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《应用数学》课程单元教学设计
《第五章导数的应用 第三节函数的最值及其应用》
准备页
学生姓名

班级

学号

数学理论知识：
1、 极值的概念
⑴ 极值的定义；⑵ 极值的特殊性；
2、 函数取得极值的条件
⑴ 第一充分条件；⑵第二充分条件；
3、如何用极值的充分条件判定函数的单调区间及极值点
4、函数的最大值和最小值的概念
⑴ 函数最值的定义；⑵极值与最值区别与联系
5、闭区间上求函数最值的方法及步骤

实践问题：
1、 生产一个容积固定的矿泉水水瓶，需要注意哪些问题？

2、 汽车发动机的最大效率与哪些因素有关？
《第五章导数的应用 第三节函数的最值及其应用》
第三节：函数的最值及其应用学习页
一、教学内容
函数的最值及其应用
授课班级

上课时间
2学时
上课地点

教学
目标
能力目标
知识目标
1、利用函数的最值建立数学模型，解决相关专业与实践问题；
2、应用函数最值的求解，增强学生分析问题和解决问题的能力；
3、培养学生利用函数的最值解决实际问题的能力。
1、掌握函数最值的概念；
2、理解最值与极值的区别于联系；
3、会熟练求解各种函数的最值。

能力
训练
任务
任务1：找出容积不变的条件下底面半径、高之间的关系；
任务2：根据关系特点建立数学模型，分析求解；
任务3：讨论数学模型的实际应用价值。
二、教学设计
注：教学方法、教学手段可以合并，增加教师活动一项。
例子后面标注要达到的目的
步骤
教学内容
教学方法
教学手段
教师活动
学生活动
时间分配
内容引入
教师总结：
函数极值的概念：
1、定义；2、特殊性
极值的求法：
1、第一充分条件；
2、第二充分条件；
学生思考：两个充分条件的用处
学生练习：利用两个充分条件求函数
的单调区间与极值点
归纳
讨论
练习
内容演示
学生练习
学生讨论极值充分条件的用处；
个别展示练习结果
10分钟
提出问题
问题载体：要设计一个容积为500ml的圆柱型容器，其底面半径与高之比为多少时容器所耗材料最少？
问题分析：此问题涉及数学中的最值问题；并说明该问题涉及的数学及物理背景
分析
讲授
启发
内容演示
学生思考，讨论
5分钟
寻求解决方法

数学支撑理论
掌握求函数最大值、最小值的方法
教师讲授；
学生练习
课件演示
学生练习，个别学生展示结果
30分钟
通过问题分析引入数学理论
一、数学支撑理论讲授 最大值最小值问题概念及求法 （10分钟）

2、最大（小）值与极大（小）值的区别与联系
3、求最大（小）值的步骤:
⑴ 求驻点和不可导点;
⑵ 设f(x)在(a,b)内的驻点为 x1, x2, … xn, 则比较f(a), f(x1), … , f(xn), f(b)的大小,其中最大的便是f(x)在[a,b]上的最大值, 最小的便是f(x)在[a,b]上的
最小值。
二、教师范例 （10分钟）

（达到的目的）

解：所给函数为[0,3]上的连续函数.

可知f(x)在[0,3]上的最大值点为x=2，最大值为f(2)=1.
最小 值 点为x=0，最小值为
学生练习 （5分钟）
求下列函数在给定区间上的最大值和最小值：
1、 2、
三、求最大（小）值的实际应用: （5分钟）
理论基础 如果开区间内只有唯一的一个驻点，则这个驻点一定为极值点,且这个极值点就是最值点(最大值或最小值)。
在求实际的问题中的最大(小)值时，步骤如下：
1、 首先应该建立目标函数.
2、然后求出目标函数在定义区间内的驻点.
3、如果目标函数可导，其驻点唯一，且实际意义表明函数的最大(小)值存在(且不在定义区间的端点上达到)，那么所求驻点就是函数的最大(小)值点.
如果驻点有多个，且函数既存在最大值也存在最小值，只需比较这几个驻点处的函数值，其中最大值即为所求最大值，其中最小值即为所求最小值.
分析问题
任务1：找出容积不变的条件下底面半径、高之间的关系；
任务2：根据关系特点建立数学模型。
教师引导，提出思路，学生参与完成。
教师指导，学生完成训练任务。
结合已查阅的资料，解决实际问题，个别学生展示结果。
（15分钟）
模型评价分析
步骤 1 统计、整理各组建模结果
步骤 2 评价各模型的优缺点
步骤 3 展示模型结果

教师启发，个别指导，
学生展示其结果
学生自主完成，小组间相互点评，教师归纳总结。
（25分钟）

拓展应用训练
一汽车厂家正在测试新开发的汽车的发动机的效率，发动机的效率P（%）与汽车的速度v (单位：km/h)之间的关系为

问发动机的最大效率是多少？

学生自主学习，教师点评

学生展示结果并分析影响结果的因素。

学生独立完成或相互讨论。

（10分钟）
总结、作业
总结该节课学习内容，布置课程作业

课件演示

5分钟

《第五章导数的应用 第三节函数的最值及其应用》
第三节：函数的最值及其课堂练习页
学生姓名

班级

学号

一、数学支撑理论练习：
求下列函数在给定区间上的最大值和最小值：
1、 2、

二、实践训练
问题一 问题载体：要设计一个容积为500ml的圆柱容器，其底面半径与高之比为多少时容器所耗材料最少？
1、 问题分析：

2、 目标函数建立：

3、 目标函数求解：

4、 讨论影响容器设计的因素：

问题二 问题载体：一汽车厂家正在测试新开发的汽车的发动机的效率，发动机的效率P（%）与汽车的速度v (单位：km/h)之间的关系为 ，问发动机的最大效率是多少？
1、 问题分析：

2、 目标函数建立：

3、 目标函数求解：

4、 影响发动机效率的因素：

教师点评：

教师签字：

成绩

时间

《第五章导数的应用 第三节函数的最值及其应用》
第三节：函数的最值及其应用课程作业页
学生姓名

班级

学号

数学支撑理论练习：
求下列函数在指定区间内的最大值和最小值：
1、； 2、

实际问题：
从直径为d 的圆木加工成截面为矩形的梁，此矩形的底等于b，高等于h，若梁的强度与bh2成正比，问梁的尺寸为多少时，其强度最大 ？
目标函数建立及求解：
①问题分析

②目标函数建立

③目标函数求解

④问题解释或验证
教师点评：

教师签字：

成绩

时间

9