“软件”而言，就更加缺乏，有的教材中缺少实验的内容，教学杂志上关于数学实验的信息量也很少，教师又缺乏设计“数学实验”教学的经验。这就要求学校加大数学实验所需要的软硬件的投入，确保数学实验教学的正常开展。
七、结束语
时代在发展，教育观念在更新，在提倡素质教育多年的今天，我们不得不重新审视传统的教育教学模式，探索各种有益的教学补充形式，使我们的数学教育教学水平和教学效果更上一个台阶。数学实验教学的提出是一种必然，也是一种需要，更是新课程改革精神的体现形式之一。因此，在数学教学中，应该充分挖掘实验素材，特别是利用《几何画板》、 “图形计算器”等这样优秀的软件平台，为学生进行数学实验创设良好的环境，这也是实施素质教育的重要途径。
学生在实验情境中的“做”中学，对知识形成过程，对问题发现、解决、引伸、变换等过程的实验模拟和探索，这种实验式的教和学拓宽了学生的思维活动空间，使他们的思维更有深刻性和批判性。同时，它不仅仅关心学习者“知道了多少”，更关心学习者“知道了什么”、“怎样知道的”。它追求的不仅仅是解决了数学问题，更重要的是理解、发现和创造，是解决问题的数学精神和乐趣。这是一种新的求实精神，因而它更多的是对传统数学教学的矫正，至少也是一种有益的补充。 伴随着CAI技术的日新月异，数学实验的教学内容将逐渐增加，实验素材库将不断壮大，实验技术将更为先进与精巧，因而数学实验的教学思想和模式将具有更为广阔的天地、更为重大的作为。
在数学教学中让学生动手做数学实验，能有效激发学生用数学的眼光探索数学的新知识。让我们在教学中巧借实验这一“东风”，更好、更快地推动数学教学这艘大船前进！
参考文献
1、徐江培《“数学实验”教学初探 》中学数学教学参考2005
2、林光来《对数学实验教学的理解 》 浙江现代教育技术，2005
3、《浅谈新课标下如何引导和培养学生提出数学问题》，陈志明，《中学数学教育》2005.11
4、《对数学实验教学的理解》林光来，浙江教育网。
5、《新理念下数学实验教学的作用及优化策略初探》，李莉，中学学科网。
6、《初中数学教学中数学实验的探索》胡敬民、林金云
7、《数学新课程标准解读》北京师范大学出版社